第五章二級相變的平均場觀模由于粒子的全同性,波函數(shù)在交換粒子坐標(biāo)和自旋的時(shí)候,如果是,波函數(shù)變號(hào),如果是波色子,波函數(shù)不變.考慮相鄰原子中的二個(gè)價(jià)電子.當(dāng)自旋平行,自旋波函數(shù)為總自旋為1的3重態(tài).這時(shí)波函數(shù)坐標(biāo)部分要在交換粒子坐標(biāo)時(shí)候變號(hào).當(dāng)自旋反平行,自旋波函數(shù)為總自旋為0的單態(tài).這時(shí)波函數(shù)坐標(biāo)部分要在交換粒子坐標(biāo)時(shí)候不變號(hào).對應(yīng)2種態(tài)的能量是不一樣的.則我們可以把能量和自旋的J1S2S2S2J1SS1SS1SS121 22 11 22 SS1其中 22,自旋3態(tài)為S1,自旋單態(tài)為S0這2個(gè)態(tài)的22其中J可正可負(fù)(依賴具體材料).HJSiSi,其中i,j是最鄰近的原子指標(biāo).

Si為量子算典近

Si為一般數(shù)值,SiSiS2,.通過變 模型可以化

HJSiSj,SiSii,如果Si是3維矢量,上面的模型就是經(jīng)典海森堡模型Si是2維矢量,上面的模型則稱xy模型如果Si1維矢量,上面的模型則稱Ising模型.Sii1,模型一般寫為:HJiji,

i其中i,j是最鄰近的原子指標(biāo)(比如2,3考慮了,3,2就不考慮).如果有外加磁場,HJii,

i統(tǒng)計(jì)模型的求解需要我們計(jì)Zexp[H 這個(gè)配分函數(shù)的計(jì)算是非 的.在統(tǒng)計(jì)物理的模型中許模型可以嚴(yán)格求解,如一維和二維Ising模型.一維量子海森堡模型等.這些嚴(yán)格求解,對統(tǒng)計(jì)物理的研究進(jìn)展另外一個(gè)無序模型HJi,jiji,

i1,Ji, 0,Ji,jJi, i,j是任2個(gè)自旋指標(biāo),這個(gè)模型稱Sherington-Kirkpatrick模型,是自旋玻璃的最基本模型.此模型解被Parisi得到.這個(gè)模型對計(jì)算機(jī)邏輯計(jì)算,神經(jīng)如果模型不能精確求解,統(tǒng)計(jì)物理發(fā)展出很多方法如平均場近似及其微撓展開(低溫和高溫極限下,這個(gè)方法一般不錯(cuò)).一般在低溫和高溫之間,會(huì)有相變產(chǎn)生.對相變附近區(qū)域的研究,平均場近似已經(jīng)不適合.如果是2階相變,可以用重整化群方法來.對1階相變,現(xiàn)在還是沒有好的方當(dāng)然還有一個(gè)重要的方法是數(shù)值模擬方法.但是數(shù)值模擬還是有其局限性，比如量子系統(tǒng)，最多模擬的粒子數(shù)目大概是20到30，不能到達(dá)熱力學(xué)極限的要求.現(xiàn)在我們來分析模HH0hiJij i, h其中,是磁矩,B是外磁場.J0,對應(yīng)的系統(tǒng)是鐵磁系統(tǒng)J0,對應(yīng)的系統(tǒng)是反鐵磁系統(tǒng),我們在本課h0如果h0可以通過 得到一個(gè)等價(jià)的模型,h'0).Gibbs系綜簡要介紹（外場固 廣義外力固定的系綜.過去我們考慮的正則系綜是廣義坐標(biāo)固定,如體積固定.正則系綜配分函數(shù)為ZexpHSGibbs系綜理論:廣義外力固定比如壓強(qiáng)固定,但廣義坐標(biāo)不固定。Gibbs綜結(jié)論可以用推到正則系綜或者巨如果對某微觀態(tài)系統(tǒng)的能量為H0Yi為廣義外力，為常數(shù)y為廣義坐標(biāo).熱庫對系Yiyi.此態(tài)出現(xiàn) expHexpHYy的幾率正比為

iZT,N,Yexp Yy,GT,N,YTlog

i 。對P,V系統(tǒng) yV,YP這時(shí)系綜的積分最后還包括對體積的積分（請看參考文獻(xiàn)）一般在磁性系統(tǒng)我們考慮是Gibbs系綜（固定外磁場?？紤]我們現(xiàn)在的模型: 和配分函數(shù)的關(guān)系如下 N i N

ln在 況下,系統(tǒng)處于較低能量態(tài),對應(yīng)的 1.T0,系統(tǒng)處于基態(tài)統(tǒng)計(jì)平均應(yīng)該

i1因而當(dāng)溫度較低時(shí)候i mm為磁化強(qiáng)度.這種m0態(tài)我們稱為有序態(tài).如果h0在零 況下，i1，在低 況下i m0.如果磁場為零,在零況下,有二個(gè)選擇(只能選其一),i1i1得到零外場的正確的方法是ZTh,然后h0.h0,h0分別得到i1和i在 形下T一樣.這時(shí)

i1和i1出現(xiàn)的幾率幾乎 這種態(tài)我們稱為無序ij故在高溫和低溫之間,存在一個(gè)相變溫度Tc,低于此溫度,態(tài)是有序的,高于此溫度,相是無序的.對哈密度量,我們可ijH

hJ'其中

j的求和是指和自旋j

相鄰的指數(shù)求和平均場近似是把式j(luò)

j中

j用平均值代

其中d每個(gè)自旋相鄰的自旋數(shù)目HHMFHMFihJdmi對 ,我們可以計(jì)算其配分函數(shù) exp exp

hN {i {i exphJdmiexphJdmi{i 2coshhi2coshhFMFkTNln2coshh由此得到一個(gè)自恰方

lnZN

sinhhcoshh

tanhhimtanhh現(xiàn)在考慮磁場為零時(shí)候的自恰方程mtanhJdmtanh

TcJd/請看圖44224發(fā)現(xiàn)TTc,只有一個(gè)m0當(dāng)TTc,有二個(gè)不為零的解和一個(gè)為零的解.可以證明,零解對應(yīng)的不是自由能極小值,故不需溫度小于Tc,但接近Tc時(shí),m很小,我們可以展開自恰方程 m mm

m m 由此得

m

m

cm 3Tc3Tcm 3T3Tcm0即 0

TTcTc一般的二級相變,人們發(fā) TTm T

2當(dāng)趨近Tc

i

Jdm

Tc 00

T系統(tǒng)的比熱 TT C

T

CTT

T對2階相變,c附近, .平均場理論給0現(xiàn)在考慮磁場不為零情mtanhh如果磁場有磁場,對任何溫度m0如果h很小TTcm因該很小,上式可以展開為TmtanhhJdmhTcTm 1Tm磁化率定義 h,故在小磁場下,TTc 1TcT一般的實(shí)驗(yàn)給

cT

Ising型的平均場的結(jié)果給出c當(dāng)TT.cm

如果溫度TTc, 1Tc情況下,自恰方程要展開到下一

顯然不成立.在這mtanhh hm

h3在方程左邊,由于hh只保留到一階mtanhh hm3m3h1/3 在臨界溫度附近,實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn),

mh1/故平均場給出如果TTc,在磁場很小的情況下,我們展開方mtanhhJdmhmm0(Tm1(T)h Tm Tmhc 3 mhT

m 3

hT

m 3m(T)m(T)hhTcm(T)m(T)h T3 c m0(T)3m0(T)m1(T)h cT

Tcm(T)2 h0h1項(xiàng)的方T3 cm(T)

cm(T)

(T 2 T T 2 m1(T)cm1(T)cm1(T)m0(T) m0(T) T TT2 m(T)1

cm0(T)T TT 1c m0(T T代 m(T)23TcT TT 22T2Tc

m0(T) m(T)

TT T c 1ccm(T T c 2TcT c故在小磁場 TTcmm(T)m(T)hm(T) TT2 磁化率

m 2TcT 我們在這一節(jié)中詳述了Ising模型的平均場近似理論.如果系統(tǒng)處于高,平均場理論的結(jié)果一般都不錯(cuò).如果空間維度低,如1,平均場的結(jié)果一般都不可靠.請看下面對一維Ising模型解.三.Ising模型的嚴(yán)格一維情形下,Ising模型可嚴(yán)格求解.我們考N個(gè)自1.1.簡單起見,讓系統(tǒng)滿足周期性邊界條件(不同的邊界條件一般不會(huì)影響熱力學(xué)量.邊界的效應(yīng)在熱量學(xué)極限下是可以忽略的).周期性邊界條件為三.一維Ising模型可寫為 HJii1 由于周期邊界條件,顯然

NH

h2

i1故配分函數(shù) expH

exp

NN h

i

2

i1 NexpN

1

2

i NMi,i1i其 expJ h i 各矩陣元為

expJ exp expJ 1,1 由于N N

Mi,i1M1,2M2 MN1,NMN MN =TraceMN11由于 是實(shí)對稱矩陣,它可以對角MU 0U UU 這樣可以證明

TraceMNN 現(xiàn)在我,M本征值.滿足下列久期方expexpJ expJ expJ 它的解expJh expJ det expJ expJhexp[2J]sinh[h]2exp[exp[2J]sinh[h]2exp[2J在熱力學(xué)極限

N1 自由能為

磁化率為

GkTlnZNkTNlnmN

G

lnexp[J]sinh[h] exp[2J]sinh[h]cosh[exp[2J]sinh[h]2exp[2Jexp[J]cosh[h] exp[2J]sinh[h]2exp[2J sinh[當(dāng)h0,上式m0.故在非零況下,磁化強(qiáng)度為零.在低溫極限下,在任意小的不為零的外磁場下,我們,sinh[exp[4Jm我們可以講,相變溫度是T0一般來講,低維系統(tǒng),如1維,對任何模型,平均場近似都不好.其原因是在低維系統(tǒng),熱漲落強(qiáng)度很大.如果考慮對平均場計(jì)算的修正,修正和平均場的結(jié)果差不多量級.故其平.2.2.沒有周期邊界條件下,考慮無外磁場情況下,配分函NZN...exp[Ji 由于對N的依賴項(xiàng)的exp[JN1N]2coshJ故ZN2coshJZN1N N exp[J 22coshJ

1,N配分函數(shù)為

kTln22coshJ

NkTln2N1ln2coshJkTNln2coshJ和周期邊界條件得到的一過去我們考慮平均場論的實(shí)際上是假設(shè)2個(gè)自旋之間沒有iiji iji i

ijij

ii

ii

ii

i iji 最后一項(xiàng)我們忽略，近似取為i iji i iji ii iii實(shí)

iii i這個(gè)等式不是嚴(yán)格的,是一種近似，即平均場近似！在平均場近似里面關(guān)聯(lián)函數(shù)總是為零.真正的關(guān)聯(lián)函 ii i 0我們現(xiàn)在可以對一維模型計(jì)

i1,上面的計(jì)算一樣可以進(jìn)ZN2coshJN1ZN1 ZN 2coshJi..N22coshJi

J i i

ZNlZ

l

l1 exp

JZZNl1

j

ij ij

l

l1Z

N N

tanhJ