2021年備戰(zhàn)中考復習數(shù)學小題(解答)專練：

圓的綜合(一)

1.如圖，為O。的直徑，C為。。上一點，與過C點的直線互相垂直，垂足為D,

AC^ADAB.

(1)求證：OC為O。的切線；

(2)若4?=3,。0=技求劣弧女的長.

2.在“跋中，/6=90。，。是"6C外接圓上的一點，且點。是N6所對的弧的中點.

(1)尺規(guī)作圖：在圖1中作出點。；(要求：不寫作法，保留作圖痕跡)

(2)如圖2,連接BD,CD,過點B的直線交邊/U于點M,交該外接圓于點E,交

。的延長線于點P,BA,。1的延長線交于點Q,DP=DQ.

①若宸=底，46=4,BC=3,求8g的長；

②若DP=*~(AB+BC),求NQDQ的度數(shù).

圖1圖2

3.定義：如果三角形三邊的長a、b、c滿足"丁J=b,那么我們就把這樣的三角形叫做

"勻稱三角形".如：三邊長分別為1,1,1或3,5,7,...的三角形都是"勻稱三角

形".

(1)已知"勻稱三角形"的兩邊長分別為4和6,則第三邊長為.

(2)如圖，“8C中，。以為直徑的。。交8c于點D,過點。作DFL

AC,垂足為F,交48的延長線于E,求證：)是。。的切線；

(3)在(2)的條件下，若塔*,判斷尸是否為"勻稱三角形"？請說明理由.

Cro

4.如圖，在等腰Rt“6c中,NABC=90°,點。是以為直徑的。。上一點，連BD交

ACTP,CD=BC.

(1)求證：。是。。的切線；

(2)求苗的值.

5.如圖，在中，N8=90°,ED=DF，點f在力。上，以〃為直徑的。。經過點

。.求證：①8c是。。的切線；②6=

6.如圖，四邊形26紇是平行四邊形，過4B、C三點的。。與a相交于點D.連接

AD、是的角平分線.

(1)判斷的形狀，并說明理由；

(2)求證：BE是O。的切線；

(3)如果28=瘀，8￡=8,求O。的.

B

7.如圖，已知C、。是直徑為的圓。上的兩點，連接于點E,DE=%,點P為

射線”上一點,使"8C=^BDC.

(1)求證：必為圓。的切線；

(2)求證：BR=ED*PC;

(3)若8c=2,AD=0回,求必的長.

3

8.如圖，已知力8是。。的直徑，。為O。上一點，N。3的角平分線交。。于點。，尸

在直線48上，且DF\BC,垂足為E,連接AD,BD.

(1)求證：。尸是。。的切線；

(2)若tanz/l=^,o。的半徑為3,求)的長.

D

O

C

9.如圖所示,而是O。的切線，/為切點，直線。戶交O。于點E,/C是。。的直徑，

弦6Q。戶，交。于點D,連接PB.

(1)判斷直線與0。的位置關系，并說明理由；

(2)已知AB=673，/￡=6,求弦力￡和劣弧/￡所圍成弓形的周長和面積.

10.如圖，是。。的直徑，過。。外一點戶作。。的兩條切線PC,也，切點分別為C,

D,連接。戶，CD.

(1)求證：021CD\

(2)連接Z。，BC,若NZ?26=50°,NC必=70°,OA=2，求。戶的長.

11.如圖，OO是等腰的外接圓，AB=AC,。為左上一點，連結/。，。，作

BFW，。交/C的延長線于點F.

(1)求證：^BCF=AADC',

(2)若/。=2,85=8,求/GC尸的值.

(3)連結BD交力尸于點E,若BDVAC.

①當/￡=2時，求"的長；

②若笑=k,用含有Z的代數(shù)式表示tanzfi4C.

12.如圖，在半徑為5cm的。。中，是。。的直徑,。是過。。上一點C的直線,

且AD1.。。于點D,ZC平分N必。，￡是8c的中點,OE=3cm.

(1)求證：。是。。的切線；

(2)求力。的長.

13.如圖,ZC是。。的直徑，BC,8。是O。的弦，M為8c的中點，0M與8。交于點

F,過點。作DErBC,交8c的延長線于點E,且。平分

(1)求證：?！晔?。。的切線；

(2)求證：ACDE=ADBE\

(3)若止=6,tanzCZ?F=,求8尸的長.

O

14.如圖，點。為以26為直徑的半圓的圓心，點M,/V在直徑48上，點P,Q在第上,

四邊形MNPQ為正方形，點C在加上運動(點C與點P,Q不重合)，連接8c并延

長交例Q的延長線于點D,連接AC交股Q于點E,連接OQ.

(1)求5m//。。的值；

,求壽值；

(3、令ME=x,QO=y，直徑28=2/?(R>0,/?是常數(shù))，求y關于x的函數(shù)解析

式，并指明自變量x的取值范圍.

NB

15.如圖所示，力8是。。的直徑，點C。是。。上不同的兩點，直線8。交線段OC于

點E、交過點C的直線6于點F,若00=3%,且9(-8)=。U.

(1)求證：直線"是0。的切線；

(2)連接OD、AD、AGDC,若zCOD=2zBOC.

①求證:^ACD-^OBE;

②過點日乍EGWAB,交線段/C于點G,點例為線段/C的中點，若/。=4,求線段

例G的長度.

參考答案

：AC^ADAB,

:.z.DAC=/.BAC,

：OA=OC,

:.z.BAC-/.ACO,

:.z.DAC=AACO,

：.AD\\OC,

：ADVDC,

:.OC±DC,

過。，

.為。。的切線;

(2)M：.ADVDC.

:.AADC=90°,

-：AD=3,DC=43.

:.tanzDAC=—=^-,

AD3

"020=30°,

:.ABAC=Z.ACO=乙DAC=30°,AC=2DC=2M，

:.^AOC=180°-30°-30°=120°,

連接8C,

“8是O。的直徑，

.20=90°,

：^BAC=30°,

：.AB=2BC,

MC=2技

；.(2BC)2=(2?)2+8Q,

解得：6C=2,/8=4,

即4。=2,

.?劣弧ZC的長是I。白：2=聲

loU3

2.解：(1)如圖1,作N/8c的角平分線，交圓于點D,則點。為N8所對的弧束的中

點，

圖1

(2)①連結Zf,

圖2

'?,AE=BC，

：.z.ABE=Z.BAC,

'?'AB=AB，

..Z.AEB-Z.ACB,

又為公共邊，

:.^AB^BAC{AAS),

：.4EAB=ZABC=90°,

X-AE=BC，8c=3,

.'./￡=BC=3,

在Rb/ISg中，46=4,AE=3,

?-5￡=VAB2+AE2=V42+32=5，

：.BE=5;

②連結AD,分別過點4C作AH>8。于點H,CR1.BD于R,

：.AD=DC,"BD=4DBC=45：

在Rt"8”中，z.AHB=90°,

：.4ABH=LBAH=A50,B年+A年=A9,

：.BH=AH=返.

■AB,

2

同理，夕?=唱,

BC,

■：^ABC=90°,

為直徑,

.'.z/IPC=90o,

：.^ADH+^CDR=2Q°,

在RtA/l。”中，4ADH+乙HAD=9Q°,

:.乙HAD=^CDR,

:aADH^DCR〈AAS),

:,AH=DR,

.4(AB+BC)=AH+BR=DR+BR=BD,

-：DP=^-{AB+BC),

：.DP=BD,

.-.z.P=Z.PBD,

:.z.BDC-z.P+z.PBD=2/P,

由①得，為直徑，

又MC為直徑,

.,.點例為圓心,

：.MA=MB.

:.AMAB=AABM,

?-,BC=BC-

：.aMAB;乙BDC,

設"=a,則"8/V/=2a,

.2ABM+乙PBD=4ABD=A50,

.'.2a+a=45°,

.?.a=15°,

;zBDC=30°,

；BE為直徑,

:.zEDB=90°,

：zPDQ=180°-/EDB-/BDC=180°-90°-30°=60°.

3.(1)解：設第三邊長為x,

①當4+6；*=6時，解得*=g,

②當生乎=厚，解得x=5,

③當專3=網解得x=2,

??-2+4=6,

.??當三邊長為2,4,6時，不能構成三角形，所以③舍去,

故答案為：5或8;

(2)證明：如圖1,連接。。，/。，

,.718是O。直徑，

：.AD^BC,

■：AB=AC,

為歌的中點，即8。=。，

二。為中點，

.".OD\\AC,OD—"^"AC?

■：DF±AC,

:.^AFD=90°,

■：OD\\AC,

"ODE=zAFD=9G°,

.'.OD-LEF,

是。。半徑，

尸是。。的切線；

(3)解：)是"勻稱三角形"，理由如下：

如圖2,過8作BM1EF于M,

:.乙BMD=4CFD=9S,

在和AGT?中，

，ZBMD=ZCFD

<ZBDM=ZCDF,

BD=CD

.“BMXCFDIAAS),

：.BM=CF,

..BE^5

‘CF飛'

,BE_5

"BM"3'

"BMD=NCFD=9G°,

:aEBMs"EAF,

,BEAE.5

"BM"AF

設4F=5x,則AF=3x,

-'-EF=7AE2-AF2=4X，

..5x+4x+3x.

^,

.AE+E；+AF_EF,

)AEF是"勻稱三角形".

E圖2

A

E圖1

4.(1)證明：連接。。，如圖1所示：

?：OD=OB,

：.z.OBD=Z.ODB,

■：CD=CB,

：.z.CBD-Z.CDB,

?.zOBD+乙CBD=zOBC=90°,

:.乙ODB+乙CDB=9G,

；"。。=90°,

:.OD^CD,

又：。。是。。的半徑，

二。與0。相切；

(2)解：連接OC交8。于點H,連接AD.OD,如圖2所示：

：BC=CD,OB=OD,

.??OC垂直平分BD,

:/OHB=9。：4ABD+乙BOH=LBCO+乙BOH=90",

：./.ABD-Z.BCO,

???力8c是等腰直角三角形，

:.AB=BC,

是O。的直徑，

.?2/08=90。，OB=—AB=—BC,

22

Xdx\z.ABD—tanN8cO=——■=—?,

BC2

設OH=a,則DH=BH=2a,

;.BD=4a,CH=2BH=Aa,AD=^BD=2a,

.:乙ADB=LOHB=qO0,

:.AD\\CH,

:&ADPiCHP,

,DP=AD=2a

"PH-CH"4a

-：DH=2a,

：QP噌PH=等,

o

22

在Rb/WC中，由勾股定理得:PC=VPHCH=J(-^-)2+(4a)2=

Voo

22=J(2a)2+2=

在RtA/。戶中，由勾股定理得：止VAD+DP號)呼

2V10

.AP=3a=1

"PC-4<10~2'

3a

圖2

連接。。，

,?'ED=DF，

:zFAD=乙DAE=—AFAE,

2

?.zDAE=-|zDOE（圓周角定理），

:.乙FAE;乙DOE、

:.DO\\AB,

根據(jù)題意可知/6JL8C,

:.DO^BC,

???8C是0。的切線.

②如圖2,

圖2

連接。F,OD,

X8為直徑，OA=OD,

：.z.ADO+z.EDO-z.ADE=2Q°,Z.ADO-Z.DAO,

由（1）可知/。?￡+"。。=90°,

：.Z.DAO-Z.CDE,

在△OF和△C4。中，

fZDCE=ZACD

IZCDE=ZCAD'

:ACDESKCAD,

,CDCE

"CA"CD'

故CN=CE'CA.

6.解：（1）,.四邊形力8式是平行四邊形，

：.AB\\CE,AC=BE,

：.z.ADC-Z.DAB.

.乂0=8。（圓周角定理），

：.BE=BD,

故是等腰三角形.

（2）如圖1,

D

E

圖1

連接OB,貝24DAB;^DOB,

由(1)可知6￡=8。，

:.z.BDE=Z.E,

■：AB\\CE,是N/OF的平然，

:.z.EDB=Z.ABD,z.EDB=Z.ADB,

:.z.ABD-Z.ADB-Z.BDE-Z.E,

:aABDszBED,

:.z.DAB=Z.DBE,

■：OD=OB,

.2。8。=(18°°-ND0B)=180°-2/DAB=90。./。力展緲-乙DBE,

22

即/。8。+/。6￡=90°,

.OBA.BE,

故是。。的切線.

(3)如圖2,

圖2

過點。作OF'DB,過點D、￡分別作DMlAB,ENLAB交的延長線于點N,

貝II有/8。尸=工。。尸=三乙BOD,BF=DF=^DB,DM=EN,DE=DM,

又乙DAM二三乙BOD,

:.^BOF=ADAM.

根據(jù)題意有AB=CE=4泥,BE=BD=8,

:.BF=4,

由(2)可知"BARBED,

即四I,

BEED8DE

解得。6與5,

5

在RtA0V78和RtA￡7V8中，

(DM=EN

1DB=EB'

:補DM^X3ENBIHL),

:.BM=BN=上MN=±DE=,

225

:.AM=AB-BM=矩=坦”

55

在RtDMB中,

DM=VDB2-BM2=,

在RbZ。例和RtA(96尸中，

rZDAM=ZBOF

1ZAHD=ZOFB=9O°'

RbOBF,

12-

.AM_OF5_OF

'-DM=BF(BHPnW=Tf

5

解得。尸=3,

在RNOB廠中，

<95=VBF2OF2=5，

故。。的半徑為5.

7.(1)證明：為直徑，

..")=90°,

:ABDC=ABAC,

：zBDC+/ABC=90°,

：APBC=ABDC,

:zPBC+/ABC=90°,

:zABP=90°,

:.ABvBP,

二所為圓。的切線；

(2)證明：?.〃￡=DA,

.,.zl=z2,

,.zl=z4,z2=z3,

/.z3=z4,

:.BE=BC,

■：ADBA=AACD,^ACB=90°,

.?.N4+N。班=90°,

由(1)知，N￡80=90°,

.-.z3+zP=90o,

:.z.DBP=z.P,

■：^BDC=^PBC,

:aDEB~ABCP,

.DE_BE

"BC"PC'

■：BE=BC,

:.BP=E1>PC.

(3)過8作8GJ.CF于G,由(2)知BE=BC.

：.EG=CG,

：AD=DE=,BC=BE=2,

3

,4=275^

3

田母6^5，

設EG=CG=x,貝！JPE=^^+2x，

5

/RtABGE-RtAPBE,

：.BR=EG、EP,

■--22=X(^+2X)，

b

解得*=苓，

5

，PE=2泥,

"■-PB=7PE2-BE2=4-

8.解：（1）如圖，連接O。,

：OC=OD,

:.z.ODC-Z.OCD,

?；CD平令4OCB,

：.Z.OCD-/.BCD,

：.Z.ODC-/.BCD,

：.OD\\CE,

：.^CEF=^ODE,

：CErDF.

“CEF=90°,

"ODE=qO：即OD1.DF,

二?！甘恰?。的切線；

（2）1/8是。。的直徑，

"ADB=90°,

.-.tanz/l=—=—,貝!]/。=28。，

AD2

在Rt"8。中，^ADB=90°,AB=2r=6,

:.BN+A5=A&,即BD^+（28。）2=62,

解得6。=挈，

5

由（1）知。尸是。。的切線，

：.z.BDF=^A,

：BEA.DF,

"BEF=9G°,

BF1

..tanN8。尸=常=卷，則DE=2BE,

在RtABZ%■中，6。=囪5,

5

由勾股定理可得，BR+DR=庭，即BR+（25￡）2=（殳區(qū)）2,

5

解彳導?，則孕，

b0

由（1）知BEWOD,

.EFBE日nigT初汨68

.礦而，即青+EF武’解得代7

0O

9.解：（1）直線。8是。。的切線.

理由如下：連接。8.

■：BC\\OP,

:./.AOP-Z.ACB,z.BOP=ZLOBC,

■：OB=OC,

:.z.ACB=Z.OBC,

:./LAOP=Z.BOP,

??,必是。。的切線，

...N外0=90°.

在A/和A8。。中，

'A0=0B

<ZAOP=ZBOP,

OP=OP

：4AO蜂BOPISAS),

:ZPBO=LPAO=90°,

.-.OB±PB,

二直線戶8是。。的切線.

(2)：^AOP=^BOP,

二弧〃=弧8￡,

??.OP_L弦/8,AD=BD,

-：AB=6yf3,AE=6,

.?.4?f8=3?,

在^ADE中，DE=VAE2-AD2=7s2-(3>/3)2=3，

在Rf/I。。中，設。。的半徑為x,

則X2=(X-3)2+(&/^)2,

解得x=6,

在RtA/OZ?中，sinz/IC?￡?=—

A062

"AOD=60°.

丈：OA=OE,

是等邊三角形，

：.AO=OE=6.

???弧/正的長=6°'；義6=2TT,

loU

.?弓形的周長=弦力日弧力￡的長=6+2n,

弓開鄉(xiāng)的面積=s扇形4?！暌籗.AOE=6。及6z-lxAD=6n-

X0E

360乙

10.解：(1)連接。C,OD.

:.OC=OD,

「也，PC是。。的切線，

"ODP="CP=9。：

在Rb。。。和RN。。中，

f0D=0C

10P=0P'

:爪OD隹RUOCP(HL),

：.z.DOP-Z.COP,

：OD=OC.

:.OPx.CD',

(2)如圖，連接。。，OC.

,-.OA=OD=OC=OB=2,

:.AOCB=ACBA=1Q°,^ODA=^OAD=SG0,

:.ABOC=40°,NZOZ?=80°,

:.z.COD=180°-^BOC-Z.AOD=60°,

■：^ODP=AOCP=90°,

■：OD=OC,

COZ?是等邊三角形，

由(1)知，LDOP=LCOP=30°,

在RfODP^P,OP=-=羋.

cos303

B

11.解:[1}-：AB=AC,

:.z.ABC-Z.ACB,

?:乙ACB+乙BCF=180°,^ABC+^ADC=180°,

:.z.BCF-Z.ADC;

(2)-：AD\\BF,

:.z.DAC=Z.F,

■：z.BCF=乙ADC,

:aBCFiCDA.

.ADCF

"AC"BF'

即，0=/〃8尸=2、8=16;

(3)①設C￡=x,CF=y,

?:乙DBC=ADAC=LF,乙BEC=^FEB,

:aBECjFEB,

.'.B￡2=x(x+y),

在Rt小展中,22+x(x+y)=(2+x)2,

:.CF=y=A;

②設〃=a,由①知，CF=2a,

..席k

'CF'

：.AC=2ak,EC=AC-AE=a[2k-l),EF=EC+CF=a(2k-1)+2a=a(2k+l),

由①知，BR=CE?EF.

：BE=VEC-EF=<374k2-l，

」.tanzSa=器=?

12.(1)證明：連接。C,如圖：

??,/C平分工加。，

:./.DAC-Z.CAO,

■：OA=OC,

：./.CAO-Z.OCA,

:./.DAC-Z.OCA,

:.AD\\OC,

■：ADA.DC,

:.COA.DC,

??.。是。。的切線;

(2)?.士是8c的中點，且。4=,

是△力8c的中位線,AC=2OE,

：OE=3,

:.AC=6,

?M8是。。的直徑，

:.AACB=9G°=^ADC,

又乙DAC=^CAB,

:.^DAC-^CAB,

一,A而D二A而C,即BnA丁D二元6，

：.AD=^-.

5

13.(1)證明：連接8,如圖：

平分"％

：.4OCD=LDCE,

：OC=OD,

：.z.OCD=Z.ODC,

：.^DCE=^ODC,

：.OD\\BC,

■：DErBC,

:.DEA.OD,

?,.OF是。。的切線；

(2)證明：連接，8,如圖：

是。。的直徑，

：.^ABC=90°,即"8。+/。6c=90°,

'?,AD=AD，

：./.ABD-Z.ACD,

.2ACD=LODC，

../.ABD-/.ODC,

"ODC+ND8C=90°,

：^ODC+^CDE=90°,

：.^CDE=^DBC,貨4CDE=4DBE;

(3)解：RbCOE中，?！?6,tanzCZ?￡=-1,

o

.CE_2

：.CE=A,

由(2)知

9

叱8?！?中,DE=6,tanz￡?5F=—，

o

,_6_=2

"BE3'

:.BE=9,

:.BC=BE-CE=