機(jī)械陀螺的力學(xué)基礎(chǔ)第1頁，共38頁，2023年，2月20日，星期一慣性系統(tǒng)的兩個(gè)基本的組成部件：陀螺加速度計(jì)慣性技術(shù)中的許多問題可視為剛體繞定點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)。所以，我們首先需要以力學(xué)知識(shí)為基礎(chǔ)，在運(yùn)動(dòng)學(xué)上給予適當(dāng)?shù)拿枋觥５?頁，共38頁，2023年，2月20日，星期一第二章力學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)2.1 定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)剛體角位置的表示方法2.2 慣性技術(shù)中常用的坐標(biāo)系2.3 動(dòng)量矩、動(dòng)量矩定理及歐拉動(dòng)力學(xué)方程2.4 哥氏加速度、絕對加速度與比力方程第3頁，共38頁，2023年，2月20日，星期一2.1 定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)剛體角位置的表示方法2.1.1 定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的自由度自由度：確定物體在某坐標(biāo)系中位置所需的獨(dú)立坐標(biāo)數(shù)目。一個(gè)物體在空間運(yùn)動(dòng)共有六個(gè)自由度，即3個(gè)位移自由度，3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度。第4頁，共38頁，2023年，2月20日，星期一陀螺的自由度：自轉(zhuǎn)軸可繞其自由旋轉(zhuǎn)的正交軸的數(shù)目。試給出下列陀螺的自由度數(shù)目：2.1 定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)剛體角位置的表示方法第5頁，共38頁，2023年，2月20日，星期一2.1.2 用方向余弦描述定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角位置2.1 定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)剛體角位置的表示方法第6頁，共38頁，2023年，2月20日，星期一xyzRijki,j,k為單位矢量由圖可得其中，空間矢量的分解2.1 定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)剛體角位置的表示方法第7頁，共38頁，2023年，2月20日，星期一o空間坐標(biāo)系，繞任一軸旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度后到達(dá)新的位置，即有新的坐標(biāo)系。將新坐標(biāo)系三個(gè)坐標(biāo)軸分別投影到原坐標(biāo)系中的三軸上，即2.1 定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)剛體角位置的表示方法第8頁，共38頁，2023年，2月20日，星期一進(jìn)而，可化為矩陣形式：即稱為由坐標(biāo)系到坐標(biāo)系的方向余弦矩陣。o2.1 定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)剛體角位置的表示方法第9頁，共38頁，2023年，2月20日，星期一方向余弦矩陣是

，具有以下性質(zhì)：兩個(gè)方向余弦矩陣互為轉(zhuǎn)置矩陣:兩個(gè)方向余弦矩陣互為可逆矩陣:方向余弦矩陣的轉(zhuǎn)置陣與可逆陣相等:因而可以得到矩陣等式：2.1 定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)剛體角位置的表示方法正交矩陣第10頁，共38頁，2023年，2月20日，星期一2.1.3 用歐拉角描述定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的位置剛體坐標(biāo)系相對參考坐標(biāo)系的角位置，可用三次獨(dú)立轉(zhuǎn)動(dòng)的三個(gè)轉(zhuǎn)角來確定，即歐拉法。這三個(gè)獨(dú)立的轉(zhuǎn)角即歐拉角。第一種歐拉角2.1 定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)剛體角位置的表示方法第11頁，共38頁，2023年，2月20日，星期一最終得到0系與r系的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換關(guān)系：最早的轉(zhuǎn)動(dòng)矩陣放在最右邊具體表達(dá)式是2.1 定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)剛體角位置的表示方法第12頁，共38頁，2023年，2月20日，星期一第二種歐拉角2.1 定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)剛體角位置的表示方法第13頁，共38頁，2023年，2月20日，星期一最終得到0系與r系的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換關(guān)系：最早的轉(zhuǎn)動(dòng)矩陣放在最右邊具體表達(dá)式是：2.1 定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)剛體角位置的表示方法第14頁，共38頁，2023年，2月20日，星期一第二章力學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)2.1 定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)剛體角位置的表示方法2.2 慣性技術(shù)中常用的坐標(biāo)系2.3 動(dòng)量矩、動(dòng)量矩定理及歐拉動(dòng)力學(xué)方程2.4 哥氏加速度、絕對加速度和比力方程第15頁，共38頁，2023年，2月20日，星期一2.2.1慣性參考坐標(biāo)系（i系）慣性坐標(biāo)系即滿足牛頓力學(xué)定律的坐標(biāo)系，一般取地球球心為原點(diǎn)。2.2 慣性技術(shù)中常用坐標(biāo)系第16頁，共38頁，2023年，2月20日，星期一2.2.2 地球坐標(biāo)系（e系）原點(diǎn)在地心，z軸沿地軸方向，x、y軸在赤道平面內(nèi)，x軸指向零度子午線，y軸指向東經(jīng)90度。坐標(biāo)系與地球固連。2.2 慣性技術(shù)中常用坐標(biāo)系第17頁，共38頁，2023年，2月20日，星期一2.2.3 地理坐標(biāo)系（t系）原點(diǎn)位于載體在地球變面的位置點(diǎn)（或在地表的投影點(diǎn)），x軸沿當(dāng)?shù)刂笘|，y軸指北。載體相對地球的運(yùn)動(dòng)會(huì)使地理坐標(biāo)系相對地球坐標(biāo)系轉(zhuǎn)動(dòng)，它包括兩部分：1.地理坐標(biāo)系相對地球坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度；2.地球坐標(biāo)系相對慣性坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度。2.2 慣性技術(shù)中常用坐標(biāo)系第18頁，共38頁，2023年，2月20日，星期一2.2.4 地平坐標(biāo)系（n系）原點(diǎn)位于載體所在點(diǎn)，x、y軸在當(dāng)?shù)厮矫鎯?nèi)，y軸沿載體航向方向，z軸沿當(dāng)?shù)卮咕€向上。2.2 慣性技術(shù)中常用坐標(biāo)系第19頁，共38頁，2023年，2月20日，星期一2.2.5 載體坐標(biāo)系（b系）原點(diǎn)與載體質(zhì)心重合，x軸沿載體橫軸向右，y軸沿載體縱軸向前，z軸與之形成右手坐標(biāo)系。2.2 慣性技術(shù)中常用坐標(biāo)系第20頁，共38頁，2023年，2月20日，星期一2.2.5陀螺坐標(biāo)系xyz

O第21頁，共38頁，2023年，2月20日，星期一第二章力學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)2.1 定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)剛體角位置的表示方法2.2 慣性技術(shù)中常用的坐標(biāo)系2.3 動(dòng)量矩、動(dòng)量矩定理及歐拉動(dòng)力學(xué)方程2.4 哥氏加速度、絕對加速度和比力方程第22頁，共38頁，2023年，2月20日，星期一2.3.1 定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)量矩繞定點(diǎn)o轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體內(nèi)所有質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量對o點(diǎn)之矩的和，稱為剛體對該點(diǎn)的動(dòng)量矩。表達(dá)式為又因?yàn)楣剩?.3 動(dòng)量矩、動(dòng)量矩定理及歐拉動(dòng)力學(xué)方程第23頁，共38頁，2023年，2月20日，星期一剛體質(zhì)點(diǎn)的和可在動(dòng)坐標(biāo)系下分解為同樣地，動(dòng)量矩在動(dòng)坐標(biāo)系下可分解為2.3 動(dòng)量矩、動(dòng)量矩定理及歐拉動(dòng)力學(xué)方程第24頁，共38頁，2023年，2月20日，星期一當(dāng)動(dòng)坐標(biāo)系的各軸與剛體的慣性主軸重合時(shí)，剛體對各動(dòng)坐標(biāo)系的慣量積都等于零。此時(shí)，定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)剛體動(dòng)量矩表達(dá)式可簡化為2.3 動(dòng)量矩、動(dòng)量矩定理及歐拉動(dòng)力學(xué)方程第25頁，共38頁，2023年，2月20日，星期一2.3.2 動(dòng)量矩定理將動(dòng)量矩表達(dá)式對時(shí)間求一階導(dǎo)數(shù)，等式最右邊第一項(xiàng)為零。第二項(xiàng)表示外力對o點(diǎn)的力矩和，用表示。故有這就是矢量形式的動(dòng)量矩定理：2.3 動(dòng)量矩、動(dòng)量矩定理及歐拉動(dòng)力學(xué)方程第26頁，共38頁，2023年，2月20日，星期一動(dòng)量矩定理表明：剛體對任一定點(diǎn)的動(dòng)量矩對時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，等同于繞同一點(diǎn)作用于剛體的外力矩。注意：動(dòng)量矩的變化率是以慣性坐標(biāo)系為參考系動(dòng)量矩定理另一種表達(dá)將看成動(dòng)量矩矢量端點(diǎn)的速度，即于是，動(dòng)量矩定理又可寫成定理表明：剛體對定點(diǎn)的動(dòng)量矩的矢量速度，等于繞同一點(diǎn)作用于剛體的外力矩。2.3 動(dòng)量矩、動(dòng)量矩定理及歐拉動(dòng)力學(xué)方程第27頁，共38頁，2023年，2月20日，星期一2.3.3 剛體定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的歐拉動(dòng)力學(xué)方程剛體動(dòng)量矩在動(dòng)坐標(biāo)系中可表示為慣性系中動(dòng)量矩對時(shí)間求導(dǎo)： 動(dòng)坐標(biāo)系中動(dòng)量矩對時(shí)間求導(dǎo)：剛體定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的歐拉方程，實(shí)際即為動(dòng)量矩定理在動(dòng)坐標(biāo)系中的表述。2.3 動(dòng)量矩、動(dòng)量矩定理及歐拉動(dòng)力學(xué)方程第28頁，共38頁，2023年，2月20日，星期一容易看出所以有最后可以寫出動(dòng)量矩的絕對導(dǎo)數(shù)和相對導(dǎo)數(shù)的關(guān)系：根據(jù)動(dòng)量矩定理，可得這就是矢量形式的歐拉動(dòng)力學(xué)方程2.3 動(dòng)量矩、動(dòng)量矩定理及歐拉動(dòng)力學(xué)方程第29頁，共38頁，2023年，2月20日，星期一沿動(dòng)坐標(biāo)系各軸投影，可以得到：動(dòng)系各軸與剛體慣性主軸重合時(shí)，進(jìn)一步得到：2.3 動(dòng)量矩、動(dòng)量矩定理及歐拉動(dòng)力學(xué)方程第30頁，共38頁，2023年，2月20日，星期一第二章力學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)2.1 定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)剛體角位置的表示方法2.2 慣性技術(shù)中常用的坐標(biāo)系2.3 動(dòng)量矩、動(dòng)量矩定理及歐拉動(dòng)力學(xué)方程2.4 哥氏加速度、絕對加速度和比力方程第31頁，共38頁，2023年，2月20日，星期一2.4.1 哥氏（Coriolis）加速度產(chǎn)生分析2.4 哥氏加速度、絕對加速度與比力方程1、使相對速度方向改變的加速度：2、使?fàn)窟B速度方向改變的加速度：（向心加速度）3、使?fàn)窟B速度大小改變的加速度：第32頁，共38頁，2023年，2月20日，星期一2.4.1 哥氏（Coriolis）加速度哥氏加速度是由于相對運(yùn)動(dòng)和牽連運(yùn)動(dòng)相互影響而形成的哥氏加速度一般表達(dá)式：2.4 哥氏加速度、絕對加速度與比力方程第33頁，共38頁，2023年，2月20日，星期一2.4.2 絕對加速度的表達(dá)式（哥氏定理）由圖，可以寫出位置矢量方程在慣性系中，對時(shí)間求一階導(dǎo)其中所以，2.4 哥氏加速度、絕對加速度與比力方程第34頁，共38頁，2023年，2月20日，星期一對時(shí)間再次求導(dǎo)，有又因?yàn)樽罱K得到載體絕對加速度的表達(dá)式：2.4 哥氏加速度、絕對加速度與比力方程當(dāng)動(dòng)點(diǎn)的牽連運(yùn)動(dòng)為轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的絕對加速度應(yīng)等于相對加速度、牽連加速度與哥氏加速度的矢量和：第35頁，共38頁，2023年，2月20日，星期一2.4.3 比力方程慣導(dǎo)系統(tǒng)中，加速度是由加速度計(jì)測量的。加速度計(jì)實(shí)際測量點(diǎn)不是載體的加速度，而是比力。其中，a為載體的絕對加速度，G為引力加速度。2.4 哥氏加速