正弦定編稿：審稿：【學(xué)習(xí)目標(biāo)【要點(diǎn)梳理要點(diǎn)一、學(xué)過(guò)的三角形ABCA、B、Ca、b、cABC1800BCbc；BCbc；acbacbRtABCC900（1）BA900（2）a2b2 sinA ，sinB ，sinC1 cosAb，cosBa，cosC 要點(diǎn)二、正弦定理及其直角三角形中的正弦定理的推導(dǎo)

asin

sin

sin 證明：sinA ，sinB ，sinC1 即：c ，c ，c sin

sin

sina∴sin

sin

sin法一：向量當(dāng)ABCAjACACCBjjACjCBjjACjCBj∴∴|j||AC|cos900|j||CB|cos(90C)|j||AB|cos(90A)∵jAC0，|j|1，|CB|a，|AB|c，

C)sinC，

A)sin

sin

，sin同理：若過(guò)Cj垂直于CB

sin

sin sin sin sin當(dāng)ABC設(shè)A90，過(guò)A作單位向量j垂直于向量AC

sin

sin sin法二：構(gòu)造直角三角當(dāng)ABCAB邊上的高線CDABD，則RtACD中

sinB，即CDasinBaCDsinA,即CDbsinAb asinBbsinA

sin

sin

sin

sin∴ sin sin sin當(dāng)ABCAB邊上的高線CDABD，則RtCBD中

CDsinB，即CDasinBaRtACD中

CDb

A,即CDbsin(180oAbsinA∴asinBbsinA，即

sin

sinsin sin∴ sin sin sin法三：圓轉(zhuǎn)當(dāng)ABCO是ABCAD2R，則CDc∴sinCsinD cc2R （R為ABC的外接圓半徑csina同理：2R ，2Rasin

sin故 sin sin sin當(dāng)ABCa如圖，sinAsinEsinF a法四：面積任意斜ABC中，如圖作CHAB，則CHACsin

1ABCH1ABACsinA1bcsin SABC2absinCSABC2acsin SABC2absinC2acsinB2bcsinA，1abc2

sin

sin

sin要點(diǎn)詮釋

sin

sin

sin

2R（R為ABC的外接圓半徑①已知兩個(gè)角及任意—在三角形中，由已知三角形的某些邊和角，求其他的邊和角的過(guò)程叫作解三角形要點(diǎn)四、正弦定理在解三角形中的利用正弦定理，可以解決以下兩類有關(guān)三角形的問(wèn)題a，b和ABabsinbsinAabsinAaA

aAa

判斷三角形（1）（2）關(guān)系，主要有：(1)兩角是否相等？(2)三個(gè)角是否相等？（3）要點(diǎn)詮釋：對(duì)于求解三角形的題目，一般都可有兩種思路。但要注意方法的選擇，同時(shí)要注意對(duì)解【典型例題類型一：正弦定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用【課堂：正弦定理例11．已知在ABCc10A

，C

abacsinacsin sin10sin4510sin45sin2 ∴ sin(AC)(AC)c又sin

sin6 csin 6 6∴b 20sin75 6

52sin sin 舉一反三1】ABCA3

，BC＝3，則ABC的周長(zhǎng)為（

A．43sinB

B．43sinB 3C．6sinB

D．6sinB 3

6

3

63【答案】由正弦定理得

b b b ，

sin

sin

sinBsin

sinBsin(2得bc＝

3 3sinBin B＝6sin(B )．故三角形的周長(zhǎng)為：3bc6sinB

36【總結(jié)升華】由于本題是選擇題也可取△ABCB＝，周長(zhǎng)應(yīng)為6

332】在ABCB750C600c5aAA1800BC1800750600450 5根據(jù)正弦定理sin45osin60o，∴a 3【變式3】 岳陽(yáng)校級(jí)模擬改編）在ABC中，A:B:C=1:2:3,則a:b:c等于 【答案】在ABC中，若A：B：C=123，又AB 所以A ，B ，C abcsinAsinBsinC1:32.例2．在ABC中，b 3,B60,c1，求：a和A，C 【解析】由正弦定理得 sin sin1csin 1sin13∴sinC 3 CC

，∴C

或C150當(dāng)C

BC

（當(dāng)C

時(shí)，A90，∴a

2b2（方法二）∵bc，B60，∴Cb2∴C

即C為銳角，C

，Ab2∴ab2在利用正弦定理求角C時(shí)，因?yàn)閟inCsin(1800C，所以要依據(jù)題意準(zhǔn)確確定角C的范圍，再求出角C.舉一反三【課堂：正弦定理例36【變式1】在ABC中，c 6

A

a2，求bBCa【答案】 a

csin ，∴sin

6sin45 3sin

sin

∵0C180 ∴C60或C6sin75sin3∴當(dāng)C60B75b6sin75sin36sin156sin15sin3

1∴當(dāng)C

B15bcsinBsin

3,C3,C6所以，b 1,B 或b3,C3,C62】在ABCB

，a14

b

,求A【答案】由正弦定理，得sinA

14sin6007272.ab AB，即0A∴A類型二：正弦定理的綜合運(yùn)例3. 湖南高考）設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，abtanA，且B為(1)BA2求sinAsinC的取值范圍。292（2（ ，+A（2）2以及三角恒等變形，將sinAsinCA有關(guān)的表達(dá)式，再利用三角函數(shù)的性質(zhì)即可求解sin sin a=btaA

,所以inB=coiA，即inB=in（cos sin 又B為鈍角，因此+A（，A，故 由（I）知，C=-（A+B）-(2A+-2A>0，所以A0inA+inC=inA+n（ 4 22-2A）=inA+coi2A=-2sin2A+inA+1=-（inA-1）2+9，因?yàn)?<A<,所以0<in ,因 <-22 1 4sinA 4 292由此可知inA+inC的取值范圍是 ，舉一反三【變式1】 新課標(biāo)Ⅱ文）△ABC中D是BC上的點(diǎn),AD平分sin sin若BAC60,求B【答案】（Ⅰ）

sin

因?yàn)锳DBD=2DCsinBDC1sin 所以sinCsinBACB

由（）2inB=inC所以3tanB 33 2（Ⅱ）若coi ，求coiC的值3【答案】（1）由正弦定理得sinBsinC2sinAcosB故2sinAcosBsinB sinBsin(ABAB(0,，故0ABBABBABA（舍去）A2B，A2B.2（2）由cosB ，得sinB 5，cos2B2cos2B112 故cosA ，sinA cosCcos(AB)【課堂：正弦定理例523ABC2

6 6 sin

asin

sin

asinAsina 2所以sinAsin sin22從而ab 6)[sinAsin(1502266

6)2sin75cos(75A)23 2)2cos(7523

6)2

6 2cos(7546a+b的最大值為6

2)28類型三：利用正弦定理判斷三角形的形4.在ABC中，若tanAtanBa2b2試判斷ABC

sinAcoscosA