數(shù)學(xué)活動(dòng)課程講座好玩的平(首都師范大學(xué)將一個(gè)平面圖形F,按一定方向移動(dòng)一變成圖形的幾何變換就是平v來(lái)刻畫(huà).,T(v).形FT(v)下變?yōu)閳D形F′可以記為T(FF平移有下列基本性質(zhì)平移變換下,對(duì)應(yīng)線段平行(或共線)平移變換下對(duì)應(yīng)角的兩邊分別平行且方向一致,因此,對(duì)應(yīng)角相等.動(dòng)位置,也可以使線段在保持平行且相等的條件下移動(dòng)位置,從而達(dá)到將相關(guān)幾何元素相對(duì)集中,使各元間的關(guān)系化的目11,ABCDEFABEDAFCDBCFE,FD⊥BDFD24cmBD=18cm.問(wèn)六邊形ABCDEF的面積 圖分析本題初看似乎無(wú)從下手,但仔細(xì)觀察后發(fā)現(xiàn),題中有三組平行且相等的線段,還有兩條互相垂直且長(zhǎng)度已知的對(duì)角線.于是就會(huì)產(chǎn)生平移圖形,將其拼成一個(gè)長(zhǎng)方形的收稿日期:2004-02-

想法2△DEF平移到△BAG△BCD平移到△GAF 圖成長(zhǎng)方形BDFG.此長(zhǎng)方形的邊恰是已知長(zhǎng)例2 兩條長(zhǎng)為1的線段AB與CD相交于點(diǎn)O,且∠BOD=60.求證:AC+BD分析ACBD≥1將ACBD1的線段集中到一個(gè)三角形,利用三角形不等式證明即可.AC長(zhǎng)度不變60大小不變,可將AC平移BB1如圖3),同時(shí)也就相當(dāng)于將AB平移到CB1.此時(shí) AC∠DCB1=∠DOB=60°,CB1=AB=1CD,△DCB1等邊三角形,DB1 圖CD=DBB1有BB1+BD≥DB1AC+BD證明略例3PABCD內(nèi)任意一點(diǎn).求證:APBPCPDP為邊可以構(gòu)成一個(gè)四邊形,且該四邊形的兩條對(duì)角線分別等于線段ABBC,恰好也互相垂直.分析:APBPCPDP組成一個(gè)四

BC, FE,

DE,EPBA,

相接APDAB的位置.則PA、PB、PC、PD變?yōu)樗倪呅蜳BQC的四條邊PAB的平行線,PQ=AB.連結(jié)BQCQ,APQB與形.,BQ=APQC=PD.可見(jiàn)四邊BQCP的四條邊分別等于PA、PD、PC、PB.四邊形BQCP的一條對(duì)角線就是BC本,另一條對(duì)角線PQ=AB.又由于PQ∥AB,,PQ⊥BC,也就是四邊形BQCP的例 在六邊形ABCDEF中,AB∥EDBCFE,CD∥AF且對(duì)邊之差BC-=DE-BA=FA-DC>0.求證六邊形ABCDEF的各內(nèi)角均相等720.120.12.邊三角形的內(nèi)角,題設(shè)條件中三組對(duì)邊之差,,,5過(guò)AFE,過(guò)CBA,過(guò)EDC的平行線這

故PQ=AQ-AP=BC-FEQR=CR-CQ=DE-BARP=EP-ER=FA-BC-FE=DE-BA=FA-DC,PQ=QR=1=∠2∠360.∠BCD=∠DCR+=∠3+∠2=120.120.120.5DEABCBC上的兩,且BD=CE.求證AB+AC>AD+AE.分析:AB+AC>AD+AE,可設(shè)法使,ACE平移PDB的位置如6),各種關(guān)系就自然來(lái)了.證明:過(guò)點(diǎn)D 圖CA的平行線與過(guò)點(diǎn)ACB的平行線相交P.ACDP是平行四邊形.PD=AC.PDABO,PB,APBE是平行四邊形.故PB=AE.AO+OD>AD,OB+OP>PB.AB+PD>AD+PB,即AB+AC>AD+AE.例6 如圖7,△ABC是正三角形,△A1B1C1的邊A1B1B1C1、C1A1ABC于點(diǎn)PQR 圖 邊分別于C2C3 圖ABCQCDEREFAP均為平行四邊 A2A3,B2B3.已知A2C3=C2B3=B2A3,且形.所以, (C2C3)2+(B2B3)2=(A2A3)2.賽

證明A1B1⊥A1C1(2002,市中學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽(初二:要證A1B1A1C1,

∠BDC=∠CDA120°AD=uBD=vCDw.求證:xPQR,其內(nèi)部存在一點(diǎn)O,恰使得OP=a,OQ=b,OR=c,則有x=u+v+w.∠B1A1C190°.而已知C2C32+B2B3=(A2A3)2,酷似勾股定理的關(guān)系式,但C2C3B2B3A2A3并不是一個(gè)三角形的三條,C2C3B2B3A2A3成為一個(gè)三角形.,所成的三角形的最大角將是直角.只須證∠B1A1C1等于這個(gè)直角證明:8,A2C3的平行線交過(guò)C2C3A2的平行線于點(diǎn)O.則A2OC2C3 圖平行四邊形A2O=C3C2,OC2=A2C3=B3C2又因?yàn)椤螼C2B3=∠C=60°,△OB3C2是正三角形∠OB3C2=60°=]OB3∥A3B2OB3=C2B3=A3B2

我們利用平ABC的基礎(chǔ),將ADBDCD設(shè)法構(gòu)成一個(gè)正三角形,其邊恰為x=u+v+w.:圖10,△ABCADEC,平移BDFA,平CDGB.則ADCEBDAF都是平行四OB3B2A3是平行四邊形

故OA3∥B3B2,且OA3=B3B2 CE=u,EA=w,∠AEC=因?yàn)?C2C3)2+(B2B3)2=(A2A3)2, AF=v,BF=u,∠BFA=(OA2)2+(OA3)2=(A2A3)290.OA3∥B3B2,OA3∥A1C1,A2O∥C3C2A2O∥B1A1,∠C1A1B190°A1B1⊥A1C1例 考慮如圖9所示的△ABC△PQR.ABC,∠ADB=∠BDC∠CDA120.求證x=uv+w.(第3屆中學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽分析,ABCBC=a,bAB=cD,ADB

BG=w,CG=v,∠CGB=120.將線段CEAFBG向兩,邊三角形,即PC=PG=CG=v,QA=QE=AE=wRB=RF=BF=uPQ=QR=RP=u+v+wPBDCQCDARADB都是等腰梯,DP=aDQ=bDR=c.2,3,4,5,?依次報(bào)數(shù).要求全體學(xué)生牢記各自所報(bào)的數(shù),并做下列動(dòng)作:先讓報(bào)的數(shù)3的倍數(shù)的全體同學(xué)向后轉(zhuǎn);接著讓報(bào)的5的倍數(shù)的全體同學(xué)向后轉(zhuǎn);最后讓報(bào)的數(shù)是7的倍數(shù)的全體同學(xué)向后轉(zhuǎn).問(wèn):面對(duì)的同學(xué)中,自左至右第(1U={1,2,?,240},AiUi的倍數(shù)組成的集合

2用類似105位同學(xué)中面對(duì)教練的有60名.考慮所報(bào) 圖357倍數(shù)的同學(xué)沒(méi)有轉(zhuǎn)動(dòng),他們面對(duì);所報(bào)的3|U|=240;|A|=3

=80 |A5||A15||A35|

5

=48,|A7|=16,|A21|=6;|A105|

7

=34=11=

3的倍數(shù)(1053)108,111,114,117,120,5的倍數(shù)(1055)110,115,120,所以,此時(shí)有|U|-(|A3|+|A5|+|A7|+2(|A15|+|A21|+|A35|)-4|A105|=據(jù)分別填入圖1,注意按從內(nèi)到外的順序填.1091449136名

7的倍數(shù)(1057)112,119,對(duì)的同學(xué)所報(bào)的數(shù)依次是:106,107,109,113,116,118,120,由此可知面對(duì)的第66位同學(xué)所報(bào)的數(shù)是118.,,出神入化好玩的平移!

,平行ABEF與小半圓相切EF5, 圖中陰影部分的面積.( 2P?ABCD內(nèi)一點(diǎn)PAD=∠PCD求證:∠PBC=以△ABC的三邊為邊向形外分別作正方形ABDECAFGBCHK連結(jié)EFGHKD求證:EF、GH