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第第頁含參不等式恒成立問題求解策略

自寫論文

含參不等式恒成立問題的四大策略

山東省平度第一中學(xué)宋同海

聯(lián)系電話箱:649265828@

以含參不等式“恒成立”為載體，鑲嵌函數(shù)、方程、不等式、導(dǎo)數(shù)等內(nèi)容，是近年高考中的一個熱點(diǎn)內(nèi)容.解決含參不等式恒成立問題的關(guān)鍵是“轉(zhuǎn)化與化歸思想”的應(yīng)用.從解題策略的角度看,一般而言,有如下四種策略.

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解析：將原不等式整理為形式上是關(guān)于ａ的不等式x3ax26x90，令f(a)＝x3ax26x9，因?yàn)閒(a)0在a１時恒成立，所以

（１）若x3，則f(a)0不符合題意，應(yīng)舍去。

（２）若x3，則由一次函數(shù)的單調(diào)性f(1)0，即f(1)0

x27x120,解得x2或x4.2x5x60

策略三：轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖像之間的關(guān)系，數(shù)形結(jié)合求參數(shù)

若不等式兩邊的圖像容易畫出時，恒成立的代數(shù)問題立即變得直觀化，數(shù)形結(jié)合可使解題過程簡單、快捷。數(shù)形結(jié)合法通常用到如下性質(zhì)：

（1）f(x)g(x)函數(shù)f(x)圖象恒在函數(shù)g(x)圖象上方；

（2）f(x)g(x)函數(shù)f(x)圖象恒在函數(shù)g(x)圖象下上方。

典例３.當(dāng)x(1,2)時，不等式(x-1)logax恒成立，求a的取值范圍。2

解析：若將不等號兩邊分別設(shè)成兩個函數(shù)，則左邊為二次函數(shù)，右邊為對數(shù)函數(shù)，故可以采用數(shù)形結(jié)合借助圖象位置關(guān)系通過特指求解a的取值范圍。

2設(shè)T1:f(x)=(x1),T2:g(x)logax,則T1的圖象為右圖所示的拋物線，要使對一切x(1,2),f(x)g(x)恒

成立即T1的圖象一定要在T2的圖象所的下方，顯然a1,

并且必須也只需g(2)f(2)

故loga21,a1,1a2.策略四：聯(lián)系不等式、函數(shù)、方程，轉(zhuǎn)化為方程根的分布問題

典例4.已知x0，則m的取值范圍是：

+時，不等式9m3m10恒成立，xx

A.2m2m2

C.m2

m2

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解析：令t3x(t1),則由已知得函數(shù)f(t)=t2mtm1的圖像在

t(1,)上恒在x軸的上方，則對于方程f(t)=0有=(-m)24(m1)00m或1解得m2C

2

f(1)1mm10

易錯提示：本題利用換元法簡化了運(yùn)算，但需要注意換元后自變量的取值范圍。

結(jié)論：上述例

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