大數(shù)定理及中心極限定理第1頁，共27頁，2023年，2月20日，星期一一、隨機(jī)變量的數(shù)字特征數(shù)學(xué)期望與方差

數(shù)學(xué)期望又稱期望或均值，是隨機(jī)變量所有可能取值的平均水平，代表隨機(jī)變量分布的集中趨勢，一般用E(X)或μ表示。

數(shù)學(xué)期望有如下性質(zhì)：

1)若C為常數(shù)，則有E(C)=C;2)若X是一個(gè)隨機(jī)變量，C為常數(shù)，則有E(CX)=CE(X);3)若X、Y是兩個(gè)任意隨機(jī)變量，則有E(X+Y)=E(X)+E(Y)4)若X、Y是兩個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)變量，則有E(XY)=E(X)E(Y)第2頁，共27頁，2023年，2月20日，星期一一、隨機(jī)變量的數(shù)字特征隨機(jī)變量方差是每一個(gè)隨機(jī)變量可能取值與期望值的離差的平方的期望值，是用來反映隨機(jī)變量取值的離散程度，一般用D(x)或σ2表示 ，即

D（X）=σ2=E[X-E（X）]2=E（X2）-[E（X）]2

標(biāo)準(zhǔn)差σ=D（X）

方差基本性質(zhì)：

1）若C為常數(shù)，則有D（C）=0；

2）若X是一個(gè)隨機(jī)變量，C是常數(shù)，則D（CX）=C2D（X）

D（X+C）=D（X）

3）若X、Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，則有

D（X+Y）=D（X）+D（Y）第3頁，共27頁，2023年，2月20日，星期一一、隨機(jī)變量的數(shù)字特征離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征離散型隨機(jī)變量的期望及方差

若隨即變量為有限個(gè)值：x1，x2，…，xn，其對應(yīng)的概率分別是p1，p2，…，pn，其中，pi＞0，=1，則數(shù)學(xué)期望為

E（X）=μ=X1P1+X2P2+…+XnPn=若隨即變量為有限個(gè)值：x1，x2，…，xn，…，其對應(yīng)的概率分別是p1，p2，…，pn，其中，pi＞0，=1，則數(shù)學(xué)期望為第4頁，共27頁，2023年，2月20日，星期一一、隨機(jī)變量的數(shù)字特征離散型隨機(jī)變量的期望及方差

E（X）=μ=X1P1+X2P2+…+XnPn=

設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量，若E[X-E（X）]2存在，則它是X的方差，記為D（X）或σ2

即

D（X）=E[X-E（X）]2=E（X2）-[E（X）]2

第5頁，共27頁，2023年，2月20日，星期一一、隨機(jī)變量的數(shù)字特征兩點(diǎn)分布的數(shù)字特征

若隨即變量X～B（1，p）則

E（X）=pD（X）=pq（q=1-p）二項(xiàng)分布的數(shù)字特征

若隨機(jī)變量X～B（n，p）則

E（X）=npD（X）=npq（q=1-p）幾何分布的數(shù)字特征若隨即變量X～G（p）則

E（x）=1/pD（X）=q/p2（q=1-p）第6頁，共27頁，2023年，2月20日，星期一一、隨機(jī)變量的數(shù)字特征泊松分布的數(shù)字特征若隨即變量X～P（λ）則

E（X）=λD（X）=λ超幾何分布的數(shù)字特征若隨即變量X～H（λ）則

E（X）=D（X）=NnMN2(N-1)n(N-n)(N-M)M第7頁，共27頁，2023年，2月20日，星期一一、隨機(jī)變量的數(shù)字特征連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)字特征連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差

對于隨機(jī)變量X，如果它的密度函數(shù)為非負(fù)函數(shù)f（x），若積分絕對收斂，則

E（x）=D（X）=第8頁，共27頁，2023年，2月20日，星期一一、隨機(jī)變量的數(shù)字特征均勻分布的數(shù)字特征

均勻分布的隨機(jī)變量X的分布密度函數(shù)為

f（x）=

那么數(shù)學(xué)期望E（x）=方差為0b-a1a≤x≤bx＜a或x＞b=第9頁，共27頁，2023年，2月20日，星期一一、隨機(jī)變量的數(shù)字特征指數(shù)分布的數(shù)字特征指數(shù)分布的隨機(jī)變量X的分布密度函數(shù)為

f（x）=

則有數(shù)學(xué)期望

E（x）=

方差為0x＜0第10頁，共27頁，2023年，2月20日，星期一一、隨機(jī)變量的數(shù)字特征正態(tài)分布數(shù)字特征正態(tài)分布的隨機(jī)變量X的分布密度函數(shù)為E(X)=D(X)=σ2第11頁，共27頁，2023年，2月20日，星期一二、大數(shù)定理及中心極限定理大數(shù)定理

定理1

（貝努利大數(shù)定理）設(shè)n次獨(dú)立試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的次數(shù)為m，事件A在每次試驗(yàn)中的發(fā)生的概率為p，則對于任意正數(shù)ε，有：定理2（切比雪夫大數(shù)定理）設(shè)隨機(jī)變量X1，X2，…相互獨(dú)立，且服從同一分布，它們的數(shù)學(xué)期望E（Xk）=μ，方差D（X）=σ2，（K=1，2，3，…）則對任意正數(shù)ε，有：第12頁，共27頁，2023年，2月20日，星期一二、大數(shù)定理及中心極限定理中心極限定理

設(shè)X1，X2，…Xn是具有相同分布且相互獨(dú)立的一列隨機(jī)變量，當(dāng)n時(shí)，對任意X有：∞定理表明，當(dāng)n很大時(shí)，隨機(jī)變量的分布漸進(jìn)服從期望和方差分別為nμ和nσ2的正態(tài)分布N(nμ，nσ2)第13頁，共27頁，2023年，2月20日，星期一二、大數(shù)定理及中心極限定理上述定理的推論推論表明，當(dāng)n很大時(shí)，隨機(jī)變量的分布漸進(jìn)服從期望和方差分別為μ和σ2/n的正態(tài)分布N(μ，σ2/n)n第14頁，共27頁，2023年，2月20日，星期一二、大數(shù)定理及中心極限定理例4-20在n重貝努利試驗(yàn)中，若事件A發(fā)生的概率為p，隨機(jī)變量Xk定義如下：

Xk=（k=1，2，3…），若Xk相互獨(dú)立，且n較大，求n次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)在a到b（0＜a＜b）之間的概率01在第k次試驗(yàn)中A不發(fā)生在第k次試驗(yàn)中A發(fā)生第15頁，共27頁，2023年，2月20日，星期一三、統(tǒng)計(jì)量及其分布樣本函數(shù)與統(tǒng)計(jì)量

樣本函數(shù)：g=g（x1，x2，…，xn）

統(tǒng)計(jì)量：如果g中不含任何參數(shù)，則稱g=g（x1，X2，

…，xn）為一統(tǒng)計(jì)量。例如，設(shè)（x1，x2，…，xn）是取自正態(tài)分布N（μ，σ2）的樣本，若μ，σ2已知，則樣本函數(shù)是一個(gè)統(tǒng)計(jì)量；若μ，σ2有未知的呢？統(tǒng)計(jì)量是一個(gè)隨機(jī)變量，有其自己的概率分布，其概率分布通常稱為抽樣分布x-μσ第16頁，共27頁，2023年，2月20日，星期一三、統(tǒng)計(jì)量及其分布樣本均值的分布

設(shè)總體X～N（μ，σ2），（x1，X2，…，xn）是X的一個(gè)樣本。由于這些樣本相互獨(dú)立，且與總體同分布，可得樣本平均值的抽樣分布仍為正態(tài)分布，其數(shù)學(xué)期望和方差分別是

～即第17頁，共27頁，2023年，2月20日，星期一三、統(tǒng)計(jì)量及其分布問題：若X的分布不是正態(tài)分布，則均值例4-21一汽車蓄電池商，聲稱其生產(chǎn)的電池具有均值54個(gè)月，標(biāo)準(zhǔn)差為6個(gè)月的壽命分布?，F(xiàn)消費(fèi)者團(tuán)體決定檢驗(yàn)該廠的說法是否正確，為此購買了50個(gè)該廠生產(chǎn)的電池進(jìn)行檢驗(yàn)（1）假定廠商聲稱是正確的，試描述50個(gè)電池的平均壽命的抽樣分布（2）假定廠商聲稱是正確的，則50個(gè)電池組成的樣本的平均壽命達(dá)不到52個(gè)月的概率是多少服從什么分布？第18頁，共27頁，2023年，2月20日，星期一三、統(tǒng)計(jì)量及其分布

分布

設(shè)x1，x2，…xn是幾個(gè)相互獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，且每一隨機(jī)變量xi（i=1，2，…，n）都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，即xi～N（0，1），則隨機(jī)變量的分布稱為服從自由度為n的分布。記為χ2第19頁，共27頁，2023年，2月20日，星期一三、統(tǒng)計(jì)量及其分布

分布密度函數(shù)為注意：1）自由度n是指變量中所含的獨(dú)立隨即變量xi（i=1，2，…，n）的個(gè)數(shù)

2）分布中的是伽馬函數(shù)，其值等于參數(shù)為n/2的廣義積分0x≥0x＜0第20頁，共27頁，2023年，2月20日，星期一三、統(tǒng)計(jì)量及其分布函數(shù)是以α＞0為參數(shù)的廣義積分，其定義是：

函數(shù)具有以下性質(zhì)：

1）對于參數(shù)α有

2）對于任意正整數(shù)n，有

3）！第21頁，共27頁，2023年，2月20日，星期一三、統(tǒng)計(jì)量及其分布分布性質(zhì)

性質(zhì)：1）若X～，則均值E（X）=n，方差D（X）

=2n2）若X1，X2相互獨(dú)立，且X1～，X2～則（X1+X2

）～n=10n=4n=3n=2n=1第22頁，共27頁，2023年，2月20日，星期一三、統(tǒng)計(jì)量及其分布t分布

設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，而且X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，即X～N（0，1），Y服從自由度為n的，即Y～，則稱隨機(jī)變量t=服從自由度為n的t分布，記為t（n）。XN（0，1)

t(10)t(2)

t分布t（n）的數(shù)學(xué)期望和方差分別為μ=0，σ2=n/（n-2）第23頁，共27頁，2023年，2月20日，星期一三、統(tǒng)計(jì)量及其分布F分布設(shè)隨機(jī)變量X～，Y～且X與Y相互獨(dú)立，則隨機(jī)變量F=的分布稱為自由度為（n，m）的F的分布，并記為F～F（n，m）。

F（n，m）分布的數(shù)學(xué)期望和方差

μ=m/（m-2）