概率論與數(shù)論統(tǒng)計第一部分概率論※隨機事件的運算定律交換律：A∪B=B∪AA∩B=B∩A結(jié)合律：A∪(B∪C)=(A∪B)∪CA∩(B∩C)=(A∩B)∩C分配率：A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∪C)A∪(B∩C)=(A∩B)∪(A∩C)對偶律：A∪B=A∩BA∩B=A∩B鄙人之愚見：如果碰到那種很難從正面理解的事件，試著從對立面翻譯?！鶙l件概率與概率公式1.條件概率公式：P2.乘法公式：P3.全概率公式：P4.貝葉斯公式：P鄙人之愚見：除了第一個以外，其他的都太抽象，強烈建議不要去記他們，而是去做題，不然小心思維混亂。我現(xiàn)在壓根不明白他們是什么意思，但是如果做題的話就會無意中用到?！x散型隨機變量的常見分布1.兩點分布與二項分布X~B(n,p)2.泊松分布若X~B(n,p),當n→∞，X~P(λ),λ=npP(※連續(xù)型隨機變量及其常見分布1.概率密度函數(shù)是分布函數(shù)的導數(shù)，分布函數(shù)是概率密度函數(shù)的可變上限定積分。2.零概率事件并不都是不可能事件，幾乎必然發(fā)生的事件也并不都是必然事件。3.分布函數(shù)的定義域一定是從-∞→∞，值域一定是從0→1，右連續(xù)[P(X)=P(X+0)]，且單調(diào)不減，自己做題要注意。4．分布函數(shù)不僅僅只有離散型和連續(xù)型兩種。5．均勻分布：概率密度函數(shù)滿足fx6.指數(shù)分布：概率密度函數(shù)滿足f(x)λe-λ(x≥0)0(x7.正態(tài)分布：X~ N(μ,?2正態(tài)分布函數(shù)的標準化：一般的正態(tài)分布N(μ,?2)的分布函數(shù)F(x)與標準正態(tài)分布N(0,1)的分布函數(shù)?F(x)=?(x-μ?3?原則：0.68260.95740.99738.對于一般的連續(xù)型隨機變量，有如下定理設(shè)X為連續(xù)型隨機變量，fx（x）為X的概率密度，若y=g(x)為嚴格單調(diào)的連續(xù)函數(shù)，且反函數(shù)x=h(y)有連續(xù)導數(shù)，則Y=g(x)為連續(xù)型隨機變量，且概率密度為fx(y)=fx[若g(x)分段嚴格單調(diào)，對應反函數(shù)hi(y)fx(y)=ifx[(hi(y))*|hi※二維隨機變量的聯(lián)合分布與邊緣分布1.二維隨機變量的分布函數(shù)和概率密度函數(shù)依然擁有一維隨機變量的那些性質(zhì)，只是更麻煩些。要用到二重積分，所以多訓練訓練。2.X，Y的聯(lián)合分布決定邊緣分布，但反之不再成立。如果X,Y相互獨立，則邊緣分布與聯(lián)合分布相互確定。3.邊緣概率密度函數(shù)f4.二維正態(tài)分布(還是看一下會比較好)(1)二維正態(tài)分布中X,Y相互獨立的充要條件是參數(shù)ρ（相關(guān)系數(shù)）=0※連續(xù)型隨機變量之和的分布1.一般地：ff卷積公式：ff2.其他分布(1)瑞利分布:X,Y均服從N(0，σ2)則Xf(2)Max與Min分布：（自己推廣到n個變量的情況）設(shè)隨機變量（X,Y）的分布函數(shù)為F（x,y）,其邊緣分布分別為FX則FMaxF若X，Y相互獨立，有FF若獨立同分布，有F(3)χ2(重點)※獨立性判定我直接給出相互獨立一般的定義了P該式成立，則A1…An相互獨立。但如果這n個事件中任意兩個事件兩兩獨立，并不能說明這n個事件之間相互獨立，這個要注意，別弄錯了。1.兩個事件互不相容與兩個事件獨立不等價，兩個隨機變量不相關(guān)也與它們相互獨立不等價。2.判斷隨機變量X與Y是否相互獨立，看它們某點的聯(lián)合概率或概率密度是否等于它們邊緣概率或概率密度的乘積。3.不能主觀臆斷事件或隨機變量的獨立性，一定要證明一下，最好是從定義入手。表面看似正確的，不一定就是正確的。4.定理(1)若X1…Xn相互獨立，且Y1=定理(2)XY相互獨立，g(x)和h(y)是兩個一元連續(xù)函數(shù)，則g(X)和h(Y)也相互獨立。定理(3)若fx1,…,xn(重點)※期望與方差的性質(zhì)1期望的性質(zhì)(1)一維的：E若Y=g(X),E二維的：EEY=-∞(2)性質(zhì)：E(C)=CE(CX)=CE(X)(C為常數(shù))E(X+Y)=E(X)+E(Y)隨機變量X,Y相互獨立，E(XY)=E(X)E(Y)對于任意兩個隨機變量X,Y都有E2方差的性質(zhì)(1)D(2)性質(zhì)：D(C)=0(C為常數(shù))D(aX+b)=a2D=D特別地，若X，Y獨立，則D3常見隨機變量的期望與方差分布期望方差兩點分布B(1,p)Ppq二項分布B(n,p)NpNpq幾何分布G(λ)1q泊松分布P(λ)λλ超幾何分布H(n,M,N)nMnM均勻分布U[a,b]a+b(b-a)指數(shù)分布E(λ)11正態(tài)分布N(μ,σ2μσχ2分布χN2nt分布t(n)0nF分布F(n1n(n(n2鄙人之陋見：當然我是沒寫全，但還是想提醒一下，去看看期望和方差的一些性質(zhì)的證明吧，看看那些從定義入手的最基礎(chǔ)的方法，做題時可能會用到。(重點)※協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)1獨立一定不相關(guān)，不相關(guān)不一定獨立。它們之間不可互推。但對于二維正態(tài)分布來說，兩者是等價的。2協(xié)方差Cov(X,Y)=E[(X-E(X))(Y-E(Y))]若為離散型：Cov(X,Y)=i若為連續(xù)型：Cov(X,Y)=-∞性質(zhì)：(1)Cov(X,Y)=Cov(Y,X)(2)Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)(3)若X,Y獨立，則Cov(X,Y)=0(4)Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)(5)Cov(X1+X2,Y)=Cov(X3.標準化隨機變量隨機變量X的標準化隨機變量為4.相關(guān)系數(shù)ρ也可寫做為X,Y的標準化協(xié)隨機變量的協(xié)方差性質(zhì)：(1)-1≤ρ≤1(2)|ρ|=1的充要條件，存在常數(shù)a，b(b不等于0)，使P{Y=a+bX}=1即X,Y以概率1線性相關(guān)。5.相關(guān)性對于隨機變量X,Y下列結(jié)論是等價的：(1)X與Y不相關(guān)(3)ρ=0(5)D(X±Y)=D(X)+D(Y)(2)Cov(X,Y)=0(4)E(XY)=E(X)E(Y)X,Y相互獨立可以推出上述五個結(jié)論?！斜妊┓虿坏仁絇=X-EX表明：對于任意正數(shù)ε，當隨機變量X的方差越小時，事件X-EX※大數(shù)定律與中心極限定理1.大數(shù)定理表明：事件的頻率具有穩(wěn)定性（伯努利大數(shù)定理），大量隨機試驗的平均值也具有穩(wěn)定性（切比雪夫大數(shù)定理）。2.中心極限定理表明：大量隨機試驗的和近似服從正態(tài)分布。3.棣莫弗—拉普拉斯定理：X~B(n,p),當n→∞,X-npnp(1-p)~這下當n→∞時，n重伯努利事件的概率分布就有兩個近似分布，一個泊松分布，一個正態(tài)分布。當n很大時，可以用來簡化計算。第二部分數(shù)理統(tǒng)計※統(tǒng)計量統(tǒng)計量是指我們用原始樣本數(shù)據(jù)進行二次加工以后用來更好地直觀反映樣本某些特征的隨機變量（這是我自己的解釋）。比如，樣本均值，中位數(shù)，極差，樣本方差等。統(tǒng)計量一定是不含未知參數(shù)的。以下是我們常用的統(tǒng)計量：樣本均值：X樣本方差：S樣本方差（未修正）：B樣本K階原點矩：A樣本K階中心矩：B※點估計1.矩估計法:我們使用前K階樣本原點矩來表示含k個未知參數(shù)的隨機變量X的前k階原點矩。列出k個方程，解出那k個未知參數(shù)。就叫做用樣本原點矩估計相應的總體原點矩，即μi不過一般的情況下，我們使用樣本均值和樣本方差（未修正）就足夠解題。即設(shè)總體X的均值μ和方差σ2都存在，μ和σ2未知，X1,…,Xn但是矩估計量并不具有唯一性。2.最大似然估計：原理：概率最大的事件最有可能發(fā)生。鄙人之陋見：做選擇，填空時，能用原理取巧就取巧吧。一般求解思路：(1)連乘寫出似然方程、(2)取對數(shù)使似然方程化簡、(3)求簡化后的似然方程的導數(shù)使之等于零、(4)求出最大似然估計值。3.點估計的評價標準：(1)無偏性：估計值的均值應該要等于真值若(X1X2鄙人之陋見：還是那句話，從最基礎(chǔ)的概念和式子入手。(2)有效性：無偏估計量的方差越小越有效(3)一致性：當n趨近于無窮時，估計量趨近于真值。※χ21.正態(tài)分布X,Y只有在滿足相互獨立的前提下進行X±Y才會是一個正態(tài)分布。且X±Y~N(2.χ2分布:設(shè)X1,X2,…,Xn是且若隨機變量X1,X2相互獨立，3.t分布:設(shè)X~N(0,1)，Y~χ2(n)，且X,Y相互獨立T=X4.且若隨機變量X1,X2相互獨立，X1~χ2(n1)※分位點設(shè)X為連續(xù)型隨機變量，對于給定的α(0<α<1)，稱滿足P的值xα為X的概率分布的上αP的值xα2，(重點)※常用的正態(tài)總體、區(qū)間估計、假設(shè)性檢驗1.設(shè)X1,X2,…,Xn是來自于正態(tài)總體X~N(μ(1)Z=X-μ(2)X與S2相互獨立且(n-1)S(3)T=X-μ2.設(shè)X1,X2,…,(1)X(2)S123.區(qū)間估計（給定置信度1-α）類型條件樣本函數(shù)置信區(qū)間均值估計σ2Z=X（X±σ2T=X（X±方差估計μ未知(n-1)(n-1)均值差估計均值差估計σ1XXσ1XXS方差比估計μ1SS4.假設(shè)檢驗（給定顯著性水平α）(1)σ2已知：取檢驗統(tǒng)計量Z=X-雙邊假設(shè)：H0:μ單邊假設(shè)：H0:H0:(2)σ2未知：取檢驗統(tǒng)計量T=X-雙邊假設(shè)：H0:單邊假設(shè)：H0:H0:(3)μ未知：取檢驗統(tǒng)計量χ2=(n-1)S雙邊假設(shè)：H0:或χ單邊假設(shè)：H0:H0:(4)σ12,σ22已知：取檢驗統(tǒng)計量雙邊假設(shè)：H0:單邊假設(shè)：H0:H0:(5)σ12,