抽象函問(wèn)的題型述抽象函數(shù)是指沒(méi)有明確給出具體的函數(shù)表達(dá)式，只是給出一些特殊關(guān)系式的函數(shù)，它是中學(xué)數(shù)中的一個(gè)難點(diǎn)，因?yàn)槌橄?，學(xué)生解題時(shí)思維常常受阻，思路難以展開(kāi)，教師對(duì)教材也難以處理，而考中又出現(xiàn)過(guò)這一題型，有鑒于此，本文對(duì)這一問(wèn)題進(jìn)行了初步整理、歸類，大概有以下幾種題型：一求某特值這類抽象函數(shù)一般給出定義域，某些性質(zhì)及運(yùn)算式而求特殊值。其解法常用“特殊值法即其定義域內(nèi)令變量取某特殊值而獲解，關(guān)鍵是抽象問(wèn)題具體化。例1定在R上函數(shù)fx)

滿足：f()(4)

且(2x)f(x2)0

f(2000)

的值。例2已函數(shù)f(x)

對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y都(xy)f()f(y)

，且當(dāng)

x0

時(shí)，f()0，f(，f()

在

[

上的值域。二求參范這類參數(shù)隱含在抽象函數(shù)給出的運(yùn)算式中，關(guān)鍵是利用函數(shù)的奇偶性和它在定義域內(nèi)的增減性去掉“f

”符號(hào)，轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式組求解，但要特別注意函數(shù)定義域的作用。例3已f)

是定義

偶數(shù)函數(shù)

fa2)f(4

，試確定a

的取值范圍。

例4已f)

是定義在

(

上的減函數(shù)

f(msinx)f(m)

對(duì)

R

恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。三解不式這類不等式一般需要將常數(shù)表示為函數(shù)在某點(diǎn)處的函數(shù)值過(guò)數(shù)的單調(diào)性去掉函數(shù)符f轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式求解。

例5

已知函數(shù)f)

對(duì)任意

x，yR有f(x)()2f(y)，當(dāng)x0時(shí))2

，f(3)5

，求不等式

f

2

a3

的解集。四證明些題例6設(shè)f()

定義在R上且對(duì)任意的

有f(x)fx2)

，求證：f)

是周期函數(shù)，并找出它的一個(gè)周期。例7已fx)

對(duì)一切

x，

，滿足

f(0)，fxy)f(x)(y)

，且當(dāng)

x0

時(shí)，(

，求證）

x0時(shí)，f(x)

（）f)

在R上為減函數(shù)。五綜合題解抽象函數(shù)的綜合問(wèn)題一般難度較大，常涉及到多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，抽象思維程度要求較高，解題時(shí)需握好

如下三點(diǎn)：一是注意函數(shù)定義域的應(yīng)用，二是利用函數(shù)的奇偶性去掉函數(shù)符號(hào)“f”的“負(fù)號(hào)是利用函數(shù)單調(diào)性去掉函數(shù)符號(hào)“

例8設(shè)數(shù)fx)

定義在R上

x0

時(shí)fx)

任

m，

f(n)fm)(n)

，當(dāng)m時(shí)fm)f(n)

。（）明f(0)

；（）明：f()

在R上是增函數(shù)；（）A)(y)f(1)B{()|f(axby0}ABa，b，c

滿足的條件。例9定

的函數(shù)(x)

滿

x，y都fx(y)f

y1

)

，（）

x0)

時(shí)，有f()

，（）判斷f()

的奇偶性）斷f)

的單調(diào)性；（）證)f(

)f

)f()2

。抽函問(wèn)分解我們將沒(méi)有明確給出解析式的函數(shù)稱為抽象函數(shù)。近年來(lái)抽象函數(shù)問(wèn)題頻頻出現(xiàn)于各類考試題，由于這類問(wèn)題抽象性強(qiáng)，靈活性大，多數(shù)同學(xué)感到困惑，求解無(wú)從下手。本文試圖通過(guò)實(shí)例作分解析，供

學(xué)習(xí)參考。求義域這類問(wèn)題只要緊緊抓?。簩⒑瘮?shù)f[gx)]

中的

x)

看作一個(gè)整體，相當(dāng)于

中的這一特性，問(wèn)題就會(huì)迎刃而解。例函數(shù)

的定義域?yàn)?/p>

(

，則函數(shù)

yf(2

2

2)]

的定義域是__。例已知f)

的定義域?yàn)?/p>

(0，f(x)f(x)(||

)

的定義域是______。判奇偶性根據(jù)已知條件，通過(guò)恰當(dāng)?shù)馁x值代換，尋求f(與f()

的關(guān)系。例已知x

的定義域?yàn)镽，且對(duì)任意實(shí)數(shù)x，滿足()x)f(y

，求證：fx)

是偶函數(shù)。是偶函數(shù)。例若函數(shù)yfxf)0)y判單調(diào)性

與(

的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，求證：函數(shù)根據(jù)函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性等有關(guān)性質(zhì)，畫(huà)出函數(shù)的示意圖，以形助數(shù)，問(wèn)題迅速獲解。例如果奇函數(shù)f)

在區(qū)間

[7]

上是增函數(shù)且有最小值為5，么f)

在區(qū)間

[

上是A.增數(shù)且最小值為減數(shù)且最小值為

B.增函數(shù)且最大值為減數(shù)且最大值為

例6.已偶函數(shù)f(x

在

(0，

上是減函數(shù)，問(wèn)f()

在

(

上是增函數(shù)還是減函數(shù)，并證明你的結(jié)論。探周期性這類問(wèn)題較抽象，一般解法是仔細(xì)分析題設(shè)條件，通過(guò)類似，聯(lián)想出函數(shù)原型，通過(guò)對(duì)函數(shù)原的分析或賦值迭代，獲得問(wèn)題的解。例設(shè)函數(shù)fx

的定義域?yàn)?，且?duì)任意的，有f()fx)2fx)(y

，并存在正實(shí)數(shù)，使

f)。問(wèn)f

是否為周期函數(shù)？若是，求出它的一個(gè)周期；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由。求數(shù)值緊扣已知條件進(jìn)行迭代變換有次迭代可直接求出結(jié)果者在迭代過(guò)程中發(fā)現(xiàn)函數(shù)具有周期，利用周期性使問(wèn)題巧妙獲解。例已知f

的定義域?yàn)?/p>

R

，且f(xy)f()f()

對(duì)一切正實(shí)數(shù)x，都立，若

，

則(2)

。例已知x

是定義在R上函數(shù)，且滿足：(2)[1()]f()

，f(1)1997，f(2001)的。比函數(shù)值大小利用函數(shù)的奇偶性稱等性質(zhì)將自變量轉(zhuǎn)化到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間內(nèi)后利用其單調(diào)性使問(wèn)題獲。例10.已函數(shù)x)

是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)

時(shí)f)

是增函數(shù)x

x2

x|12

，則

f()f()2

的大小關(guān)系是。討方程根的問(wèn)例11.已函數(shù)f(

對(duì)一切實(shí)數(shù)x都滿足(1

，并且f()0

有三個(gè)實(shí)根，則這三個(gè)實(shí)根之和是。討不等式的解求解這類問(wèn)題利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行轉(zhuǎn)化，脫去函數(shù)符號(hào)。例12.已知函數(shù)f(

是定義在

(

上的減函數(shù)，且對(duì)一切實(shí)數(shù)x，不等式f(if(ki研函數(shù)的圖象

恒成立，求k的值。這類問(wèn)題只要利用函數(shù)圖象變換的有關(guān)結(jié)論，就可獲解。例13.若數(shù)yfx

是偶函數(shù)，則yf)

的圖象關(guān)于直線對(duì)。練習(xí):1.函f(x)對(duì)意x、∈都f(x+y)f(x)+f(y)-1且x>0時(shí)，f(x)>1①求證f(x)是R上增函數(shù)②若f(4)＝，不等式f(3x-x-2)<3是R上的數(shù)對(duì)意的實(shí)數(shù)xx都滿f(x+)＝f(x)+f(x),當(dāng)x>0時(shí)>0且f(2)=3①試判斷f(x)的偶性和單調(diào)

))|f(xf(1)，②當(dāng)θ∈[0,

]時(shí),f(cos2－3)+f(4m－2mcosθ)對(duì)所有的均成求n數(shù)的取值范圍3.f是義在N上取值為數(shù)的嚴(yán)格單增函數(shù)m、互時(shí)f(m·n)＝(m)·(n)若f(19)＝，·f(98))值4.f(x)定義域?yàn)镽，對(duì)任意xx

R都有f(x+x)＝f(x)+f(x，且x>0時(shí)f(x)<0、f(1)＝①試判斷f(x)的奇偶性②試判斷在-3，3]上，f(x)是有最大值或最小值？如果有求之，如果沒(méi)有，說(shuō)明理由③解關(guān)于x的不式

f（bx）－f(x)>f（bx）－（≠）5.f定域?yàn)镽，對(duì)任意實(shí)m、n都有f(m+n)f(m)f(n)，當(dāng)x>0時(shí)0<f(x)<1①求f(0)證明時(shí)f(x)>1.②證明f(x)在R上減，并舉出一個(gè)滿足①②的函數(shù)f(x)①設(shè)A＝

2

y|faxy