第5章控制系統(tǒng)的頻域分析第一頁，共四十五頁。引言1.為什么要對系統(tǒng)進行頻域分析？時域分析法的不足：從微分方程或傳遞函數(shù)角度求解系統(tǒng)的時域響應（和性能指標），計算量大，對于高階系統(tǒng)十分不便，甚至難以確定解析解。頻域分析法:是一種間接的研究控制系統(tǒng)性能的工程方法。它研究系統(tǒng)的依據(jù)是頻率特性，因此頻率特性是控制系統(tǒng)的又一種數(shù)學模型。第二頁，共四十五頁。2.頻率響應、頻率特性和頻域分析法

在正弦輸入信號作用下，系統(tǒng)輸出的穩(wěn)態(tài)分量稱為頻率響應。（控制系統(tǒng)中的信號可以表示為不同頻率正弦信號的合成）系統(tǒng)頻率響應和正弦輸入信號之間的關系稱為頻率特性，它和傳遞函數(shù)一樣表示了系統(tǒng)或環(huán)節(jié)的動態(tài)特性?？刂葡到y(tǒng)的頻率特性反映正弦輸入下系統(tǒng)響應的性能。研究其的數(shù)學基礎是Fourier變換。利用系統(tǒng)頻率特性分析和綜合控制系統(tǒng)的方法稱為頻域分析法。第三頁，共四十五頁。3.頻域分析法的優(yōu)點

(1)物理意義明確。對于一階系統(tǒng)和二階系統(tǒng)，頻域性能指標和時域性能指標有明確的對應關系；對于高階系統(tǒng)，可建立近似的對應關系。

(2)可以用試驗方法求出系統(tǒng)的數(shù)學模型，易于研究機理復雜或不明的系統(tǒng)；也適用于某些非線性系統(tǒng)。

(3)可以根據(jù)開環(huán)頻率特性研究閉環(huán)系統(tǒng)的性能，無需求解高次代數(shù)方程。這一點，與根軌跡法有異曲同工之妙，只是前者的自變量是頻率ω，而后者的參數(shù)一般是開環(huán)增益K。

(4)能較方便地分析系統(tǒng)中的參量對系統(tǒng)動態(tài)響應的影響，從而進一步指出改善系統(tǒng)性能的途徑。

(5)采用作圖方法，計算量小，且非常直觀。

第四頁，共四十五頁。4.時域分析法與頻域分析法的比較(1)時域分析法是分析控制系統(tǒng)的直接方法，比較直觀、精確。(2)頻域分析法是一種工程上廣為采用的分析和綜合系統(tǒng)的間接方法。(3)頻域分析法是一種圖解分析法。它依據(jù)系統(tǒng)的又一種數(shù)學模型——頻率特性，對系統(tǒng)的性能，如穩(wěn)定性、快速性和準確性進行分析。

第五頁，共四十五頁?！?.1頻率特性引例——RC電路

對于圖示RC電路，其傳遞函數(shù)為

式中，τ=RC

。RC電路5.1.1頻率特性概述第六頁，共四十五頁。設輸入電壓為正弦信號，其時域和復域描述為所以有將其進行拉氏反變換第七頁，共四十五頁。uo(t)表達式中第一項是暫態(tài)分量，第二項是穩(wěn)態(tài)分量。顯然上述RC電路的穩(wěn)態(tài)響應為結(jié)論：當電路輸入為正弦信號時，其輸出的穩(wěn)態(tài)響應（頻率響應）也是一個正弦信號，其頻率和輸入信號相同，但幅值和相角發(fā)生了變化，其變化取決于ω。第八頁，共四十五頁。若把輸出的穩(wěn)態(tài)響應和輸入正弦信號用復數(shù)表示，并求其復數(shù)比，可以得到

式中頻率特性G(jω)：上述電路的穩(wěn)態(tài)響應與輸入正弦信號的復數(shù)比，且G(jω)=G(s)|s=jω

。幅頻特性A(ω)：輸出信號幅值與輸入信號幅值之比。相頻特性(ω)：輸出信號的相角與輸入信號的相角之差。第九頁，共四十五頁。

設線性定常系統(tǒng)輸入信號為r(t)，輸出信號c(t)，如圖5-1所示。

圖中，G(s)為系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。

即

(n≥m)（5-1）

圖5-1線性定常系統(tǒng)圖5-1線性定常系統(tǒng)2.一般n階控制系統(tǒng)在正弦信號作用下的穩(wěn)態(tài)輸出第十頁，共四十五頁。

若在系統(tǒng)輸入端作用一正弦信號，即

r(t)=Rsinωt

（5-2）

系統(tǒng)輸出C(s)為

（5-3）

第十一頁，共四十五頁。設傳遞函數(shù)G(s)可表示成極點形式

（5-4）

-p1、-p2…-pn為G(s)的極點，其可以為實數(shù)，也可為復數(shù)，并且假定其均在根平面的左半平面，即系統(tǒng)是穩(wěn)定的。第十二頁，共四十五頁。由式(5-3)及(5-4)得輸出為

（5-5）

式中,,,,…

為待定系數(shù)，由留數(shù)定理求得第十三頁，共四十五頁。由拉普拉斯反變換得輸出響應第十四頁，共四十五頁。

對于穩(wěn)定系統(tǒng)，當t→∞時，（i=1,2,…,n）均隨時間衰減至零。此時系統(tǒng)響應的穩(wěn)態(tài)值為:

（5-6）

和為共軛復數(shù)，可表示為第十五頁，共四十五頁。則

（5-7）式中，第十六頁，共四十五頁。結(jié)論：式（5-7）表明，線性定常系統(tǒng)在正弦信號作用下，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出將是與輸入信號同頻率的正弦信號，僅僅是幅值和相位不同，幅值，相位，均是頻率ω的函數(shù)。第十七頁，共四十五頁。定義：線性定常系統(tǒng)在正弦信號作用下，穩(wěn)態(tài)輸出的復變量與輸入的復變量之比稱為系統(tǒng)的頻率特性，記為G(jω)

（5-8）

其中穩(wěn)態(tài)輸出與輸入的幅值之比稱為系統(tǒng)的幅頻特性。記為A(ω)，即（5-9）第十八頁，共四十五頁。穩(wěn)態(tài)輸出與輸入的相位差稱為系統(tǒng)的相頻特性，記為

(ω)，即

(ω)=∠G(jω)

（5-10）

頻率特性還可表示為

G(jω)=p(ω)+jθ(ω)式中p(ω)——為G(jω)的實部，稱為實頻特性；

θ(ω)——為G(jω)的虛部，稱為虛頻特性。第十九頁，共四十五頁。顯然有（5-11）

需要指出，當輸入為非正弦的周期信號時，其輸入可利用傅立葉級數(shù)展開成正弦波的疊加，其輸出為相應的正弦波的疊加。此時系統(tǒng)頻率特性定義為系統(tǒng)輸出量的傅氏變換與輸入量的傅氏變換之比。

第二十頁，共四十五頁。

5.1.2頻率特性的求取

由頻率特性概念知，頻率特性G(jω)是傳遞函數(shù)的一種特例，即將傳遞函數(shù)中的復變量s換成純虛數(shù)jω就得到系統(tǒng)的頻率特性。

G(jω)=G(s)（5-12）例5-1

已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為解：令s=jω得系統(tǒng)的頻率特性

或第二十一頁，共四十五頁。幅頻特性:

相頻特性:

實頻特性:

虛頻特性:

幅頻特性和相頻特性隨ω變化的曲線如圖5-2所示。第二十二頁，共四十五頁。圖5-2A(ω)和φ(ω)曲線

第二十三頁，共四十五頁。例題2已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為，求頻率特性。解：第二十四頁，共四十五頁。

與時域響應中衡量系統(tǒng)性能采用時域性能指標類似，頻率特性在數(shù)值上和曲線形狀上的特點，常用頻域性能指標來衡量，它們在很大程度上能夠間接地表明系統(tǒng)動靜態(tài)特性。

系統(tǒng)的頻率特性曲線如圖5-3所示。1.諧振頻率

是幅頻特性A(ω)出現(xiàn)最大值時所對應的頻率；2.諧振峰值

指幅頻特性的最大值。值大，表明系統(tǒng)對頻率的正弦信號反映強烈，即系統(tǒng)的平穩(wěn)性差，階躍響應的超調(diào)量越大；

5.1.3頻域性能指標第二十五頁，共四十五頁。圖5-3頻率特性曲線

第二十六頁，共四十五頁。3.頻帶

指幅頻特性A(ω)的幅值衰減到起始值的0.707倍所對應的頻率。大，系統(tǒng)復現(xiàn)快速變化信號的能力強、失真小。即系統(tǒng)的快速性好，階躍響應的上升時間短，調(diào)節(jié)時間短；4.A(0)指零頻(ω=0)時的幅值。A(0)表示系統(tǒng)階躍響應的終值，A(0)與1相差的大小，反映了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度，A(0)越接近于1，系統(tǒng)的精度越高。返回第二十七頁，共四十五頁。關于頻率特性的幾點說明：頻率特性不只是對系統(tǒng)而言，其概念對控制元件、部件等均適用。頻率特性只適用于定常模型，否則不能用拉氏變換求解，也不存在這種穩(wěn)態(tài)對應關系。前面在推導頻率特性時假設系統(tǒng)穩(wěn)定。如果系統(tǒng)不穩(wěn)定，則動態(tài)過程c(t)最終不可能趨于穩(wěn)態(tài)振蕩cs(t)。但理論上推導動態(tài)過程時，它的穩(wěn)態(tài)分量總可以分離出來，而且其規(guī)律性不依賴于系統(tǒng)的穩(wěn)定性。因此將頻率特性的概念擴展為LTI系統(tǒng)正弦輸入作用下，輸出穩(wěn)態(tài)分量和輸入的復數(shù)比。第二十八頁，共四十五頁。由頻率特性的表達式G(jω)可知，其包含了系統(tǒng)或元部件的全部結(jié)構(gòu)和參數(shù)。故盡管頻率特性是一種穩(wěn)態(tài)響應，而動態(tài)過程的規(guī)律性必將寓于其中。所以頻域分析法就是運用穩(wěn)態(tài)的頻率特性間接研究系統(tǒng)的動態(tài)響應，從而避免了直接求解高階微分方程的困難。穩(wěn)定系統(tǒng)的頻率特性可由實驗方法確定。穩(wěn)定系統(tǒng)的頻率特性為輸出信號的傅氏變換與輸入信號的傅氏變換之比，這是頻率特性的物理意義。(ω)大于零時稱為相角超前，小于零時稱為相角滯后。第二十九頁，共四十五頁?？刂葡到y(tǒng)微分方程傳遞函數(shù)頻率特性s=ps=jωjω=p頻率特性、傳遞函數(shù)和微分方程三種系統(tǒng)描述之間的關系

頻率特性與微分方程和傳遞函數(shù)一樣，也表征了系統(tǒng)的運動規(guī)律，成為系統(tǒng)頻域分析的理論依據(jù)。

第三十頁，共四十五頁。在工程分析和設計中，通常把線性系統(tǒng)的頻率特性畫成曲線，再運用圖解法進行研究。作為一種圖解分析系統(tǒng)的方法，頻率特性曲線常采用三種表示形式，即極坐標圖、對數(shù)坐標圖，對數(shù)幅相圖?！?.2典型環(huán)節(jié)的頻率特性5.2.1概述第三十一頁，共四十五頁。1.極坐標圖(乃奎斯特圖或乃氏圖或Nyquist圖)A、幅頻特性曲線

以頻率ω為橫坐標，以幅頻A(ω)為縱坐標，畫出A(ω)隨頻率ω變化的曲線。B、相頻特性曲線

以頻率ω為橫坐標，以相頻(ω)為縱坐標，畫出(ω)隨頻率ω變化的曲線。第三十二頁，共四十五頁。

RC電路的幅頻和相頻特性ω01/2τ1/τ2/τ3/τ4/τ5/τ∞A(ω)10.890.7070.450.320.240.20(ω)°0-26.6-45-63.5-71.5-76-78.7-90第三十三頁，共四十五頁。系統(tǒng)頻率特性可表示為

用一向量表示某一頻率下的向量的長度，向量極坐標角為，的正方向取為逆時針方向，選極坐標與直角坐標重合，極坐標的頂點在坐標原點。

C、幅相特性曲線——極坐標圖(乃奎斯特圖或乃氏圖或Nyquist圖)第三十四頁，共四十五頁。圖5-4極坐標圖

頻率特性G(jω)是輸入頻率ω的復變函數(shù)，是一種變換，當頻率ω由0→∞時，G(jω)變化的曲線，即向量端點軌跡就稱為極坐標圖。極坐標圖在時，在實軸上的投影為實頻特性，在虛軸上的投影為虛頻特性。第三十五頁，共四十五頁。幅相特性曲線是將頻率ω作為參變量，將幅頻與相頻特性同時表示在復數(shù)平面上。圖上實軸正方向為相角零度線，逆時針旋轉(zhuǎn)為正。（復數(shù)表示、極坐標圖）將G(jω)分為實部和虛部(代數(shù)表示)，即X(ω)和Y(ω)分別稱為實頻特性和虛頻特性。取橫坐標X(ω)，縱坐標表示Y(ω)，也可得到系統(tǒng)的幅相曲線。第三十六頁，共四十五頁。RC電路的乃氏圖ω01/2τ1/τ2/τ3/τ4/τ5/τ∞A(ω)10.890.7070.450.320.240.20(ω)°0-26.6-45-63.5-71.5-76-78.7-90第三十七頁，共四十五頁。2、對數(shù)頻率特性——Bode圖在工程實際中，常常將頻率特性畫成對數(shù)坐標圖形式，這種對數(shù)頻率特性曲線又稱Bode圖，由對數(shù)幅頻特性和對數(shù)相頻特性組成。Bode圖的橫坐標按lgω分度（10為底的常用對數(shù)），即對數(shù)分度，單位為弧度/秒（rad/s）對數(shù)幅頻曲線的縱坐標按線性分度，單位是分貝（dB）。對數(shù)相頻曲線縱坐標按(ω)線性分度，單位是度。由此構(gòu)成的坐標系稱為半對數(shù)坐標系。第三十八頁，共四十五頁。對數(shù)分度和線性分度

對數(shù)分度和線性分度第三十九頁，共四十五頁。兩點說明：對數(shù)頻率特性采用ω的對數(shù)分度實現(xiàn)了橫坐標的非線性壓縮，便于在較大頻率范圍反映頻率特性的變化情況。采用對數(shù)幅頻特性則將幅值的乘除運算化為加減運算，可以簡化曲線的繪制過程。

第四十頁，共四十五頁。圖5-5Bode圖坐標系

對數(shù)幅頻特性的縱軸為L(ω)=20lgA(ω)采用線性分度，A(ω)每增加10倍，L(ω)增加20dB；橫坐標采用對數(shù)分度，即橫軸上的ω取對數(shù)后為等分點。對數(shù)相頻特性橫軸采用對數(shù)分度，縱軸為線性分度，單位為度。第四十一頁，共四十五頁。優(yōu)點：n個環(huán)節(jié)串聯(lián)