2007高教社杯大學生數(shù)學建模競賽區(qū)評閱編號（由賽區(qū)評閱前進行編號賽區(qū)評閱記錄（可供賽區(qū)評閱時使用統(tǒng)一編號（由賽區(qū)送交前編號評閱編號（由評閱前進行編號A題：口增長預究和預測Logistic模型、Leslie模型、線性回歸模型的優(yōu)缺點，根據(jù)有優(yōu)勢，而回歸模型在短期內(nèi)的精度比較高(3)Leslie模型在1Leslie模型在中長期預測中的優(yōu)回歸模型在短期預測中高精度的特點把第一次預測的三個不同區(qū)間數(shù)據(jù)再次優(yōu)化并用S和7.01軟件進行了二次預測的計算和誤差分析從結(jié)果可2005-20352035年達到峰144119.60.99C最后我們對所建立的兩種模型進行了優(yōu)缺點的分析了模型建立的科學關鍵字：人 綜合分析法逆系統(tǒng)方 預一、問題重，來中國的人口發(fā)展出現(xiàn)了一些新的特點，例如化進程加速、出生人口國的實際情況和人口增長的上特點出發(fā)人口增長做出預測的人口，附件1《國家人口發(fā)展戰(zhàn)略附件2：人口數(shù)據(jù)《口統(tǒng)計年鑒》中的部分數(shù)據(jù)）及其說明附錄1：口統(tǒng)計表建立口增長的數(shù)學模型由此人口增長的中短期和長期趨勢做出預測，并模型中的優(yōu)缺點。二、問題分問題的主要要求是考慮人口增長過程中多方面因素以及在一定時間段里面的變化規(guī)律，選擇適用于短期、中長期預測和精度比較高的模型進行建模計算。說明和分析，人口增長的趨勢。，最后，我們根據(jù)上述的建模過程和求解模型進行討論模型的科學性和，三、模型假假設人口增長過程中不受自然、意外事故等外界因素的影響假設再預測期內(nèi)人口的生存環(huán)境相對穩(wěn)定，即無性和性的四、符號說rx(tt年sxm0

段人口的率

段婦女的率

：Leslie模型中2001年各個段的存活率x(2001)：Leslie模型2001年各個段人口數(shù)目向量w：回歸模型中的女性人口f0ttfm(tt90s00(t)：第t年嬰兒的率si(t)：第t年i歲人口的率sm(t)：第t年90歲以上的人口的率bi(t)：第t年i歲人口的女性率(t)：第t年每個育齡婦女的平均的嬰兒數(shù)ki(tti五、模型的建立與求模型一的建立和分數(shù)據(jù)的預處數(shù)據(jù)選區(qū)我們先選取逐年的率率比例這幾項數(shù)據(jù)，一些參數(shù)的說明，根據(jù)口網(wǎng)有關數(shù)據(jù)表明，2005年的抽樣調(diào)1%1.325%。三種基本模型的比羅吉斯蒂（Logistic）LogisticLogisticrxrx的函數(shù)r(xdxr(x)x，x(0)

對r(x的一個最簡單的假定是，設r(xxr(x)=r-sx r是固有增長率，表示人口很少時的增長率。s得s=r

，于是（2）0dxrx(1x)，x(0)0

方程（3）

1+(xm-1)e-rt

x(t)

1

（其中xm-1=ea x0為了利用的lsqcurvefit函數(shù)對模型的參數(shù)r和xm進行估計，將（3）表示y(t)

xm1

可預測人口數(shù)量（4使用軟件對附錄1數(shù)據(jù)進行非線性回歸擬合和計算，得出以下的回（2）arLogistic

1+e75-0

Leslie根據(jù)不同、等的生長率和率不同，我們把人口整體按大小分為m個組記為i=12…..m為了具體細致分析各個大小的人口參數(shù)，我們設定每個組的時段為一個時間年。我們引入率和率這兩個基本概念，其具體定義如下第t年i歲人口的年率s(t第t年i歲人口的 第t年i歲婦女的 xi1(t1)(1si)xi

記pi1si為i歲人口的存活率，則各個組的人口數(shù)量隨時間變化規(guī)律如 xi1(t1)pixi(t) 再考慮0歲認可的數(shù)量就是個組婦女所的嬰兒數(shù)，即mmx0(t1)xi(t)bi(t)ki

xi1(t1)pixix(t1)x(t)b(t)k

根據(jù)人的生理特征和數(shù)據(jù)資料顯示，婦女的一般在[15,49]之間，以當i[1549]時候，有bi(t0。(t........x(t)

...

... 0 L

... 0 ，L稱為Leslie ... 0x(t1)

x(t0當?shù)趖0x(t0x(t)由本題附表2提供的數(shù)據(jù)整理求得以下數(shù)據(jù)

2001年各個段的率s2001002702001年各個段的存活率p200109732001年各個段的出生率b000 其中L矩陣的第一行表示出生率，其他行非零元素表示各段的存活率2001年各個段的總?cè)藬?shù)為（單位:萬人求出（4：x(t)

x(tx*(t)f

x(t) 計局公布的數(shù)據(jù)，我們?nèi)?987-2005年口各結(jié)構(gòu)數(shù) 率（見附錄1，由數(shù)學軟件SPSS計算輸出圖1：1123：表1ModelRRAdjustedStd.Errorthe1aPredictors:(Constant),W bDependentVariable:P RSquare——復相關系數(shù)AdjustedRSquareStd.ErroroftheEstimate表2：簡單線性回歸模型的方差分析SumMeanF1aPredictors:(Constant),W bDependentVariable:P SumofSquares——平方 MeanSquare——均方Sig.——顯著性水表3：簡單線性回歸模型的回歸系數(shù)分tBStd. WUnstandardizedCoefficients——非標準化的回歸系數(shù)StandardizedCoefficients——標準化的回歸系數(shù)表3顯示，兩個回歸系數(shù)t統(tǒng)計值達到了足夠大，說明回歸模型中回歸系數(shù)著不為0，兩個變量關系的影響是顯著的、不可忽略的由此得到回歸模型是： 用（15）式可進行未來人口預測，結(jié)果見下表41978-2005年三種方法預測結(jié)果比較見表4、表表4實際值（萬Logistic預測值（萬Leslie預測值（萬預測值（萬-----------------------001人口我們整理實際值、Logistic模型預測值、回歸模型預測值的三組數(shù)據(jù)，把數(shù)53：5差值（萬差值（萬差值（萬Leslie相對------------------------------------------------------------------------------------5Logistic模型和回歸模型的誤差數(shù)值和相對誤差進行作圖比較，3：Logistic----45Logistic模型的各項值表示用

1+e75-0

t理論分4523Logistic模型預測的誤差比較大，原因在于隨著時間的推長，人口數(shù)據(jù)變化比較大，回歸系數(shù)r,s誤差也變化大，因此誤差較大且不穩(wěn)定。Leslie模型預測精度介于二者之間，由表4、表5可知式（13x(tLt2001x(2001L變化不大，x(2001)x(2001)L決定，即完全由自身規(guī)律決綜上所述線性回歸模型在短期內(nèi)的較好的預測精度與Leslie在中長應用綜合分析模型進行人口的預測計Leslie模型的理論分析，線性回歸模型在短期內(nèi)、：由于Leslie模型取決于矩陣中的出生率，而存活率主要決定于其他、：家實際的情況取總和率（TFR）為1.8，由附錄數(shù)據(jù)以及參考網(wǎng)絡的取(0,0,0,0.0490, 根據(jù)上面建立的數(shù)學模型中Leslie

x(t)

x(t07.05566：2005-2070（萬（萬（萬（萬----------------Leslie42020年、2020-2035年、2035-2070Leslie我們以2035年的峰值和2020年的轉(zhuǎn)折處為分界點對前后兩部分的散點圖2005~2020年，2020~2035年，2035~2070年，得出2005~2020年 2020~2035年：y=99.88t- 2035~2070年：y=- 72005-2070年的人口增長表（萬（萬（萬--------數(shù)據(jù)誤差分7的二次預測數(shù)據(jù)是在第一次預測數(shù)據(jù)分段進行線性回歸分析，故我我們記2005~2020年的線性函數(shù)為12020~2035年的函數(shù)記為22035~2070年的函數(shù)記為3SPSS898RR表9：簡單線性回歸模型的方差分析平F123123167表10：簡單線性回歸模型的回歸系數(shù)分tBStd.--T--TT---表11：預測值95%置信區(qū)間內(nèi)的值的上、下P1111------------預測結(jié)果的分析說根據(jù)我們預測的人口增長數(shù)據(jù)得出上述的結(jié)果對預測口發(fā)展趨勢預測的結(jié)果顯示在2005--2035但增長率有所減小，在203514393020701200515總?cè)丝跀?shù)變總?cè)丝跀?shù)變化總?cè)丝诙囗検?總?cè)丝跀?shù)0年份（2005-人口隨著率的下降和人口結(jié)構(gòu)的變化人口增長率出現(xiàn)了下降但在203520352005-2070年之間的變化趨勢如下圖所示：6增長4321012345678910111213141516-----年份（2005-增長增長率百分比在2005至2035年這段時間里面，中國的人口一直處于一種增長的狀態(tài)，這增長4321012345678910111213141516-----年份（2005-增長增長率百分比模型優(yōu)缺點評Logistic模型、Leslie模型、線性回歸們利用Leslie模型在中長期人口預測中的科學性預測出口增長中長期的且在模型分析中忽略了一些相關因素，比如化進程加速、出生人口比持模型二的建立和分人口預測參數(shù)的確根據(jù)預測參數(shù)在建模過程中出現(xiàn)的次第特征,人口預測參數(shù)又有第一層次的參數(shù),如率、率和遷移率,在檢驗處理后就可直接進入模型形成模些參變量,需要進一步作出相關的檢驗與設置的一類參數(shù)。如由率參數(shù)而總和率(t) 其中[r1,r2]為育齡區(qū)間，即婦育的段

將育齡婦女按 率規(guī)格化hi(t)bi(t)/

式中b(t)為率，(t)為總和率，模式用以調(diào)整育齡婦女在不2r2段 率高低，滿足hi(t)1。根據(jù) 計年鑒的資料，先模擬出然按齡 育模率立的組。記第t年90歲以上的人口的率為sm(t)，嬰兒的率s00(t)，記第t年i歲人口的率為si(t)預測模型的建根據(jù)上述參數(shù)分析計算可得出以下關于出生率率以及人口增長的各個關系表達式我們使用人口發(fā)展方程將總和（TFR）直接納入模型，hi(hi(t)ki2r2B(t)(t)fi

第t年的人口總數(shù)為sisi(t)f0(t)s00(t)fm(t)smS(t) fi

hi(t)kibi(t)(1s00hi(t)ki

(t)B(t)f0

si(t)

fi(t)fi1(tfi

f0(t)(1s00

fi1(t1)(1si(t))fi(t)（其中 、考慮率率等各方面的約束條件，綜合預測模型的參數(shù)表達式以、 ki(t)hiB(t)ki(t)hi f0(t)(1s00f1(t1)(1s0(t))f0f2(t1)(1s1(t))f1ff(t1)(1

(t))

模型的分析及解法說的系統(tǒng)記為：xy。對于存在的關系年份t（tt0x(t，輸出為y(tx(t0x0y(t)（tt0）y(t)[x0x(t0y

1根據(jù)原系統(tǒng)求出其相應的逆系統(tǒng)yx，算子表達式記為：yyx(t)2由逆系統(tǒng)進一步求出相應的階積分逆系統(tǒng)，并同時確定其初x0，其傳遞關系可記為：:

3由與一起構(gòu)成偽線性系統(tǒng)，其復合系統(tǒng)的關系是x結(jié)合上述逆系統(tǒng)的原理和我們建立的離散模型，我們可以列出下列的階積分(t)[f(t1)A(t)f(t)][B(t)f

f1(t)第t年的各個的人口數(shù)矩陣：f(t)

(t) fm 01s 變量矩陣：A(t) 1s2 1sm1 0

bi2(t)...0 0 B(t)... ... 0

其中i1，i2….指婦階積分逆系統(tǒng)表達式其他參數(shù)均是關于時間年t的數(shù)據(jù)或者關系啟啟載調(diào)數(shù)數(shù)據(jù)接（C該模型的優(yōu)缺散模型在逆系統(tǒng)建立中階積分逆系統(tǒng)數(shù)量表達式，對逆系統(tǒng)的中結(jié)果的計算六、模型評價與推模型的評價模型的推廣 1xtyt是第t年的人口總數(shù)xt是第t年的女性人口，t是第t年的人口出生率t是第t年的人口率，t是化進程加速的速度，t是出生人口比持續(xù)升高速度，t是鄉(xiāng)村人口城鎮(zhèn)化速度，t為隨機擾動項，其他為相應變量的不滯后，并且ii2i3（i=1，2，3 權(quán)重系數(shù)j，對模型進行更加嚴格的預測七、參考文20368-哈斯巴根通遼市未來25年人口預測與分析《內(nèi)師范大學學報，2：248-252，2006梁國業(yè)，數(shù)學建模，：冶金工業(yè)吳建國，數(shù)學建模案例精編,：中國水利水電，2005章原明，Logistic模型的參數(shù)估計《畜牧獸醫(yī)學院學報，第8卷2：47-52孟亮，Bertalanffy模型在人口預測中的運用《河北省學報，213：4-8，2004門可佩、曾衛(wèi)，中國未來50年人口發(fā)展預測研究， /xg125846/blog/item/a8199ec8b76ee1147e3e6fda.楊鳳雅，SPSS在物理實驗數(shù)據(jù)處理中的應用《科技咨詢，第期 10.0高級十二：多元線性回歸與曲線擬合, 趙進文，口總量與GDP總量關系模型研究《口科學200303八、附附錄 口統(tǒng)計表（萬男（萬女（萬（ooo率（ooo比（附錄2：代1Logisticlsqcurvefit函數(shù)擬合代碼：p=[956179754298124100072100863103008103686105851106679109300110163113519115823116498118517119184121121121755123626124218125909126743128453129227129988130628];umnumberoffunctionevaluationsexceeded;increaseoptions.MaxFunEvalsc Formatlong;2LeslieP=[6800.98818.8100009707.58396.31000010000100007880.48729.84783.74336.23698.72654.61630.9806.5304.9L=[0000.00670.26630.29480.09770.02190.00480.001400000