差分方程模型第1頁，共41頁，2023年，2月20日，星期一9.1市場經濟中的蛛網(wǎng)模型問題供大于求現(xiàn)象商品數(shù)量與價格的振蕩在什么條件下趨向穩(wěn)定當不穩(wěn)定時政府能采取什么干預手段使之穩(wěn)定價格下降減少產量增加產量價格上漲供不應求描述商品數(shù)量與價格的變化規(guī)律數(shù)量與價格在振蕩第2頁，共41頁，2023年，2月20日，星期一蛛網(wǎng)模型gx0y0P0fxy0xk~第k時段商品數(shù)量；yk~第k時段商品價格消費者的需求關系生產者的供應關系減函數(shù)增函數(shù)供應函數(shù)需求函數(shù)f與g的交點P0(x0,y0)~平衡點一旦xk=x0，則yk=y0,xk+1,xk+2,…=x0,yk+1,yk+2,…=y0

第3頁，共41頁，2023年，2月20日，星期一xy0fgy0x0P0設x1偏離x0x1x2P2y1P1y2P3P4x3y3P0是穩(wěn)定平衡點P1P2P3P4P0是不穩(wěn)定平衡點xy0y0x0P0fg曲線斜率蛛網(wǎng)模型第4頁，共41頁，2023年，2月20日，星期一在P0點附近用直線近似曲線P0穩(wěn)定P0不穩(wěn)定方程模型方程模型與蛛網(wǎng)模型的一致第5頁，共41頁，2023年，2月20日，星期一~商品數(shù)量減少1單位,價格上漲幅度~價格上漲1單位,(下時段)供應的增量考察,的含義~消費者對需求的敏感程度~生產者對價格的敏感程度小,有利于經濟穩(wěn)定小,有利于經濟穩(wěn)定結果解釋xk~第k時段商品數(shù)量；yk~第k時段商品價格經濟穩(wěn)定結果解釋第6頁，共41頁，2023年，2月20日，星期一經濟不穩(wěn)定時政府的干預辦法1.使盡量小，如=0

以行政手段控制價格不變2.使盡量小，如=0靠經濟實力控制數(shù)量不變xy0y0gfxy0x0gf結果解釋需求曲線變?yōu)樗焦€變?yōu)樨Q直第7頁，共41頁，2023年，2月20日，星期一模型的推廣生產者根據(jù)當前時段和前一時段的價格決定下一時段的產量。生產者管理水平提高設供應函數(shù)為需求函數(shù)不變二階線性常系數(shù)差分方程x0為平衡點研究平衡點穩(wěn)定，即k,xkx0的條件第8頁，共41頁，2023年，2月20日，星期一方程通解(c1,c2由初始條件確定)1,2~特征根，即方程的根平衡點穩(wěn)定，即k,xkx0的條件:平衡點穩(wěn)定條件比原來的條件放寬了模型的推廣第9頁，共41頁，2023年，2月20日，星期一9.2減肥計劃——節(jié)食與運動背景多數(shù)減肥食品達不到減肥目標，或不能維持通過控制飲食和適當?shù)倪\動，在不傷害身體的前提下，達到減輕體重并維持下去的目標分析體重變化由體內能量守恒破壞引起飲食（吸收熱量）引起體重增加代謝和運動（消耗熱量）引起體重減少體重指數(shù)BMI=w(kg)/l2(m2).18.5<BMI<25~正常；BMI>25~超重;BMI>30~肥胖.第10頁，共41頁，2023年，2月20日，星期一模型假設1）體重增加正比于吸收的熱量——每8000千卡增加體重1千克；2）代謝引起的體重減少正比于體重——每周每公斤體重消耗200千卡~320千卡(因人而異),

相當于70千克的人每天消耗2000千卡~3200千卡；3）運動引起的體重減少正比于體重，且與運動形式有關；4）為了安全與健康，每周體重減少不宜超過1.5千克，每周吸收熱量不要小于10000千卡。第11頁，共41頁，2023年，2月20日，星期一某甲體重100千克，目前每周吸收20000千卡熱量，體重維持不變?，F(xiàn)欲減肥至75千克。第一階段：每周減肥1千克，每周吸收熱量逐漸減少，直至達到下限（10000千卡）；第二階段：每周吸收熱量保持下限，減肥達到目標2）若要加快進程，第二階段增加運動，試安排計劃。1）在不運動的情況下安排一個兩階段計劃。減肥計劃3）給出達到目標后維持體重的方案。第12頁，共41頁，2023年，2月20日，星期一確定某甲的代謝消耗系數(shù)即每周每千克體重消耗20000/100=200千卡基本模型w(k)~第k周(末)體重c(k)~第k周吸收熱量~代謝消耗系數(shù)(因人而異)1）不運動情況的兩階段減肥計劃每周吸收20000千卡w=100千克不變第13頁，共41頁，2023年，2月20日，星期一第一階段:w(k)每周減1千克,c(k)減至下限10000千卡第一階段10周,每周減1千克，第10周末體重90千克吸收熱量為1）不運動情況的兩階段減肥計劃第14頁，共41頁，2023年，2月20日，星期一第二階段：每周c(k)保持Cm,w(k)減至75千克1）不運動情況的兩階段減肥計劃基本模型第15頁，共41頁，2023年，2月20日，星期一第二階段：每周c(k)保持Cm,w(k)減至75千克第二階段19周,每周吸收熱量保持10000千卡,體重按減少至75千克。第16頁，共41頁，2023年，2月20日，星期一運動t=24(每周跳舞8小時或自行車10小時),14周即可。2）第二階段增加運動的減肥計劃根據(jù)資料每小時每千克體重消耗的熱量(千卡):

跑步跳舞乒乓自行車(中速)游泳(50米/分)7.03.04.42.57.9t~每周運動時間(小時)基本模型第17頁，共41頁，2023年，2月20日，星期一3）達到目標體重75千克后維持不變的方案每周吸收熱量c(k)保持某常數(shù)C，使體重w不變不運動運動(內容同前)第18頁，共41頁，2023年，2月20日，星期一9.3差分形式的阻滯增長模型連續(xù)形式的阻滯增長模型(Logistic模型)t,xN,x=N是穩(wěn)定平衡點(與r大小無關)離散形式x(t)~某種群t時刻的數(shù)量(人口)yk~某種群第k代的數(shù)量(人口)若yk=N,則yk+1,yk+2,…=N討論平衡點的穩(wěn)定性，即k,

ykN？y*=N是平衡點第19頁，共41頁，2023年，2月20日，星期一離散形式阻滯增長模型的平衡點及其穩(wěn)定性一階(非線性)差分方程(1)的平衡點y*=N討論x*的穩(wěn)定性變量代換(2)的平衡點第20頁，共41頁，2023年，2月20日，星期一(1)的平衡點x*——代數(shù)方程x=f(x)的根穩(wěn)定性判斷(1)的近似線性方程x*也是(2)的平衡點x*是(2)和(1)的穩(wěn)定平衡點x*是(2)和(1)的不穩(wěn)定平衡點補充知識一階非線性差分方程的平衡點及穩(wěn)定性第21頁，共41頁，2023年，2月20日，星期一01的平衡點及其穩(wěn)定性平衡點穩(wěn)定性x*

穩(wěn)定x*不穩(wěn)定另一平衡點為x=0不穩(wěn)定第22頁，共41頁，2023年，2月20日，星期一01/2101的平衡點及其穩(wěn)定性第23頁，共41頁，2023年，2月20日，星期一初值x0=0.2數(shù)值計算結果b<3,xb=3.3,x兩個極限點b=3.45,x4個極限點b=3.55,x8個極限點0.41181000.4118990.4118980.4118970.4118960.4118950.4118940.4118930.4118920.4118910.379630.336620.272010.20000b=1.7k0.61540.61540.61540.61540.61540.61540.61540.61540.61540.61540.60490.63170.41600.2000b=2.60.82360.47940.82360.47940.82360.47940.82360.47940.82360.47940.48200.82240.52800.2000b=3.30.84690.43270.85300.44740.84690.43270.85300.44740.84690.43270.43220.85320.55200.2000b=3.450.81270.35480.88740.50600.82780.37030.88170.54050.81270.35480.39870.87110.56800.2000b=3.55第24頁，共41頁，2023年，2月20日，星期一倍周期收斂——x*不穩(wěn)定情況的進一步討論單周期不收斂2倍周期收斂(*)的平衡點x*不穩(wěn)定，研究x1*,x2*的穩(wěn)定性第25頁，共41頁，2023年，2月20日，星期一倍周期收斂的穩(wěn)定性x1*x2*x*b=3.4y=f(2)(x)y=xx0第26頁，共41頁，2023年，2月20日，星期一倍周期收斂的進一步討論出現(xiàn)4個收斂子序列x4k,x4k+1,x4k+2,x4k+3平衡點及其穩(wěn)定性需研究時有4個穩(wěn)定平衡點2n倍周期收斂,n=1,2,…bn~2n倍周期收斂的上界b0=3,b1=3.449,b2=3.544,…n,bn3.57x1*,x2*(及x*)不穩(wěn)定b>3.57,不存在任何收斂子序列混沌現(xiàn)象4倍周期收斂第27頁，共41頁，2023年，2月20日，星期一的收斂、分岔及混沌現(xiàn)象b第28頁，共41頁，2023年，2月20日，星期一9.4

按年齡分組的種群增長不同年齡組的繁殖率和死亡率不同建立差分方程模型，討論穩(wěn)定狀況下種群的增長規(guī)律假設與建模種群按年齡大小等分為n個年齡組，記i=1,2,…,n時間離散為時段，長度與年齡組區(qū)間相等，記k=1,2,…以雌性個體數(shù)量為對象第i年齡組1雌性個體在1時段內的繁殖率為bi第i年齡組在1時段內的死亡率為di,存活率為si=1-di第29頁，共41頁，2023年，2月20日，星期一假設與建模xi(k)~時段k第i年齡組的種群數(shù)量~按年齡組的分布向量預測任意時段種群按年齡組的分布~Leslie矩陣(L矩陣)(設至少1個bi>0)第30頁，共41頁，2023年，2月20日，星期一穩(wěn)定狀態(tài)分析的數(shù)學知識

L矩陣存在正單特征根1，若L矩陣存在bi,bi+1>0,則P的第1列是x*特征向量,c是由bi,si,x(0)決定的常數(shù)且解釋L對角化第31頁，共41頁，2023年，2月20日，星期一穩(wěn)態(tài)分析——k充分大種群按年齡組的分布~種群按年齡組的分布趨向穩(wěn)定，x*稱穩(wěn)定分布,與初始分布無關。~各年齡組種群數(shù)量按同一倍數(shù)增減，

稱固有增長率與基本模型比較3）=1時~各年齡組種群數(shù)量不變第32頁，共41頁，2023年，2月20日，星期一

~1個個體在整個存活期內的繁殖數(shù)量為1穩(wěn)態(tài)分析~存活率si是同一時段的xi+1與xi之比（與si的定義比較）3）=1時第33頁，共41頁，2023年，2月20日，星期一9.5差分方程模型

對于k階差分方程F(n;xn,xn+1,…,xn+k)=0(6-6)若有xn=x(n),滿足F(n;x(n),x(n+1),…,x(n+k))=0,則稱xn=x(n)是差分方程(6-6)的解,包含n個任意常數(shù)的解稱為(6-6)的通解,x0,x1,…,xk-1為已知時稱為(6-6)的初始條件,通解中的任意常數(shù)都由初始條件確定后的解稱為(6-6)的特解.若x0,x1,…

xn+k-1,已知,則形如xn+k=g(n;xn,xn+1,…,xn+k-1)的差分方程的解可以在計算機上實現(xiàn).第34頁，共41頁，2023年，2月20日，星期一若有常數(shù)a是差分方程(6-6)的解,即F(n;a,a,…,a)=0,則稱

a是差分方程(6-6)的平衡點.

又對差分方程(6-6)的任意由初始條件確定的解

xn=x(n)都有xn→a(n→∞),則稱這個平衡點a是穩(wěn)定的.

一階常系數(shù)線性差分方程

xn+1+axn=b,(其中a,b為常數(shù),且a≠-1,0)的通解為xn=C(-

a)n+b/(a+1)

易知b/(a+1)是其平衡點,由上式知,當且僅當|a|＜1時,b/(a+1)是穩(wěn)定的平衡點.第35頁，共41頁，2023年，2月20日，星期一二階常系數(shù)線性差分方程xn+2+axn+1+bxn=r,其中a,b,r為常數(shù).

當r=0時,它有一特解x*=0；

當r≠0,且a+b+1≠0時,它有一特解x*=r/(a+b+1).

不管是哪種情形,x*是其平衡點.設其特征方程2+a+b=0的兩個根分別為=1,=2