第1頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第七章帶電粒子和電磁場(chǎng)的相互作用第一節(jié)運(yùn)動(dòng)帶電粒子的勢(shì)和輻射電磁場(chǎng)第二節(jié)帶電粒子的電磁場(chǎng)對(duì)粒子本身的反作用第三節(jié)電磁波的散射和吸收及介質(zhì)的色散第2頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第一節(jié)運(yùn)動(dòng)帶電粒子的勢(shì)和輻射電磁場(chǎng)

推遲勢(shì)：一、任意運(yùn)動(dòng)帶電粒子的勢(shì)

粒子的帶電量e，在一定的軌道上以速度v運(yùn)動(dòng)，(x,t)的勢(shì)是粒子在xe(t′)發(fā)出的，此時(shí)，粒子的速度ve(t′)：取坐標(biāo)系在t′時(shí)刻相對(duì)粒子靜止，在該參考系中：第3頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期一在Σ系，由坐標(biāo)變換關(guān)系：將換到Σ系中（不同時(shí)）：因此：稱李納-維謝爾勢(shì)。第4頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期一①v與r垂直：②v與r同向：③v與r反向：二、偶極輻射第5頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期一分別計(jì)算:(1)因此：第6頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期一(2)(3)

將(1)、(2)、(3)相關(guān)量代入E的表示式：第7頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期一類似地可得：①E和B由粒子在t′時(shí)刻的位置、速度、加速度決定，與粒子在其它地方的情況無關(guān)。②

粒子在遠(yuǎn)處產(chǎn)生的場(chǎng)，E2和B2起主要作用，E2和B2稱輻射場(chǎng)；粒子在近處產(chǎn)生的場(chǎng)，E1和B1起主要作用，E1和B1稱庫(kù)侖場(chǎng)或自由場(chǎng)；考慮輻射問題，只需考慮E2和B2即可。③v<<c時(shí)，忽略(v/c)以上的高次項(xiàng)：第8頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期一取在z軸上，則：令：

此為電偶極輻射場(chǎng)。輻射能流：輻射功率：

第9頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期一④當(dāng)粒子做勻速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)：這是勻速帶電粒子的電磁場(chǎng)，與第六章第五節(jié)的例題同。上式中的R、v是與(x,t)同時(shí)刻的位置和速度?，F(xiàn)在把兩者統(tǒng)一。粒子在t′時(shí)刻位于A點(diǎn)，t時(shí)刻位于B點(diǎn)，則：第10頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

電場(chǎng)的分子統(tǒng)一。由上式可得：即：(1)-(2)可得：電場(chǎng)的分母統(tǒng)一。

磁場(chǎng)統(tǒng)一。第11頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期一應(yīng)用公式求解需注意：

(1)有關(guān)公式中的v、r等均為t′的函數(shù)；(2)對(duì)李納——維謝爾勢(shì)做微分運(yùn)算時(shí)，要注意t′為(x,t)的隱函數(shù)；r為(x,t′)的函數(shù)；t′又隱含x；(3)當(dāng)v<<c時(shí)：?jiǎn)栴}歸結(jié)為偶極輻射。第12頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例：帶電粒子e作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，圓半徑為a，速度v<<c，試求在什么距離之外輻射場(chǎng)占優(yōu)勢(shì)。解：當(dāng)E2>E1時(shí)，輻射場(chǎng)占優(yōu)勢(shì)。令r=r1時(shí)，E2=E1，即：因此：當(dāng)r>r1時(shí)，E2>E1。第13頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例：設(shè)帶電粒子的速度與加速度的夾角為α，求其輻射場(chǎng)為0的方向與加速度方向的夾角θ。解：若：

第14頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第二節(jié)帶電粒子的電磁場(chǎng)對(duì)粒子本身的反作用

運(yùn)動(dòng)的帶電粒子：若：v<<c：一、電磁質(zhì)量

E1稱為庫(kù)侖場(chǎng)或自由場(chǎng)，存在粒子附近，其自由能很難從粒子運(yùn)動(dòng)能量分離。這部分自由能對(duì)應(yīng)于一定的質(zhì)量，稱為電磁質(zhì)量mem。設(shè)粒子的電荷分布于半徑為re的球面上，則自由能：第15頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期一電磁質(zhì)量：若測(cè)出的電子質(zhì)量為m，則m=m0+mem，m0為非電磁引起的質(zhì)量。設(shè)m0≈mem，則：而電子的“經(jīng)典半徑”：實(shí)驗(yàn)：①電荷分布不清楚；②mem與機(jī)械慣性質(zhì)量分不開。二、輻射阻尼粒子做加速運(yùn)動(dòng)，輻射功率：

第16頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期一若不對(duì)粒子做功，相當(dāng)于有一個(gè)力作用于粒子，使粒子的速度變慢，這就是阻尼力，用Fs表示：上式對(duì)任一瞬時(shí)考慮并不成立，因?yàn)橹豢紤]了輻射能量，略去了自由能，可作為平均結(jié)果。考慮粒子作近似周期運(yùn)動(dòng)情況，其周期為T:粒子運(yùn)動(dòng)一個(gè)周期，速度和加速度回到初始值，上式右邊第一項(xiàng)為0：這是平均效應(yīng)。第17頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期一三、譜線的自然寬度1、譜線的自然寬度原子從一個(gè)高能級(jí)Em躍遷至一低能級(jí)En,發(fā)出頻率為ω0的光子：由精密光譜分析，所得光線不是純線光譜，而是有一定寬度分布的光譜，ω=ω0處，強(qiáng)度最大，ω=ω1、ω2時(shí)，強(qiáng)度降為最大值的一半。Δω=ω1-

ω2用波長(zhǎng)表示Δω：實(shí)驗(yàn)給出，不管那一頻率之光譜，用波長(zhǎng)表示有一極限值：2、經(jīng)典電動(dòng)力學(xué)對(duì)譜線的自然寬帶處理①模型：原子中的電子作為諧振子，由于受輻射阻尼力，電子將在原子中作衰減運(yùn)動(dòng)。第18頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期一②處理：設(shè)電子沿x軸運(yùn)動(dòng)，作用于電子的力為彈性力(-kx)、輻射阻尼力Fs。電子的運(yùn)動(dòng)方程：因?yàn)镕s<<(-kx)，作零級(jí)近似，忽略Fs

:因此:

令：考慮：因此：第19頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期一電子的振動(dòng)能正比于，能量減少為(1/e）時(shí)所需時(shí)間τ=(1/γ)，稱為振子的壽命。大體與實(shí)驗(yàn)相符。

振子的偶極矩：其輻射場(chǎng)：做傅立葉變換：用W(ω)dω表示輻射場(chǎng)在ω→ω+dω的輻射能量，W(ω)表示單位頻率間隔輻射的能量:第20頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期一總輻射能量：稱Δω為譜線的自然寬度。用波長(zhǎng)表示：大體與實(shí)驗(yàn)值相符。

第21頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第三節(jié)電磁波的散射和吸收及介質(zhì)的色散

當(dāng)頻率為ω的外來電磁波入射到電子（自由電子或束縛電子）時(shí)，電子就會(huì)在電磁波的作用下以同樣的頻率作強(qiáng)迫振動(dòng)(或在原來的運(yùn)動(dòng)上疊加一強(qiáng)迫振動(dòng))，并不斷的發(fā)出該頻率的次波，這種現(xiàn)象稱為散射。一、自由電子對(duì)電磁波的散射自由電子的運(yùn)動(dòng)方程：作用于電子的外電磁波：①電子的振動(dòng)速度v<<c，振動(dòng)范圍vT<<cT=λ，即在整個(gè)電子的振動(dòng)范圍，場(chǎng)近似是一樣的。②電子受電場(chǎng)力遠(yuǎn)大于磁場(chǎng)力：Fe>>Fm。第22頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期一電子的運(yùn)動(dòng)方程：方程的穩(wěn)態(tài)解：因此：設(shè)嘗試解：只要入射波的波長(zhǎng)：λ>>re，則γ<<ω，忽略阻尼：輻射場(chǎng)：

第23頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期一n是r方向的單位矢量，α是n與E0的夾角。平均輻射能流密度：總輻射功率：入射波的強(qiáng)度：因此：定義：自由電子的散射截面：當(dāng)電磁波打到此面上，能量被散射出去——有效散射截面(湯姆孫散射截面）。第24頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

若入射波為非偏振的，沿z傳播，觀察點(diǎn)P在xoz平面內(nèi)，電場(chǎng)E在xoy平面內(nèi)：?jiǎn)挝涣Ⅲw角內(nèi)輻射功率與入射波強(qiáng)度之比稱為微分散射截面。

當(dāng)時(shí)，與實(shí)驗(yàn)值相符；但當(dāng)大時(shí)，有偏離；需量子電動(dòng)力學(xué)知識(shí)。第25頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期一二、束縛電子對(duì)電磁波的散射

作用于原子中電子的電磁波：電子的運(yùn)動(dòng)方程：令穩(wěn)定解：代入上式得：因此：電磁場(chǎng)：第26頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期一平均能流密度和輻射功率：散射截面：瑞利散射；自由電子散射；

σ最大，能量大部分散射出去。當(dāng)ω∽ω0，忽略阻尼，即γ≈0，x→∞,共振發(fā)生。第27頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期一三、電磁波的吸收在共振時(shí)，振子強(qiáng)烈地吸收入射波的能量，振子振幅增大，直至振子輻射的能量等于振子吸收的能量時(shí)，振幅達(dá)穩(wěn)定值。若入射波為連續(xù)譜，透射波為吸收譜，ω=ω0處有暗線，即能量被吸收掉。

設(shè)入射波單位頻率間隔單位面積的入射能量為I0(ω)：則振子輻射的總能量：上式積分計(jì)算時(shí)，因?yàn)橹饕獊碜驭?ω0的貢獻(xiàn)，積分號(hào)內(nèi)作近似ω≈ω0(分母因子ω-ω0除外），并考慮ω0>>γ,可得：W就等于振子從入射波吸收的能量。對(duì)應(yīng)于量子力學(xué)：第28頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期一四、介質(zhì)的色散折射率：討論稀薄氣體，忽略分子之間的相互作用。作用于電子的電場(chǎng)：電子運(yùn)動(dòng)的位移及偶極矩：若單位體積有N個(gè)電子，極化強(qiáng)度：因此：第29頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期一對(duì)稀薄氣體，εr→1：令：n=n′+iη,則：①n′和η的物理意義

介質(zhì)中沿z軸傳播的單色平面波：n′就是通常的折射率，η是在傳播方向上的衰減，只有ω∽ω0附近，介質(zhì)中的波才顯著衰減（被吸收）。第30頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期一②介質(zhì)的色散當(dāng)ω>>ω0和ω<<ω0時(shí)，n′≈1；當(dāng)ω<<ω0時(shí)：柯西色散公式，a、b、c由實(shí)驗(yàn)給出。第31頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例:束縛電子e在初始時(shí)處于靜止?fàn)顟B(tài)，x=0,v=0。固有頻率為ω0，入射電磁波的頻率為ω，忽略輻射阻尼及磁場(chǎng)作用力，求該諧振子的振動(dòng)解，并證明該振子以ω和ω0兩種頻率振動(dòng)。解：選E0的方向?yàn)閤軸，則諧振子在該軸上振動(dòng)，運(yùn)動(dòng)方程及解：由初始條件定常數(shù)：因此得到振子以ω和ω0兩種頻率振動(dòng)的解：第32頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例：帶電e的粒子在xy平面上繞z軸作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，角頻率為ω，半徑為R0。設(shè)ωR0

<<c，試計(jì)算輻射場(chǎng)及平均輻射能流密度，討論：處電磁場(chǎng)的偏振。解：因此：輻射場(chǎng)：第33頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期一平均輻射能流密度:θ=0：圓偏振；θ=180o：圓偏振；θ=45o：橢圓偏振；θ=90o：線偏振。第34頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例：設(shè)有一各向同性的帶電諧振子，受彈性恢復(fù)力,處于均勻恒定外磁場(chǎng)B中，設(shè)v<<c，忽略輻射阻尼力，求：①