PAGE一、考點(diǎn)突破二次函數(shù)中的“最值”性質(zhì)是二次函數(shù)的重要性質(zhì)，其自然就成了各地中考命題的熱點(diǎn)和難點(diǎn)之一。主要題型有：選擇題、填空題，難度中等；在解答題中，多與幾何、生活實(shí)際問題相結(jié)合，難度較大。在各類試題中，主要考查以下幾方面：（1）利用配方法和數(shù)形結(jié)合的思想方法，求二次函數(shù)的最大值或最小值；（2）在平面幾何圖形（三角形、四邊形）中尋求兩個(gè)變量，建立二次函數(shù)關(guān)系，然后使用二次函數(shù)的“最值”性質(zhì)解決結(jié)合圖形的最值問題。二、重難點(diǎn)提示重點(diǎn)：利用配方法和數(shù)形結(jié)合的思想方法，求二次函數(shù)的最大值或最小值。難點(diǎn)：當(dāng)二次函數(shù)的自變量取值范圍不是全體實(shí)數(shù)時(shí)，求二次函數(shù)的最值。能力提升類例1二次函數(shù)的圖象與軸相交，其中一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是。求該二次函數(shù)的最小值是多少。一點(diǎn)通：由于二次函數(shù)與軸相交，其中一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，所以把（，0）代入解析式即可求出，然后利用二次函數(shù)的頂點(diǎn)公式即可求出頂點(diǎn)坐標(biāo)。解：∵二次函數(shù)與軸相交，其中一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是， ∴把（，0）代入解析式得0＝， ∴＝－2或＝0， 而已知≠0， ∴＝－2， ∴二次函數(shù)的解析式為 ∴，， ∴該二次函數(shù)的頂點(diǎn)的坐標(biāo)是（，）。 ∴該二次函數(shù)的最小值是。點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了利用二次函數(shù)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)來確定解析式，再求二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，由此求出二次函數(shù)的最小值。例2已知二次函數(shù)，求當(dāng)在范圍上的最大值和最小值。一點(diǎn)通：可由已知求得二次函數(shù)的對(duì)稱軸為，在直角坐標(biāo)系中畫出其在范圍上的函數(shù)圖象，由此可以求出其最大值和最小值。解：二次函數(shù)，所以對(duì)稱軸方程是，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，2），因?yàn)槎雾?xiàng)系數(shù)為1，所以圖象開口向下，顯然其頂點(diǎn)橫坐標(biāo)在范圍上，如圖所示。當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)有最大值：，當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)有最小值：。點(diǎn)評(píng)：對(duì)于自變量在有限范圍內(nèi)的二次函數(shù)，最值只可能在區(qū)間端點(diǎn)、頂點(diǎn)處取得。數(shù)形結(jié)合法是解決這類問題的較好的方法。綜合運(yùn)用類例3已知（＝1，2，3，4）是拋物線上共圓的四點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)分別為（＝1，2，3，4），又（＝1，2，3，4）是方程的根，求二次函數(shù)的最小值。一點(diǎn)通：（＝1，2，3，4）是方程的根，又（＝1，2，3，4）是拋物線上共圓的四點(diǎn)，根據(jù)對(duì)稱性得該拋物線的對(duì)稱軸為。從而求出的值，再求解。解：拋物線與圓的四個(gè)交點(diǎn)，上下兩組點(diǎn)的連線的中點(diǎn)位于拋物線的對(duì)稱軸上。所以由可知，該拋物線的對(duì)稱軸為x＝2。則。所以最小值為。點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及最值問題，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)拋物線的對(duì)稱軸得到的值。例4在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為（0，1）、（4，2）、（2，6）。如果P（x，y）是△ABC圍成的區(qū)域（含邊界）上的點(diǎn)，那么當(dāng)w＝xy取得最大值時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是什么？一點(diǎn)通：分別求得線段AB、線段AC、線段BC的解析式，分析每一條線段上橫、縱坐標(biāo)的乘積的最大值，再進(jìn)一步比較。解：線段AB的解析式是y＝x＋1（0≤x≤4），此時(shí)w＝x（x＋1）＝x2＋x，則x＝4時(shí)，w最大＝8；線段AC的解析式是y＝x＋1（0≤x≤2），此時(shí)w＝x（x＋1）＝x2＋x，則x＝2時(shí)，w最大＝12；線段BC的解析式是y＝－2x＋10（2≤x≤4），此時(shí)w＝x（－2x＋10）＝－2x2＋10x，則x＝時(shí)，w最大＝12.5。綜上所述，當(dāng)w＝xy取得最大值時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是（，5）。點(diǎn)評(píng)：此題綜合考查了二次函數(shù)、一次函數(shù)的知識(shí)，有一定的難度，同學(xué)們要能夠熟練分析二次函數(shù)的最值。思維拓展類例5若二次函數(shù)的最小值為2，最大值為2，求的值。一點(diǎn)通：求出二次函數(shù)的對(duì)稱軸x＝0，通過對(duì)與對(duì)稱軸x＝0的位置關(guān)系進(jìn)行比較，得出二次函數(shù)在何處取得最值，還需要對(duì)的取值情況進(jìn)行分類考慮。解：顯然，二次函數(shù)的最值與的值有關(guān)，因此需要分情況討論。因?yàn)榈膶?duì)稱軸為x＝0，（1）在0≤a＜b上，二次函數(shù)下降趨勢(shì)，所以，故有解得，。（2）在a＜b≤0上，二次函數(shù)上升趨勢(shì)，所以，，故有由于一元二次方程的兩根異號(hào)，故滿足a＜b≤0的解不存在。（3）在a＜0＜b上，二次函數(shù)在上上升趨勢(shì)，在上下降趨勢(shì)，因此二次函數(shù)在處取得最大值，在或處取最小值，故。當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)，因?yàn)椋远魏瘮?shù)在處取得最小值，即，解得。綜上所述，，或，。點(diǎn)評(píng)：解決二次函數(shù)的最值問題，應(yīng)該先求出二次函數(shù)的對(duì)稱軸，根據(jù)對(duì)稱軸與自變量的取值范圍的關(guān)系來解決。1.一次函數(shù)在其定義域內(nèi)是沒有最值的，若對(duì)x的取值范圍加以限制，函數(shù)才有最值。2.含絕對(duì)值的函數(shù)，求其最值的關(guān)鍵是去絕對(duì)值符號(hào)，然后借助函數(shù)圖象，確定其最值。有時(shí)利用絕對(duì)值的定義和性質(zhì)可以快速地確定函數(shù)的最值。3.二次函數(shù)的最值為：（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在時(shí)取得最小值；（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在時(shí)取得最大值。4.對(duì)于有限范圍內(nèi)的二次函數(shù)，需要根據(jù)具體情況確定它的最值，一般需要比較在時(shí)的函數(shù)值，才能確定其最值。問題：當(dāng)k為何值時(shí)，方程兩根的平方和最小。錯(cuò)解：設(shè)方程的兩根分別為，設(shè)，因?yàn)椋?。因此，?dāng)時(shí)，y有最小值，且為－16。即當(dāng)時(shí)，原方程兩根的平方和最小。錯(cuò)因剖析：當(dāng)時(shí)，方程為，由于，此時(shí)方程無實(shí)根，更談不上兩根的平方和最小了。那錯(cuò)在哪兒呢？根本原因是忽視了題中的隱含條件，即，從而，而不在范圍內(nèi)，所以上面的解題結(jié)論錯(cuò)了。正確解答：設(shè)方程的兩根分別為，設(shè)，因?yàn)?，所以。因?yàn)榉匠逃袃蓚€(gè)根時(shí)，，所以，即，所以在范圍內(nèi)，y隨著x的增大而減小，所以當(dāng)時(shí)，y有最小值，且為2，即當(dāng)時(shí)，原方程兩根的平方和最小。點(diǎn)評(píng)：做二次函數(shù)最值這一類題目時(shí)，要充分挖掘題目中的隱含條件，正確求出自變量的取值范圍，有兩種方法可求出最值：①幾何方法：畫出函數(shù)圖象，找出圖象中的最高點(diǎn)（或最低點(diǎn)），從而求出當(dāng)自變量為何值時(shí)，函數(shù)值的最大值（或最小值）是多少？②代數(shù)方法：首先判斷頂點(diǎn)橫坐標(biāo)是否在自變量取值范圍內(nèi)，若在，它就是最值點(diǎn)；若不在，它就不是最值點(diǎn)，然后另尋它點(diǎn)。（答題時(shí)間：50分鐘）一、填空題1.已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，取最大值是；當(dāng)時(shí)，取最小值是。2.已知拋物線的開口向上，對(duì)稱軸是直線，當(dāng)，，時(shí)，對(duì)應(yīng)的值分別是、、，則、、的大小關(guān)系是。3.函數(shù)的最小值是，最大值是。4.已知二次函數(shù)的最大值是3，那么的值為。二、解答題*1.設(shè)是實(shí)數(shù)，求二次函數(shù)的最小值。其次，設(shè)在取值范圍中變動(dòng)，求的最大值。*2.已知二次函數(shù)有最大值，求實(shí)數(shù)的值。*3.當(dāng)時(shí)，求二次函數(shù)的最大值與最小值。**4.已知實(shí)數(shù)a、b滿足，求的最大值與最小值。*5.已知k是實(shí)數(shù)，求方程兩實(shí)根平方和的最大值與最小值。

一、填空題1.113－1解析：函數(shù)，由可知，當(dāng)＝1時(shí)，取得的最大值是1；當(dāng)＝3時(shí)，取得的最小值是－1。2.解析：拋物線的開口向上，對(duì)稱軸是直線x＝2，當(dāng)x＝2時(shí)取得最小值，∵當(dāng)x＜2時(shí)是減函數(shù)，∴，又∵3－2＜2－0，2－＜3－2，即，。3.02解析：，當(dāng)x＝2時(shí)，取得最小值為0；當(dāng)x＝0或4時(shí)取得最大值為2。4.0解析：二次函數(shù)，，當(dāng)x＝1時(shí)，取得最大值4＋a－1＝3，故a＝0。二、解答題1.解，它在時(shí)取得最小值，所以。其次，，解之得：在上述范圍內(nèi)，當(dāng)時(shí)最大，所以當(dāng)時(shí)取得最大值。2.解：函數(shù)的對(duì)稱軸為。該函數(shù)開口向下，分以下情況進(jìn)行討論：若，則該二次函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞減，時(shí)有最大值，故，又，故。若，則該二次函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞增，時(shí)有最大值，故，又，故。若，則該二次函數(shù)在頂點(diǎn)處取得最大值，故，與矛盾。綜上所述，或。3.解：設(shè)的最大值為，最小值為，則，我們先求。①當(dāng)時(shí)（即對(duì)稱軸在左邊時(shí)），對(duì)應(yīng)于的圖象的右端點(diǎn)高于左端點(diǎn)，故x=1時(shí)函數(shù)取最大值為。②當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)于的圖象的左端點(diǎn)高于右端點(diǎn)，故時(shí)函數(shù)取最大值為?？傊?，二次函數(shù)的最大值為：我們?cè)賮砬笞钚≈?。①?dāng)時(shí)（對(duì)稱軸在定義域左側(cè)），當(dāng)時(shí)，。②當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，。③當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，。總之，二次函數(shù)的最小值為：。4.解：將變成以下兩種形式：，①。②相應(yīng)地將＝1變成以下兩種形式：，，∴，③。④③代入①得，當(dāng)a＋b＝0，即a＝－b時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)a＝1，b＝－1或