...wd......wd......wd...目錄摘要-5-1倒立擺系統(tǒng)概述-6-1.1倒立擺的種類-6-1.2系統(tǒng)的組成-6-1.3工程背景-6-2數(shù)學(xué)模型的建設(shè)-7-2.1牛頓力學(xué)法系統(tǒng)分析-7-2.2拉氏變換后實際系統(tǒng)的模型-10-3開環(huán)響應(yīng)分析-11-4根軌跡法設(shè)計-13-4.1校正前倒立擺系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)的分析-13-4.2系統(tǒng)穩(wěn)定性分析-13-4.3根軌跡設(shè)計-14-4.4SIMULINK仿真-17-5直線一級倒立擺頻域法設(shè)計-18-5.1系統(tǒng)頻域響應(yīng)分析-18-5.2頻域法控制器設(shè)計-19-5.2.1控制器的選擇-19-5.2.2系統(tǒng)開環(huán)增益的計算-20-5.2.3校正裝置的頻率分析-20-5.3Simulink仿真-24-6直線一級倒立擺的PID控制設(shè)計-25-6.1PID簡介-25-6.2PID控制設(shè)計分析-25-6.3PID控制器的參數(shù)測定-26-7總結(jié)與體會-29-7.1總結(jié)-29-7.2體會-29-參考文獻-30-摘要倒立擺是一種典型的非線性，多變量，強耦合，不穩(wěn)定系統(tǒng)，許多抽象的控制概念如系統(tǒng)的穩(wěn)定性、可控性、系統(tǒng)的抗干擾能力等都可以通過倒立擺直觀的反響出來；倒立擺的控制思想在實際中如實驗、教學(xué)、科研中也得到廣泛的應(yīng)用；在火箭飛行姿態(tài)的控制、人工智能、機器人站立與行走等領(lǐng)域有廣闊的開發(fā)和利用前景。因此，對倒立擺系統(tǒng)的研究具有十分重要的理論和實踐意義。本文首先將直線倒立擺抽象為簡單的模型以便于受力分析進展機理建模，然后通過牛頓力學(xué)原理進展分析，得出相應(yīng)的模型，進展拉氏變化帶入相應(yīng)參數(shù)得出擺桿角度和小車位移、擺桿角度和小車加速度、擺桿角度和小車所受外界作用力、小車位移與小車所受外界作用力的傳遞函數(shù)，其中擺桿角度和小車加速度之間的傳遞函數(shù)為：………(1)即我們在本次設(shè)計中主要分析的系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。然后從時域角度著手，分析直線一級倒立擺的開環(huán)單位階躍響應(yīng)和單位脈沖響應(yīng)，利用Matlab中的Simulink仿真工具進展仿真，得出結(jié)論該系統(tǒng)的開環(huán)響應(yīng)是發(fā)散的。最后分別利用根軌跡分析法，頻域分析法和PID控制法對倒立擺系統(tǒng)進展校正。針對目標一：調(diào)整時間，最大超調(diào)量，選取參數(shù)利用根軌跡法進展校正，得出利用超前校正環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為：…………(2)針對目標二：系統(tǒng)的靜態(tài)位置誤差常數(shù)為10；相位裕量為50；增益裕量等于或大于10分貝。通過頻域法得出利用超前校正環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為：…………………(3)針對目標三：調(diào)整時間，最大超調(diào)量，，設(shè)計或調(diào)整PID控制器參數(shù)，得出調(diào)整后的傳遞函數(shù)為：………..(4)關(guān)鍵詞：直線一級倒立擺根軌跡分析頻域分析 PID控制1倒立擺系統(tǒng)概述1.1倒立擺的種類懸掛式、直線、環(huán)形、平面倒立擺等。一級、二級、三級、四級乃至多級倒立擺。1.2系統(tǒng)的組成倒立擺系統(tǒng)由倒立擺本體，電控箱以及控制平臺〔包括運動控制卡和PC機〕三大局部組成。1.3工程背景機器人的站立與行走類似雙倒立擺系統(tǒng)。在火箭等飛行器的飛行過程中為了保持其正確的姿態(tài)要不斷進展實時控制。通信衛(wèi)星要保持其穩(wěn)定的姿態(tài)使衛(wèi)星天線一直指向地球，使它的太陽能電池板一直指向太陽。為了提高偵察衛(wèi)星中攝像機的攝像質(zhì)量必須能自動地保持伺服云臺的穩(wěn)定消除震動。多級火箭飛行姿態(tài)的控制也可以用多級倒立擺系統(tǒng)進展研究。倒立擺系統(tǒng)是機器人技術(shù)、控制理論、計算機控制等多個領(lǐng)域、多種技術(shù)的有機結(jié)合。2數(shù)學(xué)模型的建設(shè)2.1牛頓力學(xué)法系統(tǒng)分析通過以上假設(shè)，將倒立擺抽象為如以以下圖的系統(tǒng)圖直線一級倒立擺模型M小車質(zhì)量1.096Kgm擺桿質(zhì)量0.109Kgb小車摩擦系數(shù)0.1N/m/secl擺桿轉(zhuǎn)動軸心到質(zhì)心長度0.25mI擺桿慣量0.0034kg·m2F加在小車上的力x小車位置擺桿與垂直向上方向的夾角擺桿與垂直向下方向的夾角圖小車及擺桿受力分析N和P為小車與擺桿相互作用力的水平和垂直方向的分量。首先對小車水平方向所受的合力和對擺桿水平方向的受力進展分析，得到系統(tǒng)的第一個運動方程。對小車水平方向所受的合力進展分析，得到如下方程：〔2-1-1〕對擺桿水平方向的受力進展分析，得到如下面方程：〔2-1-2〕即：〔2-1-3〕把這個表達式代入式(4-1)中，得到系統(tǒng)的第一個運動方程：〔2-1-4〕然后通過對擺桿垂直方向上的合力進展分析，得到系統(tǒng)的第二個運動方程。對擺桿垂直方向上的合力進展分析，得到方程如下：〔2-1-5〕〔2-1-6〕力矩平衡方程如下：〔2-1-7〕此方程中力矩的方向，如以以下圖,那么，故等式前面有負號。合并這兩個方程，約去P和N，得到第二個運動方程：〔2-1-8〕設(shè)〔是擺桿與垂直向上方向之間的夾角〕，假設(shè)與1〔單位是弧度〕相比很小，即，那么可以進展近似認為。用u來代表被控對象的輸入力F，線性化后兩個運動方程如下[3]：〔2-1-9〕假設(shè)初始條件為0，對式(3-9)進展拉普拉斯變換，得到：〔2-1-10〕由于輸出為角度φ，求解方程組的第一個方程，可以得到：〔2-1-11〕〔2-1-12〕令v=x，那么有：〔2-1-13〕把上式代入方程組的第二個運動方程，得到：〔2-1-14〕整理后得到傳遞函數(shù)：〔2-1-15〕其中。2.2拉氏變換后實際系統(tǒng)的模型本系統(tǒng)采用以小車的加速度作為系統(tǒng)的輸入，把上述參數(shù)代入，可以得到系統(tǒng)的實際模型。擺桿角度和小車位移的傳遞函數(shù)：〔2-2-1〕擺桿角度和小車加速度之間的傳遞函數(shù)為：〔2-2-2〕擺桿角度和小車所受外界作用力的傳遞函數(shù)：〔2-2-3〕3開環(huán)響應(yīng)分析當輸入為小車加速度時，分析擺桿角度與小車位置的脈沖響應(yīng)和階躍響應(yīng)。由式〔2-2-1〕、〔2-1-2〕或者通過受力分析物理公式均可得到小車位移和小車加速度的傳遞函數(shù)：〔3-1〕利用Matlab中的Simulink仿真工具進展仿真，仿真系統(tǒng)的構(gòu)造如圖擺桿角度的單位脈沖、階躍響應(yīng)，小車位置的單位脈沖、階躍響應(yīng)如以以下圖擺桿角度的階躍響應(yīng)擺桿角度的脈沖響應(yīng)小車位置的階躍響應(yīng)小車位置的脈沖響應(yīng)從圖可知，輸入加速度時，擺桿角度及小車位移的階躍響應(yīng)和脈沖響應(yīng)都是發(fā)散的。倒立擺系統(tǒng)不穩(wěn)定，需要進展校正。4根軌跡法設(shè)計4.1校正前倒立擺系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)的分析本系統(tǒng)采用小車的加速度作為系統(tǒng)的輸入，擺桿角度為輸出響應(yīng)，得出的傳遞函數(shù)：即式〔2-2-2〕。4.2系統(tǒng)穩(wěn)定性分析在MATLAB中新建一個m文件，并進展編程如下：num=[0.02725];den=[0.0102125

0

-0.26705];

rlocus(num,den)

p=roots(den)

保存后運行文件，由結(jié)果可知該系統(tǒng)不存在開環(huán)零點，僅有兩個絕對值相等的開環(huán)實極點。并繪制出了未校正系統(tǒng)的根軌跡圖如下可以看出閉環(huán)傳遞函數(shù)的一個極點位于右半平面，并且有一條根軌跡起始于該極點，并沿著實軸向左到位于原點的零點處，這說明無論增益如何變化，這條根軌跡總是位于右半平面，即系統(tǒng)總是不穩(wěn)定的。4.3根軌跡設(shè)計開環(huán)傳遞函數(shù)：設(shè)計控制器，使得校正后系統(tǒng)的性能指標滿足：最大超調(diào)量調(diào)整時間1、根據(jù)性能指標，計算校正后閉環(huán)主導(dǎo)極點的坐標。由于最大超調(diào)量：有公式我們可以算出為0.591155，取為0.69。由=得，°。又調(diào)節(jié)時間為0.5s〔△=±2%〕取=0.5s得=13.043由特征根為s1,2=得期待閉環(huán)主導(dǎo)極點s1,2=-8.999±9.4406j=101.42°2、計算超前校正網(wǎng)絡(luò)應(yīng)提供的超前相角。=180°-101.32°=78.58°3、計算角、和。=27.52°=6.2730=27.1194故校正網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)為：4、由幅值條件，計算Kc 根據(jù)幅值條件||=1，可得到Kc=135.07755、控制器確實定得到了系統(tǒng)的超前校正控制器：〔4-3-1〕6、校正后系統(tǒng)的驗證通過MATLAB作圖，得校正后根軌跡如圖單位階躍響應(yīng)如圖可知雖然本次校正使系統(tǒng)的性能得到了改善，但是還無法到達我們之前要求到的超調(diào)量的性能指標，所以我們需要通過改變校正環(huán)節(jié)中的各項參數(shù)來調(diào)整系統(tǒng)，使之能夠到達系統(tǒng)設(shè)計要求。由于增大超調(diào)量會變小，經(jīng)過屢次嘗試，發(fā)現(xiàn)當時，滿足性能指標。其單位階躍如圖4.4SIMULINK仿真建設(shè)仿真模型如下：仿真結(jié)果如下：由圖可看到，系統(tǒng)的超調(diào)量較小，調(diào)節(jié)時間短，性能指標較好，系統(tǒng)校正成功。5直線一級倒立擺頻域法設(shè)計5.1系統(tǒng)頻域響應(yīng)分析系統(tǒng)對正弦輸入信號的響應(yīng)，稱為頻率響應(yīng)。在頻率響應(yīng)方法中，在一定范圍內(nèi)改變輸入信號的頻率，研究其產(chǎn)生的響應(yīng)。頻率響應(yīng)可以采用以下兩種方法進展分析：一種為伯德圖，采用兩幅別離圖，一幅表示幅頻特性，一幅表示相頻特性；另一種是奈奎斯特圖，表示的是當從0變化到無窮大時，向量的矢端軌跡。奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)使我們有可能根據(jù)系統(tǒng)的開環(huán)頻率響應(yīng)特性信息，研究線性閉環(huán)系統(tǒng)的絕對穩(wěn)定性和相對穩(wěn)定性。根據(jù)式〔2-2-2〕我們已經(jīng)得到了直線一級倒立擺的數(shù)學(xué)模型，實際系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：其中輸入為小車的加速度,輸出為擺桿的角速度。利用Matlab繪制系統(tǒng)的Bode圖〔圖5-1-1〕如下。>>s=tf('s');>>G0=0.02725/(0.0102125*s^2-0.26705);>>figure;margin(G0)>>gridon圖5-1-1、直線一級倒立擺系統(tǒng)的Bode圖圖5-1-2、直線一級倒立擺系統(tǒng)的Nyquist圖根據(jù)奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)，由根軌跡法中零點、極點的計算可知：系統(tǒng)不存在零點，但存在兩個極點，其中一個極點位于S平面的右半局部，另一個位于S平面的左半局部。根據(jù)奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：當由變化時，曲線逆時針包圍平面上點的次數(shù)等于開環(huán)傳遞函數(shù)右極點個數(shù)。對于直線一級倒立擺，由圖11和圖12可以看出，開環(huán)傳遞函數(shù)在S右半平面有一個極點。因此，曲線逆時針包圍點的次數(shù)。而本系統(tǒng)的奈奎斯特圖并沒有逆時針包圍點一圈即。因此系統(tǒng)不穩(wěn)定，需要設(shè)計控制器來穩(wěn)定系統(tǒng)。5.2頻域法控制器設(shè)計5.2.1控制器的選擇根據(jù)圖5-1-1和圖5-1-2可以初步觀察出，給系統(tǒng)增加一個超前校正就可以滿足設(shè)計要求，設(shè)超前校正裝置為：〔5-2-1-1〕那么已校正系統(tǒng)具有開環(huán)傳遞函數(shù)，設(shè)〔5-2-1-2〕其中。5.2.2系統(tǒng)開環(huán)增益的計算根據(jù)穩(wěn)態(tài)誤差要求計算增益(5-2-2-1〕可以得到：〔5-2-2-2〕于是有：〔5-2-2-3〕5.2.3校正裝置的頻率分析利用MATLAB畫出的Bode圖圖5-2-3-1校正裝置的Bode圖可以看出，系統(tǒng)的相位裕量為。說明只是滿足穩(wěn)態(tài)誤差時的系統(tǒng)不能滿足動態(tài)性能指標的要求。根據(jù)設(shè)計要求，系統(tǒng)的相位裕量為，因此需要增加的相位裕量為，增加超前校正裝置會改變Bode圖的幅值曲線，這時增益交界頻率會向右移動，必須對增益交界頻率增加所造成的的相位滯后增量進展補償。實際需要增加的相角裕量為55°。計算超前校正網(wǎng)絡(luò)參數(shù)：=〔5-2-3-1〕〔5-2-3-2〕 在圖中找到的點，該點的頻率就是校正后系統(tǒng)的截止頻率，即，該頻率就是超前校正網(wǎng)絡(luò)最大超前角處對應(yīng)的頻率，也即是系統(tǒng)校正后的截止頻率。計算超前校正網(wǎng)絡(luò)的另一個參數(shù)T〔5-2-3-4〕， 由此得到的校正裝置為： 校正后的傳遞函數(shù)為：畫出校正后系統(tǒng)的Bode圖圖5-2-3-2校正裝置的Bode圖圖5-2-3-3校正裝置的Bode圖 從圖5-2-3-2和圖5-2-3-3可知，校正后的系統(tǒng)相角裕量和幅值裕量符合設(shè)計要求，根據(jù)奈奎斯特判據(jù)可知校正后的系統(tǒng)穩(wěn)定?，F(xiàn)在分析系統(tǒng)的動態(tài)性能是否滿足要求。Matlab編程如下：>>num=[0.02725*985.7820.02725*985.782*8.9544];>>den1=[0.01021250-0.26705];>>den2=[190.0901];>>den=conv(den1,den2);>>sys=tf(num,den);>>sys2=feedback(sys,1);>>t=0:0.01:20;>>step(sys2,t)>>axis([0102]);圖5-2-3-4從圖可看到，系統(tǒng)的超調(diào)量較大，不理想，因此對其進展調(diào)整，經(jīng)過反復(fù)試探和分析，得到較好的參數(shù)如下：圖5-2-3-5從圖可看到，此時系統(tǒng)的超調(diào)量很小，調(diào)節(jié)時間短，穩(wěn)定性好，符合設(shè)計要求且性能指標良好。該控制器設(shè)計成功。5.3Simulink仿真利用Simulink建設(shè)含有利用頻域法得到的超前校正裝置的系統(tǒng)構(gòu)造圖進展仿真觀察系統(tǒng)的響應(yīng)情況。仿真構(gòu)造圖如下：圖5-3-1仿真結(jié)果如以以下圖：圖5-3-2由圖能看到校正后系統(tǒng)的穩(wěn)定性，快速性和準確性都比較好，符合設(shè)計要求。6直線一級倒立擺的PID控制設(shè)計6.1PID簡介PID控制器又稱PID調(diào)節(jié)器，是工業(yè)過程控制系統(tǒng)中常用的有源校正裝置，目前應(yīng)用比較廣泛的主要有電子式PID控制器和氣動式PID控制器。在自控原理中，經(jīng)典控制理論的研究對象主要是單輸入單輸出的系統(tǒng)，控制器設(shè)計時一般需要有關(guān)被控對象的較準確模型。但是很多場合下，不能也沒有必要對控制系統(tǒng)建設(shè)準確的數(shù)學(xué)模型，這種情況下PID控制器的優(yōu)勢得以顯現(xiàn)：構(gòu)造簡單，容易調(diào)節(jié)，且不需要對系統(tǒng)建設(shè)準確的模型，在控制上應(yīng)用較廣。6.2PID控制設(shè)計分析我們注意到，PID控制器[6]設(shè)計之初并不需要對被控系統(tǒng)進展準確的分析。為了突出PID控制的這一優(yōu)勢，我們采用實驗的方法對系統(tǒng)進展控制器參數(shù)的設(shè)置，即在Matlab中利用Simulink仿真測試來確定PID控制器的參數(shù)。其系統(tǒng)構(gòu)造框圖如下所示:圖6-2-1PID控制構(gòu)造圖由于，為了方便查看我們將上圖進展轉(zhuǎn)換，轉(zhuǎn)換結(jié)果如下。圖6-2-2PID控制等效構(gòu)造圖該圖更加方便我們理解PID控制器的作用，系統(tǒng)的輸出為其中各個參數(shù)的含義如下：通過分析上式便可以評價PID控制器控制的效果，進而得出系統(tǒng)性能的相關(guān)指標。主要依據(jù)圖像所反映出系統(tǒng)性能的欠缺進展有針對性的調(diào)節(jié)，其中P反映誤差信號的瞬時值大小，改變快速性；I反映誤差信號的累計值，改變準確性；D反映誤差信號的變化趨勢，改變平穩(wěn)性。PID的調(diào)節(jié)是根據(jù)現(xiàn)在的性能指標，和PID三個參數(shù)調(diào)節(jié)的意義進展的調(diào)節(jié)?！?〕、比例P控制器 比例系數(shù)減小，將使系統(tǒng)的平穩(wěn)性得到改善。但是系統(tǒng)的上升時間變成且系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度變差。增大比例系數(shù)可以提高系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度但是犧牲了系統(tǒng)的平穩(wěn)性和快速性?！?〕、PD控制器選擇適宜的Td的值，串聯(lián)PD控制器可以提高系統(tǒng)的平穩(wěn)性，加快系統(tǒng)的響應(yīng)速度，串聯(lián)的PD校正實際上是對系統(tǒng)的串聯(lián)超前校正，這樣容易放大高頻噪聲，抗干擾能力下降?！?〕、PI控制器串聯(lián)PI控制器后是校正后系統(tǒng)成為有一個左實數(shù)的零點n+1階的系統(tǒng)，此外系統(tǒng)的性別提高，能夠改善系統(tǒng)過得穩(wěn)態(tài)精度，其中Ti越小積分作用越強。系統(tǒng)的平穩(wěn)性會越差。PI通常是用于改善系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能。6.3PID控制器的參數(shù)測定通過剛剛的分析，我們已經(jīng)得出了PID控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)如式?！?-3-1〕在Simulink環(huán)境中建設(shè)PID控制模型，之后可以根據(jù)8.2中提到的控制規(guī)律進展參數(shù)選取，進而求得適宜的參數(shù)。圖6-3-1PID控制系統(tǒng)仿真構(gòu)造圖雙擊PID控制器，選擇參數(shù)進展仿真。經(jīng)過屢次參數(shù)選取，得到了比較適宜的參數(shù)，如圖6-3-2。圖6-3-2、PID參數(shù)選擇仿真結(jié)果如以以下圖:圖6-3-3、PID調(diào)節(jié)后的階躍響應(yīng)圖得到相應(yīng)的指標，符合要求?？刂菩Ч容^理想，PID控制器的傳遞函數(shù)為〔6