人教課標(biāo)實(shí)驗(yàn)A版選修4-1第二講直線和圓的位置關(guān)系五與圓有關(guān)的比例線段全國優(yōu)質(zhì)課一等獎_第1頁
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文檔簡介

一類等積式的證明技巧湖北十堰市東風(fēng)公司化油器廠學(xué)校曾中福等積式(或比例式)的證明是幾何中常見的題型，當(dāng)?shù)确e式中的線段在一條直線上時，往往令一些同學(xué)不知所措，無從下手．證明這一類等積式的關(guān)鍵是恰當(dāng)?shù)剞D(zhuǎn)換，舉例如下：1．等線段替換例1如圖1，以△ABC的頂點(diǎn)A為圓心，AC為半徑畫圓交AB于D，交△ABC的外接圓于E，CE交AB于F．求證AD2=AF·AB．分析等積式中的線段AD、AF、AB在一條直線上，按常規(guī)證法難以奏效．觀察圖形不難發(fā)現(xiàn)AD=AC，所以可用AC去替換AD，只需證AC2=AF·AB，這可證△ACF∽△ABC推出．用等線段替換，通常可考慮同圓半徑，等腰三角形的兩腰，正方形的邊長，線段垂直平分線的性質(zhì)等．2．等積替換例2如圖2，AB是圓O的直徑，P是圓外一點(diǎn)．PC⊥AB于C，交圓O于D，PA交圓O于E，BE交PC于F．求證：CD2=CF·CP．分析等積式中的線段CD、CF、CP在一條直線上，由相交弦定理的推論可知，CD2=AC·CB．因此，可用AC·CB替換CD2，則問題轉(zhuǎn)化為證AC·CB=CF·CP．這可由△ACP∽△FCB證得．等積替換?？紤]射影定理．切割線定理．相交弦定理等．3．等比替換例3如圖3，平行四邊形ABCD中，F(xiàn)是CD延長線上一點(diǎn)，F(xiàn)B交AD、AC于E、P．求證：PB2=PE·PF．分析結(jié)論中的線段PB、PE、PF在一條直線上，且不便用等線段．等積替換．但當(dāng)題目中有平行條件時，?？紤]等比替換．練習(xí)1．如圖4．AB是圓O直徑，PA是切線，半徑OM⊥PB，AM交PB于N，求證：PN2=PB·PC．2．如圖5，△OCE中，BD∥CE，AD∥BE．求證：OB是OA和OC的比例中項(xiàng)．3．AD為△ABC(AB＞AC)的角平分線，AD的垂直平分線和BC的延長線交于E，求證：DE2=BE·CE．提示1．(等線段替換)先證PA=PN．用PA去替換PN，即證PA2=PB·PC，再通過證明△PAC∽△PBA推出．2．(等比替換)3．(等線段替換)

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