力偶系簡(jiǎn)化與平衡第1頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期日§2-3力矩、力偶的概念及其性質(zhì)力對(duì)物體的運(yùn)動(dòng)效應(yīng)

移動(dòng)效應(yīng)--取決于力的大小、方向

轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)--取決于力矩的大小、方向一、力對(duì)點(diǎn)的矩（力矩）力使物體繞某點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的力學(xué)效應(yīng)，稱(chēng)為力對(duì)該點(diǎn)之矩。

第2頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期日靜力學(xué)矩心力臂例：扳手?jǐn)Q螺母平面問(wèn)題中：代數(shù)量大小:mo(F)＝±Fd

mo(F)＝±2ΔABC符號(hào)規(guī)定：-+

單位:牛頓?米（N?m）或kN?m。(1)表示第3頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期日(2)力矩的性質(zhì)：力對(duì)點(diǎn)之矩，不僅取決于力的大小，還與矩心的位置有關(guān)。力矩隨矩心的位置變化而變化。力對(duì)任一點(diǎn)之矩，不因該力的作用點(diǎn)沿其作用線(xiàn)移動(dòng)而改變，再次說(shuō)明力是滑移矢量。力的大小等于零或其作用線(xiàn)通過(guò)矩心時(shí)，力矩等于零。

力臂mo(F)＝±Fd

第4頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期日靜力學(xué)(3)合力矩定理

平面匯交力系的合力對(duì)平面內(nèi)任一點(diǎn)的矩，等于所有各分力對(duì)同一點(diǎn)的矩的代數(shù)和。 即：第5頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期日根據(jù)合力投影定理YR＝Y(jié)1＋Y2＋…＋Yn兩端乘以O(shè)A得YROA＝Y(jié)1OA＋Y2OA＋…＋YnOA將上式代入得mo(FR)＝mo(F1)＋mo(F2)＋…＋mo(Fn)

即mo(FR)＝Σmo(F)證明：設(shè)剛體上的A點(diǎn)作用著一平面匯交力系,力系的合力Fn。在力系所在平面內(nèi)任選一點(diǎn)O，過(guò)O作oy軸，且垂直于OA。第6頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期日應(yīng)用：當(dāng)力的力臂不易求出時(shí)，常將力分解為兩個(gè)容易確定力臂的分力（通常分解為正交力），然后應(yīng)用合力矩定理計(jì)算力矩。ABDCabFα[例1]：求圖中力F對(duì)A、B、C、D各點(diǎn)的力矩。合力矩定理：建立了合力對(duì)點(diǎn)之矩與分力對(duì)同一點(diǎn)之矩的關(guān)系。這個(gè)定理也適用于有合力的其它力系。第7頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期日[例2]

已知：如圖F、Q、l,求：和

靜力學(xué)解：①用力對(duì)點(diǎn)的矩

②應(yīng)用合力矩定理

第8頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期日2.空間問(wèn)題中：矢量（大小、轉(zhuǎn)動(dòng)平面、旋轉(zhuǎn)方向)

轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)取決于：①轉(zhuǎn)動(dòng)大小:力的大小F和力臂h的乘積Fh②轉(zhuǎn)動(dòng)平面：由右手定則確定；③轉(zhuǎn)動(dòng)方向。上述要素可以用一個(gè)矢量來(lái)表示，即力對(duì)點(diǎn)的矩矢①矢量表示式：矢量積的模：即：矢量的長(zhǎng)度表示力矩的大小,矢量的指向與力矩的轉(zhuǎn)向成右手系,矢量的方位于力矩作用平面垂直.定位矢量,與作用位置有關(guān).第9頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期日其中是矩心O到力作用點(diǎn)的矢徑，x、y和z是力作用點(diǎn)的三個(gè)坐標(biāo)，F(xiàn)x、Fy和Fz是在三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影。力對(duì)點(diǎn)O的矩矢為:②解析表示式:第10頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期日力對(duì)點(diǎn)的矩矢在坐標(biāo)軸的投影式：(3)合力矩定理為力系的合力，則有

即力系合力對(duì)任一點(diǎn)的矩矢，等于諸力對(duì)同一點(diǎn)的矩矢的矢量和，稱(chēng)之為合力矩定理。第11頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期日力F使物體繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)的效應(yīng)稱(chēng)為力對(duì)軸之矩,記為:

mz(F)=±Fx·OA=±Fxy·hxzFzFxyFyFFxyoAhB顯然:力與軸平行,無(wú)矩力與軸相交,無(wú)矩即:力與軸位于同一平面內(nèi)時(shí),無(wú)矩合力矩定理:

mz(R)=Σmz(Fi)二、力對(duì)軸的矩（代數(shù)量）12第12頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期日靜力學(xué)力對(duì)//它的軸的矩為零。即力F與軸共面時(shí)，力對(duì)軸之矩為零。13第13頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期日zyxo力對(duì)軸之矩的解析式:

(x,y,z).FXYZzyxmx(F)=yZ-zYmY(F)=zX-xZmz(F)=xY-yX力對(duì)點(diǎn)的矩矢與力對(duì)通過(guò)該點(diǎn)的軸之矩間的關(guān)系力對(duì)點(diǎn)的矩矢在通過(guò)該點(diǎn)的某軸上的投影等于力對(duì)該軸之矩.14第14頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期日練習(xí)：計(jì)算圖中力F對(duì)O點(diǎn)的矩和力對(duì)軸的矩llFFlFα

aAzyxoB300T

GZAXAXOYOZObABCD123456PSSSSSS15第15頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期日靜力學(xué)三、力偶、力偶矩1.力偶：等大、反向、不共線(xiàn)的一對(duì)平行力叫力偶。

用符號(hào)(F,F′)表示

力偶對(duì)物體的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)取決于：力偶作用面的方位、力偶矩的大小和轉(zhuǎn)向三個(gè)要素．用力偶矩矢M表示．力偶矩是力偶對(duì)物體的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)的度量第16頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期日靜力學(xué)力偶臂：兩個(gè)力作用線(xiàn)之間的垂直距離

力偶的作用面：兩個(gè)力作用線(xiàn)所決定的平面2.力偶矩的表示

（1）平面問(wèn)題中：代數(shù)量,用m或m(F,F′)表示，m(F，F(xiàn)′)＝±F?d=±2ΔABC

符號(hào)規(guī)定：-+

單位:牛頓?米（N?m）或kN?m。dF’FM=FdM=Fd

表示方法：第17頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期日（2）空間問(wèn)題中：矢量（力偶矩矢M）矢量式：解析式:第18頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期日3.力偶的性質(zhì)性質(zhì)1：力偶不能用一個(gè)力來(lái)代替，它既不能合成為一個(gè)力，也不能與一個(gè)力平衡，是一個(gè)基本力學(xué)量。力偶只能與力偶平衡．力偶中的兩個(gè)力在任一軸上投影的代數(shù)和恒為零。性質(zhì)2：力偶可在作用面內(nèi)任意轉(zhuǎn)動(dòng)，或平移到另一平行平面，而不改變對(duì)剛體的作用效應(yīng)．即力偶是自由矢量．性質(zhì)３：保持力偶的轉(zhuǎn)向和力偶矩的大小不變，力偶中的力和力臂的大小可以改變，而不會(huì)改變對(duì)剛體的作用效應(yīng)。第19頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期日靜力學(xué)§2-4

力偶系的合成與平衡dd合力偶以?xún)蓚€(gè)平面力偶為例：第20頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期日靜力學(xué)結(jié)論:兩個(gè)平面力偶合成結(jié)果是一個(gè)力偶,其力偶矩為各力偶矩的代數(shù)和。

空間力偶系的合成方法：將力偶矩矢看作力，空間力偶系相當(dāng)于空間匯交力系，合成結(jié)果還是一個(gè)力偶,其力偶矩矢為各力偶矩矢的矢量和。第21頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期日，其作用效果完全等效根據(jù)力偶矩的定義兩個(gè)空間力偶系的合成：第22頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期日結(jié)論：空間兩個(gè)力偶合成的結(jié)果為一個(gè)合力偶，合力偶的力偶矩矢等于此二力偶的力偶矩矢的矢量和。推而廣之，可以得到力偶系的合成結(jié)論，即力偶系的合成結(jié)果為一個(gè)合力偶，其力偶矩矢為各力偶矩矢的矢量和。矢量式：解析式：第23頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期日在平面問(wèn)題中：若作用在同一平面內(nèi)有n個(gè)力偶，則上式可以簡(jiǎn)寫(xiě)為

M＝m1＋m2＋…＋mn＝Σm即：平面力偶系可以合成為一合力偶，此合力偶的力偶矩等于力偶系中各力偶的力偶矩的代數(shù)和。平面力偶系平衡的充要條件是:所有各力偶矩的代數(shù)和等于零。

第24頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期日例1：圖示F1=F1’=150N，F(xiàn)2=F2’=200N，F(xiàn)3=F3’=250N。求合力偶。第25頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期日解：(1)求各個(gè)力偶的力偶矩：(2)求合力偶矩：

合力偶轉(zhuǎn)向是逆時(shí)針。第26頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期日靜力學(xué)[例2]

在一鉆床上水平放置工件,在工件上同時(shí)鉆四個(gè)等直徑的孔,每個(gè)鉆頭的力偶矩為求工件的總切削力偶矩和A、B端水平反力?

解:各力偶的合力偶距為根據(jù)平面力偶系平衡方程有:由力偶只能與力偶平衡的性質(zhì)，力NA與力NB組成一力偶。第27頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期日例3：四連桿機(jī)構(gòu)OABO1在圖示位置平衡，已知A=40cm，O1B=60cm，作用在曲柄OA上的力偶矩大小為m1=1N.m，不計(jì)桿重；求力偶矩m2的大小及連桿AB所受的力。

第28頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期日解：(1)研究OA桿，畫(huà)受力圖：

列平衡方程：

(2)研究AB（二力桿），受力如圖：

可知：

(3)研究O1B桿，受力分析，畫(huà)受力圖：第29頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期日靜力學(xué)思考題：1.圖中的圓輪在圖示作用下平衡。是否說(shuō)明一個(gè)力可以與一個(gè)力偶平衡？為什么？MF2.圖示四連桿機(jī)構(gòu)在M1=M2的作用下能否平衡，為什么？M1ABCDM2第30頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期日3.圖中四