圓錐曲線教學中的引伸和推廣摘要：眾所周知，數(shù)學是高中教育教學中一門非常重要的學科，直接影響了學生的成長、未來發(fā)展。傳統(tǒng)的高中數(shù)學教學中存在弊端，如何培養(yǎng)能力和發(fā)展智力是當前高中數(shù)學教學的課題，從長遠的觀點看，我們培養(yǎng)學生的不僅要具有一定的基礎(chǔ)知識，更應具備應用這些知識解決問題的能力，具有卓創(chuàng)見。一、啟發(fā)學生探索問題的實質(zhì)，抓住實質(zhì)，掌握規(guī)律培養(yǎng)學生的分析能力，主要就是培養(yǎng)學生能透過現(xiàn)象看到問題的本質(zhì)。教師應當通過剖析來說明什么是次要的、表面的東西、什么是與解決問題有關(guān)的實質(zhì)性的東西。這樣才能正真培養(yǎng)學生的分析能力。例：求證：在曲線的方程例里，如果以X代Y，Y代X，方程不變，那么，此曲線關(guān)于直線X-Y=0為對稱。證這個命題，一般先設(shè)曲線方程為fxy=0，然后在曲線上任取一點px0- y0)，利用題設(shè)條件證明與P點關(guān)于直線Y=X對稱的點px1 0,y0)也在曲線上，這里，關(guān)鍵是：證明與曲線上任意一點P關(guān)于直線Y=X對稱的點1p也在曲線上。這是關(guān)于直線Y=X對稱的實質(zhì)。應該讓學生親手畫畫圖。切實領(lǐng)會曲線對稱性的這一實質(zhì)。如果學生能比較透徹的理解這一點，那么久不難使他們悟出證曲線對稱性的一般規(guī)律：“設(shè)P是曲線上任意一點（即P點坐標適合曲線方程）。證明與P點對稱的點也在曲線上（即點1p的坐標也適合曲線方程），那么曲線久具有有關(guān)的對稱性”。顯然，這一法則也可用于證明兩條曲線與相互對1l稱的問題。二、利用學生已經(jīng)掌握的知識和技能，用類比、推廣的方法探索解題途徑。一個學生過去未見過的問題出現(xiàn)以后，教師應該通過合理的分析來啟發(fā)學生，努力使學生不感到“巧”，不感到教師特別有“靈感”。應使學生看到他和舊知的必然聯(lián)系，許多問題是能夠以舊推新的。1.過拋物線焦點弦AB的中點C，作準線的垂線CK，則垂足K與焦點弦兩個端點的連線KA和KB互相垂直；2.過拋物線焦點弦的端點A,B作切線ATAT1 2,則此兩切線垂直相交于準線上一點K。此點與AB中點C的連線平行于拋物線的軸；3.從準線上任一點作拋物線的切線，則所得兩切線互相垂直，且兩切點連線為焦點弦，此弦中點與該點連線平行拋物線的軸；4.拋物線上兩條互相垂直切線的交點軌跡是拋物線的準線。以下利用拋物線的光學性質(zhì)對一些結(jié)論進行簡單證明：如圖，拋物線方程為y22px(p0)，F(xiàn)(P20,)是拋物線的焦點，l:xp2是拋物線的準線方程，過焦點F作直線與拋物線交于A,B兩點，A,B在準線上的投影分別為A1,B1，過A作切線AT1交準線于K，連接B,K.（1）證明：直線BK為拋物線的切線，且直線AK與直線BK垂直;（2）C為拋物線焦點弦AB的中點，證明：直線CK與x軸平行；（3）連接B,F，證明：直線KF與直線AB垂直;證明:根據(jù)拋物線的光學性質(zhì)，過點F的入射光線FA經(jīng)過切線AT1反射后，反射光線AD與x軸平行,則A1,A,D三點共線，DAT1A1AK，又FAKDAT1，A1AKFAK,又根據(jù)拋物線的定義A1AFA，在A1AK和FAK中A1AFAA1AKFAK A1AKFAK KA1AKFA,又KA1A90AKAKKFA90即KFAB,則（3）得證.根據(jù)拋物線的定義B1BFB,由（3）得KFBKB1B90在RtB1BK和RtFBK中KBKB RtB1BKRtFBK B1BKFBK,又B1BKT2BEBB1BFKBFT2BE,即直線BK為拋物線在B點的切線又A1AKFAK A1KAFKA 又RtB1BKFBK B1KBFKBA1KAFKAB1KBFKB180FKAFKB90的中點即AKBK,則（1）得證又A1AKFAKA1KFKK為A1B1的中點，又C為AB又RtB1BKFBKB1KFKCK//AA1//BB1即直線CK與x軸平行，則（2）得證.三、要為學生提供一題多解得條件，提倡學生用多種方法解題，拓寬視野，發(fā)展思維能力。一題多解至少有這樣幾個好處，可以激發(fā)學生思維的積極性，拓寬視野，培養(yǎng)探究能力；可以培養(yǎng)學生銳利的觀察分析能力；可以在比較的基礎(chǔ)上培養(yǎng)學生思維的合理性，形成科學的思維方法等等。教學中除了經(jīng)常提倡、鼓勵之外，還要為學生提供一些條件——例如解一些容易的出多種解法的例題；給與足夠的討論時間等，使學生的思維活躍起來。例1.（2018.全國卷Ⅲ）已知點M（1,1）和拋物線C：y24x，過C的焦點且斜率為k的直線與C交于A,B兩點，若AMB90，則k=________.解析：M（1,1）在拋物線C：y24x的準線l:x1上，AMB90即AMBM,則AM,BM為在A,B兩點的切線，由二中的結(jié)論（3）可推出MFAB，又M（1,1），F(xiàn)0,1()則kMF101，又kAFk1，則k2.112例2.已知拋物線C：y24x的焦點F,過F的直線交拋物線C于A,B兩點，點M（2,1)滿足MAMB，則直線的方程為（）A.yx1B.yx1C.y3x3D.y3x3解析：如圖M在準線上且MAMB，則MA,MB在A,B兩點的切線,由二中的結(jié)論（3）可推出MFAB，又MNFN2且MNFN,則NFM45，綜上推出直線的傾斜角為45，又點F（0,1），則直線的方程為yx1，故選B。例3.過拋物線C：y216x的焦點F作直線，交拋物線于A,B兩點，設(shè)P(200,)，若(PABP)(PAPB)0,則AB（）.A16B.20C.32D.16或32解析：(PABP)(PAPB)0PAPB即點P在焦點弦AB的中垂線上.i:當直線與x軸垂直時，焦點弦AB關(guān)于x軸對稱，又P(200,)在x軸上，滿足題意AB為通徑即AB16.ii:當直線與x軸不垂直時，如圖取AB的中點M,分別作AA1、MM1、BB1與準線垂直，由二中的結(jié)論（2）可推出MM1//x軸，由二中的結(jié)論（3）可推出M1FAB,又點P在焦點弦AB的中垂線上、M為AB的中點，則PMABM1F//MP，則四邊形PMM1F為平行四邊形，MM1PF16M為AB的中且AA1、MM1、BB1與準線垂直，則AA1BB12MM1又根據(jù)拋物線的定義推出ABAA1BB1,故AB32.綜上本題選D.在高中數(shù)學教學