提公因式法

【學習目標】1．準確找出多項式中含有的公因式．2．會靈活運用提公因式法分解因式．3．進一步了解分解因式的意義，加強學生的直覺思維，并滲透化歸的思想方法．

【基礎(chǔ)知識精講】1．公因式的定義多項式各項都含有相同的因式，叫做這個多項式的公因式．2．公因式的類型①可以是單項式；②可以是多項式；③可以是數(shù)字系數(shù)．3．提公因式法如果一個多項式的各項含有公因式．把這個公因式提出來，從而將多項式化為幾個整式乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法．4．找公因式的方法①數(shù)字公因式即為各項系數(shù)的最大公約數(shù)．②字母公因式：各項公有字母的最低次冪的積．③多項式公因式同字母公因式．5．檢查分解正誤的方法將分解結(jié)果從右到左用乘法運算檢查即可．

【學習方法指導(dǎo)】［例1］確定下列各多項式的公因式（1）2x2＋6x3（2）5（a－b）3＋10（a－b）點撥：分清給定的多項式有幾項或可看成幾項式，以便確定公因式時不漏掉字母、數(shù)字或多項式公因式．解：（1）公因式是2x2．（2）公因式是5（a－b），可以把此多項式看作二項．［例2］把下列各式分解因式（1）125m2n－25mn2（2）7an＋1－21an＋49an－1（1）解：125m2n－25mn2＝25mn（5m－n）．（2）點撥：對于an＋1、an、an－1，最低次冪是an－1．∴此多項式的公因式為7an－1．解：7an＋1－21an＋49an－1＝7an－1（a2－3a＋7）［例3］把下列各式分解因式（1）27a（x＋y）2－96（x＋y）3（2）5m（a－b）2－n（b－a）3（1）解：27a（x＋y）2－96（x＋y）3＝9（x＋y）2［3a－b（x＋y）］＝9（x＋y）2（3a－bx－by）（2）點撥：此題要確定公因式．要會利用這樣的幾個等式變形．（a－b）n＝－（b－a）n（n為奇數(shù)）（a－b）n＝（b－a）n．（n為偶數(shù)）因此在（a－b）2與（b－a）3中要對其中一個進行等式變形，才能確定出因式．解：5m（a－b）2－n（b－a）3＝5m（a－b）2＋n（a－b）3〔（b－a）3＝－（a－b）3〕＝（a－b）2［5m＋n（a－b）］＝（a－b）2（5m＋na－nb）［例4］把下列各式分解因式（1）－6x3＋4x2－2x（2）－6（5x2－2y）3＋3（5x2－2y）2點撥：若所提公因式含有“－”，則括號內(nèi)各項都要變號，若某項恰為公因式，則提公因式后，括號內(nèi)不要漏掉此項的系數(shù)“1”，即提公因式后，括號內(nèi)的“項數(shù)”與原多項式的“項數(shù)”相同．解：（1）－6x3＋4x2－2x＝－2x（3x2－2x＋1）（2）－6（5x2－2y）3＋3（5x2－2y）2＝－3（5x2－2y）2［2（5x2－2y）－1］＝－3（5x2－2y）2（10x2－4y－1）［例5］分解因式：2a（a－b）＋4a（2a＋3b）點撥：分解因式要分解到每個因式都不能再分為止．解：2a（a－b）＋4a（2a＋3b）＝2a［（a－b）＋2（2a＋3b）］＝2a（a－b＋4a＋6b）＝2a（5a＋5b）（再分）＝10a（a＋b）

【拓展訓(xùn)練】遷移1．填空（1）3ab4－6ab3＋9ab2各項的公因式是__________．（2）4x（m－n）＋8y（n－m）2各項的公因式是__________．（3）－4a2b＋8ab－4a各項的公因式是__________．（4）3abn＋1－6abn＋9abn－1各項的公因式是__________．解：（1）3ab2（2）4（m－n）（3）－4a（4）3abn－12．計算（1）×＋×－×（2）－×＋×－×點撥：注意觀察特點，尋找簡便方法計算．（1）各項都含有，所以可以提公因式．解：（1）×＋×－×＝×（＋－）＝×10＝1998（2）－×＋×－×＝×（－＋－）＝×10＝3．32000－4×31999＋10×31998能被7整除嗎？解：32000－4×31999＋10×31998＝31998（32－4×3＋10）＝31998×7其中含有7這個因數(shù)，所以能被7整除．4．n為整數(shù)，n2＋n能被2整除嗎？解：∵n2＋n＝n（n＋1）而n為整數(shù)．則n，n＋1必為連續(xù)的兩個整數(shù)，連續(xù)的兩個整數(shù)中必有一偶數(shù)．∴n（n＋1）能被2