#2011學(xué)年第二學(xué)期徐匯區(qū)高三年級數(shù)學(xué)學(xué)科學(xué)習(xí)能力診斷卷(理科試卷)(考試時(shí)間：12分0鐘，滿分15分0) 2011.一．填空題(本大題滿分56分)本大題共有14題，考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果，每個空格填對得4分，否則一律得零分。1、函數(shù)f(x)=4x-1的反函數(shù)f-1(x)=2、設(shè)集合A={5,log(a+3)},B={a,b},若AcB={2},則AuB二213、若事件A與B相互獨(dú)立，且P(A)=P(B)=-，則P(AcB)=。4、系數(shù)矩陣為,且解為(x4、系數(shù)矩陣為,且解為(x)(n的一個線性方程組是uj5、在AABC中，a,b,c分別是角A,B,C所對的邊，且、"a=2csinA，則角C的大小為6、已知直線l經(jīng)過點(diǎn)(-45,0)且方向向量為(2,-1)，則原點(diǎn)O到直線l的距離為。7、在(x-a)10的展開式中，x7的系數(shù)是15，則lim(1+a+a2++an)=。nf88、一個袋子里裝有外形和質(zhì)地一樣的5個白球、3個綠球、2個紅球，將它們充分混合后，摸得一個白球記1分，摸得一個綠球記2分，摸得一個紅球記4分，用隨機(jī)變量己表示隨機(jī)摸得一個球的得分，則隨機(jī)變量己的均值為。9、在一個水平放置的底面半徑為?.3cm的圓柱形量杯中裝有適量的水，現(xiàn)放入一個半徑為Rcm的實(shí)心鐵球，球完全浸沒于水中且無水溢出，若水面高度恰好上升Rcm，則R=cm.10、若雙曲線的漸近線方程為y=±3x，它的一個焦點(diǎn)與拋物線J2=4方0x的焦點(diǎn)重合，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為。11、設(shè)a為非零實(shí)數(shù)，偶函數(shù)f(x)=x2+a|x-m\+1(xeR)在區(qū)間(2,3)上存在唯一零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是。12、方程卜-4--y2+卜+4--x2=0所表示的曲線與直線y=x+b有交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是。13、在平面直角坐標(biāo)系xOy中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)。定義P(x,y)、Q(x,y)兩點(diǎn)之間的“直角距離”11 22為d(P,Q)=|x1-x2|+|y1-y2o已知B(1,1)，點(diǎn)M為直線x-y+4=0上的動點(diǎn)，則d(B,M)的最小值為 …… (1\X 1 TOC\o"1-5"\h\z14、設(shè)函數(shù)f(x)=x-+—-,O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A為函數(shù)y=f(x)圖象上橫坐標(biāo)為n(neN*)12Jx+1 n的點(diǎn)，向量OA與向量i=(1,0)的夾角為0，則滿足tan0+tan0++tan0<5的最大整n n 1 2 n3數(shù)n的值為。 …二.選擇題(本大題滿分 分)本大題共有題，每題有且只有一個正確答案，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)編號上，將代表答案的小方格涂黑，選對得5分，否則一律得零分。八兀、15、極坐標(biāo)方程P=cos(0--)表示的曲線是( )4(A)圓 (B)橢圓 (。雙曲線 (口)拋物線16、設(shè)｛a｝是等比數(shù)列，則"a<a<a”是“數(shù)列｛a｝是遞增數(shù)列”的( )n 123 n(A)充分不必要條件 (B)必要不充分條件(C)充分必要條件 (D)既不充分又不必要條件兀17、函數(shù)y=2cos(2x+-)-2的圖象按向量a平移后的函數(shù)解析式為y=f(x)。當(dāng)函數(shù)f(x)為6TOC\o"1-5"\h\z奇函數(shù)時(shí)，向量a可以等于( ) -(A)(弓,-2) (B)(一j2) (C)(j-2) (D)G,2)6 - 6 6 618、設(shè)非空集合S=｛x\mVx<n上滿足：當(dāng)xeS時(shí)，有x2eS，給出如下三個命題：①若m=1,則S=｛1｝；②若m=-1,則1<n<1；③若n=1,則-/<m<0.24 2 2其中正確的命題的個數(shù)為()(A)0個 (B)1個 (C)2個 (D)3個三．解答題(本大題滿分74分)本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟。19、(本題滿分12分)第(1)小題滿分5分，第(2)小題滿分7分。x+m2 / \關(guān)于x的不等式? <0的解集為(-1,n),1x(1)求實(shí)數(shù)m、n的值；(2)若z=m+ni,z=cosa+isina,且zz為純虛數(shù)，求tan(a-g)的值.1 2 12 420、（本題滿分14分）第（1）小題滿分7分，第（2）小題滿分7分。如圖，已知點(diǎn)P在圓柱如圖，已知點(diǎn)P在圓柱OO的底面圓O上，1OA=2,/AOP=120。。（）求異面直線AB與AP所成角的大小;1（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）（2）求點(diǎn)A到平面APB的距離。1AB為圓O的直徑，圓柱OO的表面積為20兀，21、（本題滿分14分）第（1）小題滿分6分，第（2）小題滿分8分。如圖1，OA，OB是某地一個湖泊的兩條互相垂直的湖堤，線段CD和曲線段EF分別是湖泊中的一座棧橋和一條防波堤。為觀光旅游的需要，擬過棧橋CD上某點(diǎn)M分別修建與OA，OB平行的棧橋MG、MK，且以MG、MK為邊建一個跨越水面的三角形觀光平臺MGK。建立如圖2所示的直角坐標(biāo)系，測得線段CD的方程是x+2y=20（0<x<20），曲線段EF的方程是沖=200（5<x<40），設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（s,t），記z=s-t。（題中所涉及的長度單位均為米，棧橋和防波堤都不計(jì)寬度）（1）求z的取值范圍；⑵試寫出三角形觀光平臺MGK面積59關(guān)于z的函數(shù)解析式，并求出該面積的最小值。

22、（本題滿分16分）第（1）小題滿分4分，第（2）小題滿分6分，第（3）小題滿分6分。定義：由橢圓的兩個焦點(diǎn)和短軸的一個頂點(diǎn)組成的三角形稱為該橢圓的“特征三角形”。如果兩個橢圓的“特征三角形”是相似的，則稱這兩個橢圓是“相似橢圓”，并將三角形的相似比稱為x2橢圓的相似比。已知橢圓C:―+產(chǎn)=1。14x2y2⑴若橢圓C2:16+T=1，判斷C2與C1是否相似？如果相似，求出C2與C1的相似比；如果不相似，請說明理由；寫出與橢圓C1相似且短半軸長為b的橢圓C的方程；若在橢圓Cb上存在兩點(diǎn)M、N關(guān)于直線y=X+1對稱，求實(shí)數(shù)b的取值范圍？x2y2如圖：直線y=X與兩個“相似橢圓"M:一+J=1和a2b2M:x2+竺=入2（a>b>0,0<X<1）分別交于點(diǎn)A,B入a2b2和點(diǎn)C,D試在橢圓M和橢圓M入上分別作出點(diǎn)E和點(diǎn)F（非橢圓頂點(diǎn)），使ACDF和AABE組成以九為相似比的兩個相似三角形，寫出具體作法。（不必證明）23、（本題滿分18分）第（1）小題滿分6分，第（2）小題滿分6分，第（3）小題滿分6分。設(shè)等比數(shù)列｛a｝的首項(xiàng)為a=2，公比為q（q為正整數(shù)），且滿足3a是8a與a的等差中項(xiàng);

n 1 3 15數(shù)列｛b｝滿足2n2-（t+b）n+3b=0（tgR,ngN*）。n n2n求數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式；n試確定實(shí)數(shù)t的值，使得數(shù)列｛b｝為等差數(shù)列；n當(dāng)數(shù)列｛b｝為等差數(shù)列時(shí)，對每個正整數(shù)k，在a和a之間插入b個2,得到一個新數(shù)n k k+1 k列｛c｝。設(shè)T是數(shù)列｛c｝的前n項(xiàng)和，試求滿足T=2。的所有正整數(shù)m。n n n m m+12010學(xué)年第二學(xué)期徐匯區(qū)高三年級數(shù)學(xué)學(xué)科流水號學(xué)習(xí)能力診斷（理科）答題卷 流水號學(xué)習(xí)能力診斷（理科）答題卷 2011.4題號 .1920212223總分滿分56201214141618150得分請?jiān)诟黝}目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出黑色矩形邊框限定區(qū)域的答案無效一、填空題（本大題共14題，每題4分，滿分56分）1.2. 3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.二、選擇題 （本大題共題，每題分，滿分分）本大題必須使用 鉛筆填涂口15．[A] [B] [C] [D] 16．[A] [B] [C] [D]17．[A] [B] [C] [D] 18．[A] [B] [C] [D]BFDEOAC圖1(2)FyKBMDOC圖2BFDEOAC圖1(2)FyKBMDOC圖2AxG_E21.［解］(1)22.［解］(1)(3)

2010學(xué)年第二學(xué)期徐匯區(qū)高三年級數(shù)學(xué)學(xué)科學(xué)習(xí)能力診斷卷．填空題：1log(x．填空題：1log(x+1) 2 {1,2,5}4TOC\o"1-5"\h\z1 Ix+2j=3 兀 2?！?和4 [2x+j=3 3 32.3f.2.3f.10.口13'2J.1.9—2<f2,—2 13. 414.3二.選擇題： .A15.C16.B17.D18三.解答題:TOC\o"1-5"\h\z.解：1）原不等式等價(jià)于（x+m）x一2<0，即x2+mx一2<0 3分I—1+n——m由題意得，[?拄——2解得m--1，n-2. 5分(2)z1——1+2i,z1z2—(—cosa—2sina)+i(2cosa—sina) 7分若zz為純虛數(shù)，則cosa+2sina-0，即tana—— 9分12 2兀、所以tan(兀、所以tan(a—)4兀tana—tan4K1+tana-tan412分20.解：（1）解：以O(shè)為原點(diǎn)，分別以O(shè)B,OO為j,z軸的正向，并以AB的垂直平分線為x軸，建立空間直角坐標(biāo)系.由題意建立空間直角坐標(biāo)系.由題意S—2兀-22+2兀-2?AA-20兀,

表1易得相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為：A（0,—2,0）,得AP-Q3,3,0）,AB—（0,4,—3）,1設(shè)AB與AP的夾角為6，異面直線AB」 1解彳得AA1-3 2分P\3,1,0),A(0,—2,3),B(0,2,0)1 4分與AP所成的角為a,則cos0二AB則cos0二AB?AP2.3―^-r-i A1B|?|AP5>0，得a-0-arccosg,5 6分7分即異面直線AB與AP所成角的大小為arccos7分15()設(shè)平面AipB的法向量為n-(u,%小則n1AB,n±BpA1B=(0,4,-3),BP=(/f0),n?A1B-0,n?BP-0 10分w——v 10分—<3

u 取v-3，得平面APB的一個法向量為n=(g4)，且|n卜2",AiA-(0,0,-3)所以點(diǎn)A所以點(diǎn)A到平面APB的距離d= =--14分21.解：()由題意，得M(s,t)在線段CD：x+2y-20(0<x<20)上，即s+21-20,又因?yàn)檫^點(diǎn)M要分別修建與OA、OB平行的棧橋MG、MK,TOC\o"1-5"\h\z所以5<s<10 2分z-s?t-s(10-1s)--1(s-10)2+50,5<s<10 4分2275所以z的取值范圍是7<z<50。 6分200 200(2)由題意，得K(s,——),G(——,t)st1 1200 200 1 40000所以S—?MG?MK——( —s)( 1)-(st+ —400) AMGK 2 2ts 2st則s -1(z+40000-400),zJ75,501, 10分AMGK 2z |_2因?yàn)楹瘮?shù)S -1(z+40000-400)在z￡75,50單調(diào)遞減 12分AMGK2 z 2所以當(dāng)z-50時(shí)，三角形觀光平臺的面積取最小值為225平方米 14分22.解：()橢圓C與C相似。 2分21因?yàn)闄E圓C的特征三角形是腰長為4底邊長為473的等腰三角形，而橢圓C的特征三角形是2 1腰長為，底邊長為273的等腰三角形，因此兩個等腰三角形相似，且相似比為2:1x2y2()橢圓C的方程為：赤+正=1("0) 6分設(shè)l:y=—x+1,MN點(diǎn)M/yi),N(x2,y2)，MN中點(diǎn)為(x0，y0)，一y=-x+t則\x2 y2，所以5x2-8tx+4(t2-b2)=0一+工=1、4b2b2t4t因?yàn)橹悬c(diǎn)在直線y-x+1上，所以有5-丁+1,即直線l的方程為：l：y--x-5,

MN MN 38分 9分由題意可知，直線l與橢圓C有兩個不同的交點(diǎn)，

MN b即方程5x2-8(-3)x+4[(-3)2-b2]-0有兩個不同的實(shí)數(shù)解，40 25 5所以A-(—)2-4*5義4義(―-b2)>0,即b>-3-10分()作法i過原點(diǎn)作直線y-kx(k豐1)，交橢圓M和橢圓M于點(diǎn)E和點(diǎn)F，則ACDF和入AABE即為所求相似三角形，且相似比為九。 16分作法：過點(diǎn)、點(diǎn)分別做x軸(或y軸)的垂線，交橢圓M和橢圓M于點(diǎn)E和點(diǎn)F，則ACD入和AABE即為所求相似三角形，且相似比為九。 16分23-解：⑴由題意64-84+a,則6q2-8+q4,解得q2-4或q2-2因?yàn)閝為正整數(shù)，所以q-2, 3分又a-2，所以a-2n(neN*) 6分1n3(2)當(dāng)n-1時(shí)，2-(t+b)+b-0,得b-2t-4,1 21 1同理：n-2時(shí)，得b-16-4t；n-3時(shí)，得b-12-2t,23貝U由b+b=2b，得t=3。 8分13 23而當(dāng)t=3時(shí)，2n2—(3+b)n+-b=0，得b=2n。 10分n2n n由b—b=2，知此時(shí)數(shù)列｛b｝為等差數(shù)列。 1