考研數(shù)學一（隨機變量的數(shù)字特征）模擬試卷5(題后含答案及解析)題型有：1.選擇題2.填空題3.解答題選擇題下列每題給出的四個選項中，只有一個選項符合題目要求。1．若離散型隨機變量X的概率分布為P{X=(一1)n2n}=，n=1，2，…，則E(X)=()A．2。B．0。C．ln2。D．不存在。正確答案：D解析：依定義，E(X)=(一1)n2n(一1)n，而級數(shù)∣(一1)n∣=+∞，(一1)n不絕對收斂，故E(X)不存在。故選D。知識模塊：隨機變量的數(shù)字特征2．設(shè)隨機變量X～E(1)，記Y=max{X，1}，則E(Y)=()A．1。B．1+e-1。C．1一e-1。D．e-1。正確答案：B解析：根據(jù)隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望的定義，有E(Y)=E[max{X，1}]=∫-∞+∞max{x，1}f(x)dx，其中f(x)為指數(shù)分布X的密度函數(shù)，即f(x)=所以E(Y)=∫-∞+∞max{x，1}f(x)dx=∫-∞0max{x，1}.Odx+∫0+∞max{x，1}e-xdx=∫01e-xdx+∫1+∞xe-xdx=1一e-1+2e-1=1+e-1。故選(B)。知識模塊：隨機變量的數(shù)字特征3．一臺儀器由5只不太可靠的元件組成，已知各元件是否出故障是獨立的，且第k只元件出故障的概率為Pk=，則出故障的元件數(shù)的方差是()A．1．3。B．1．2。C．1．1。D．1．0。正確答案：C解析：由于每個元件出故障概率不同，故采用(0—1)分布，即Xk=k=1,2,…,5于是D(X1)=故有D(X)=1．1。故選(C)。知識模塊：隨機變量的數(shù)字特征4．已知隨機變量X服從二項分布，E(X)=2．4，D(X)=1．44，則二項分布

的參數(shù)n,p的值為()A．n=4，P=0．6。B．n=6，P=0．4。C．n=8，P=0．3。D．n=24，P=0．1。正確答案：B解析：由已知，則E(X)=np，D(X)=np(1一p)，即2．4×(1一p)=1．44=p=0．4，n=6。故選(B)。知識模塊：隨機變量的數(shù)字特征5．設(shè)兩個相互獨立的隨機變量X和y的方差分別為4和2，則隨機變量3X一2Y的方差是()A．8。B．16。C．28。D．44。正確答案：D解析：由D(x)=4，D(Y)=2，且X與Y獨立，故D(3X一2Y)=9D(X)+4D(Y)=9×4+4×2=44。故選(D)。知識模塊：隨機變量的數(shù)字特征6．將一枚硬幣重復(fù)擲n次，以X和Y分別表示正面向上和反面向上的次X和Y的相關(guān)系數(shù)等于()A．一1。數(shù)，則B．0。C．。D．1。正確答案：A解析：一般來說，兩個隨機變量X與Y的相關(guān)系數(shù)ρXY滿足∣ρXY∣≤1。若Y=aX+b，則當a＞0時，ρXY=1，當a＜0時，ρXY=一1。依題意，Y=n—X，故ρXY=一1。故選(A)。知隨機變量的數(shù)字特征識模塊：7．設(shè)二維隨機變量(X，Y)的概率分布為則E(XY)=()A．B．C．D．正確答案：A解析：E(XY)=1×1×+2×1×+2×2×。故選A。知識模塊：隨機變量的數(shù)

字特征8．假設(shè)隨機變量X在區(qū)間V=arccosX的相關(guān)系數(shù)等于()A．一1。[一1，1]上服從均勻分布，則U=arcsinX和B．0。C．0．5。D．1。正確答案：A解析：由于U=arcsinX和V=arccosX滿足下列關(guān)系：arcsinX=一arccosX，即U=一V+，所以其相關(guān)系數(shù)ρ=一1。故(A)。知識模塊：隨機變量的數(shù)字特征9．設(shè)隨機變量X和Y，已知E(X)=一2，E(Y)=2，D(X)=1，D(Y)=4，ρ6}≤()XY=一0．5，則由切比雪夫不等式有P{∣X+Y∣≥A．B．C．D．正確答案：B解析：記ξ=X+Y，則E(ξ)=K(X)+E(Y)=一2+2=0，D(ξ)=D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X，Y)=D(X)+D(Y)+2ρXY=1+4+2×(一0．5)×√4=3，由切比雪夫不等式可得P{∣X+Y∣≥6}=P{∣ξ一E(ξ)∣≥6}≤故選(B)。知識模塊：隨機變量的數(shù)字特征填空題10．設(shè)隨機變量X的概率密度為f(x)=，且E(X)=,則a+b=___________。正確答案：解析：由概率密度的性質(zhì)∫-∞+∞f(x)dx=∫01(a+bx)dx==1，由數(shù)學期望的定義公式E(X)=∫-∞+∞xf(x)dx=∫01x(a+bx)dx=聯(lián)立以上兩個等式，解得a=，b=1，則a+b=。知識模塊：隨機變量的數(shù)字特征11．設(shè)隨機變量X1，X2，X3相互獨立，其X2服從正態(tài)分布N(0，22)，X3服從為3的泊松分布，記Y=X1一2X2+3X3，則D(Y)=___________。中X1在[0，6]上服從均勻分布，參數(shù)正確答案：46

解析：因為D(X1)==3，D(X2)=4，D(X3)=3，所以D(Y)=D(X1)+4D(X2)+9D(X3)=3+16+27=46。知識模塊：隨機變量的數(shù)字特征12．設(shè)隨機變量X服從泊松分布P(λ)，且已知E[(X一1)(X一2)]=1，則P{X=D(X)}=___________。正確答案：e-1解析：設(shè)X～P(λ)，根據(jù)已知條件得E[(X一1)(X一2)]=E(X2一3X+2)=E(X2)一3E(X)+2=[E(X)]2+D(X)一3E(X)+2=λ2一2λ+2=1．于是λ2一2λ+1=0，解得λ=1。若X～P(1)，則P{X=D(X)}=P{X=1}=e-1。知識模塊：隨機變量的數(shù)字特征13．設(shè)Xk～B(k，0．5)，k=1，…，4，且X1，X4相互獨立，D(Xk)=___________。正確答案：2.5解析：由題設(shè)，Xk～B(k，0．5)，k=l，…，4，則D(Xk)=0．25k，k=1，…，4。又因為X1，…，X4相互獨立，則0．25k=0．25(1+2+3+4)=2．5。知識模塊：隨機變量的數(shù)字特征14．設(shè)X是一個隨機變量，其概率密度為f(x)=則D(X)=___________。正確答案：解析：因為E(X)=∫-10x(1+x)dx+∫01x(1一x)dx=0,所以D(X)=E(X2)=∫-10x2(1+x)dx+∫01x2(1一x)dx=知識模塊：隨機變量的數(shù)字特征15．已知隨機變量X服從參數(shù)為2的泊松分布，且隨機變量Z=3X一2，則E(Z)=___________。正確答案：4解析：因為已知X～P(λ)，其中λ=2，那么E(x)=2，所以E(Z)=E(3X一2)=3E(X)一2=3×2—2=4。知識模塊：隨機變量的數(shù)字特征16．設(shè)X表示10次獨立重復(fù)射擊命中目標的次數(shù)，每次射中目標的概率為0．4，則X2的數(shù)學期望E(X2)=___________。正確答案：18.4解析：由已知，X服從二項分布B(10，0．4)，E(X)=np=4，D(X)=npq=2．4。E(X2)=D(X)+[E(X)]2=18．4。知識模塊：隨機變量的數(shù)字結(jié)合方差性質(zhì)有特征17．已知隨機變量X在(1，2)上服從均勻分布，在X=z條件下Y服從參數(shù)為x的指數(shù)分布。則E(XY)=___________。正確答案：1

解析：由題設(shè)知fY∣X(y∣x)=所以(X，Y)的聯(lián)合密度函數(shù)f(x，y)=fX(x)fY∣X(y∣x)=由二維連續(xù)型隨機變量(X，Y)的函數(shù)的數(shù)學期望定義式可知，隨機變量X=g(X，Y)=XY的數(shù)學期望為E(XY)=∫-∞+∞∫-∞+∞xyf(x，y)dxdy=∫12dx∫0+∞xyxe-xydy=∫12dx=1知識模塊：隨機變量的數(shù)字特征18．設(shè)總體X的數(shù)學期望和方差都存在，X1，X2，…，Xn是來自總體X的簡單隨機樣本，是樣本均值，則對于任意i,j(i≠j)，Xi—和Xj一的相關(guān)系數(shù)ρij=___________。正確答案：解析：記μ=E(X)，σ2=D(X)，對任意i，j(i≠j)，因Xi和Xj獨立同分布，故Cov(Xi，Xj)=0且Cov(Xi，)=Cov(Xj，)，因此Cov(Xi—，Xj一)=Cov(Xi，Xj)+Cov()一2Cov(Xi，)=而Xi—和Xj一的方差D(Xi—)=D(Xj—)=Cov(Xj—，Xj一)=Cov(Xj，Xj)+Cov()一2Cov(Xj，)=D(Xj)+D因此，對于任意i，j(i≠j)，可得Xi一和Xj一的相關(guān)系數(shù)知識模塊：隨機變量的數(shù)字特征解答題解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。19．設(shè)隨機變量X與Y相互獨立，且都服從區(qū)間[0，2]上的均勻分布，試求Z=∣X一Y∣的數(shù)學期望與方差。正確答案：如圖4—2所示，(X，Y)的概率密度為f(x，y)=因此E(Z)=E(∣X—Y∣)=∫-∞+∞∫-∞+∞∣x一y∣f(x，y)dxdyE(Z2)=E[(X一Y)2]=∫-∞+∞∫-∞+∞(x一y)2(x，y)dxdy=∫02dx∫02(x一y)2.故D(Z)=E(Z2)一[E(Z)]2=涉及知識點：隨機變量的數(shù)字特征設(shè)隨機變量U在區(qū)間[一2，2]上服從均勻分布。隨機變量試求：20．X和Y的聯(lián)合概率分布；正確答案：根據(jù)已知(X，Y)所有可能的取值為(1，一1)，(一1，1)，(一1，一1)，(1，1)，又U在[一2，2]上服從均勻分布，有P{X=一1，Y=一1}=P{U≤一1，U≤1}=P{U≤一1}=，P{X=一1，Y=1}=P{U≤一1，U＞1}=0，P{X=1，Y=一1}=P{U＞一1，U≤1}=，P{X=1，Y=1}=P{U＞一1，U＞1}=P{U＞1}=。于是得X和Y的聯(lián)合概率分布為特征涉及知識點：隨機變量的數(shù)字21．D(X+Y)。正確答案：由(I)可知X+Y的分布為于是E(X+Y)=一2×=0，E[(X+y)2]=(一2)2×=2，故D(X+Y)=EE(X+Y)2]一[E(X+Y)]2=2。量的數(shù)字特征涉及知識點：隨機變

22．設(shè)兩個隨機變量X，Y相互獨立，都服從N(0，)，求D(∣X—Y∣)。正確答案：令Z=X—Y，則一[E(∣Z∣)]2，而有E(∣Z∣)=,又E(Z2)=D(Z)+[E(Z)]2=1，所以D(∣Z∣)=1—。涉及知識點：隨機變量的數(shù)字特征Z～N(0，1)，故D(∣X—Y∣)=D(∣Z∣)=E(Z2)23．假設(shè)二維隨機變量(X，Y)在區(qū)域D={(x，y)：0＜x＜1，∣y∣＜x}上服從均勻分布，求關(guān)于X的邊緣概率密度函數(shù)及隨機變量Z=2X+1的方差。正確答案：根據(jù)均勻分布的定義，(X，Y)的聯(lián)合概率密度為f(x，y)=因此X的邊緣概率密度函數(shù)為fX(x)=∫-∞+∞f(x，y)dy=則有E(X)=∫-∞+∞xfX(x)dx=∫01x.2xdx=,E(X2)=∫-∞+∞x2fX(x)dx=∫01x2.2xdx=,D(X)=E(X2)一[E(X)]2=故D(Z)=D(2X+1)=4D(X)=涉及知識點：隨機變量的數(shù)字特征24．設(shè)隨機變量X服從二項分布，即X～B(n，p)，證明X的方差D(X)=np(1一p)。正確答案：根據(jù)二項分布的定義Pk=P{X=k}=CnkPk(1一P)n-k，k=0，1，…，n，于是=n(n一1)P2+np。由E(x)=np可得D(X)=E(X2)一[E(X)]2=n(n一1)p2+np一(np)2=np(1一p)。涉及知識點：隨機變量的數(shù)字特征25．設(shè)X與Y是兩個相互獨立的隨機變量，它們的概率密度分別為求D(3X一2Y+1)。正確答案：由X與Y的概率密度可知，X服從參數(shù)為3的指數(shù)分布，Y服從(1，3)上的均勻分布，即X～E(3)，Y～U(1，3)，則D(X)=，所以D(3X一2Y+1)=9D(X)+4D(Y)=9×涉及知識點：隨機變量的數(shù)字特征26．設(shè)二維隨機變量(X，Y)的協(xié)方差矩陣為C=，求ρXY。正確答案：由隨機，變量(X，Y)的協(xié)方差矩陣C=可知，Cov(X，Y)=一3,D(X)=4,D(Y)=9，則ρXY=涉及知識點：隨機變量的數(shù)字特征27．設(shè)A，B為相互獨立的隨機事件，0＜P(A)=P＜1，且A發(fā)生B不發(fā)生與B發(fā)生A不發(fā)生的概率相等，記隨機變量試求X與Y的相關(guān)系數(shù)ρ。正確答案：由題設(shè)知P(A)=P(B)，即P(A—B)=P(B一A)，P(A)一P(AB)=P(B)一P(BA)。故P(A)=P(B)=P，又A與B獨立，所以P(AB)=P(A)P(B)=P2，因為P{XY=1}=P{X=1，Y=1}=P(AB)=P2，從而得X，Y，XY的分布為由E(X)=p，D(X)=p(1一p)；E(Y)=P2，D(Y)=p2(1一p2)，E(XY)=P2，Cov(X，Y)=E(XY)一E(X).E(Y)=p2一p3=p2(1一p)，則有涉及知識點：隨機變量的數(shù)字特征28．隨機地擲6枚骰子，利用切比雪夫不等式估計6枚骰子出現(xiàn)的點數(shù)之

和在15和27之間的概率。正確答案：用Xi(i=1，2，…，