2019年小學數(shù)學競賽輔導材料－－高斯取整1．（2018?迎春杯）[x]表示不超過x的最大整數(shù)，例如，[4]＝4，[3.4]＝3．已知對于數(shù)a，有[5a]+5a＝2018.16，那么[[25a]+25a]＝．2．（2017?華羅庚金杯）用[x]表示不超過x的最大整數(shù)，例如[10.2]＝10．則[]+[]+[]+[]+[]+[]等于．3．（2008?陳省身杯）設[x]表示不超過x的最大整數(shù)，例如[3]＝3，[π]＝3，[﹣1.5]＝﹣2，則方程[x]+2x＝4的解為．4．以[x]表示不大于x的最大整數(shù)，那么，滿足[1.9x]+[8.8y]＝36的自然數(shù)x，y的值共有組．5．已知S＝[]，其中[x]表示不超過x的最大整數(shù)，則S的值為．6．[x]表示不超過x的最大整數(shù)，則[]，[有個不同的整數(shù)．（提示：（n+1）﹣n2＝2n+1）]+[]+[]+…+[]，[]，…，[]中共27．計算：[]+[]+…+[]+[]．8．求[]+[]+…+[]+[]的和．第1頁（共10頁）9．已知S＝[]+[]+…+[]，求：S＝？10．求滿足方程[x]+[2x]＝19的x的值．11．解方程：（1）x+2{x}＝3[x]；（2）3x+5[x]﹣49＝0．12．求方程2[x]﹣9{x}＝0的解的個數(shù)．第2頁（共10頁）13．如果[x]＝3，[y]＝0，[z]＝1求：（1）[x﹣y]的所有可能值；（2）[x+y﹣z]的所有可能值．14．解方程[]+[]+[]+[]＝110，其中x是整數(shù)．15．（1）在[]，[]，[]，…，[]中共出了多少個互不相同的數(shù)？（2）在[]，[]，[]，…，[]中共出現(xiàn)了多少個互不相同的數(shù)？第3頁（共10頁）溫州育英小學分校數(shù)學競賽輔導材料－－高斯取整參考答案與試題解析1．【分析】設5a的小數(shù)部分為x，則5a＝[5a]+x，然后根據(jù)[5a]+5a＝2018.16，可以求出x＝0.16，和[5a]＝1009；再進一步解答【解答】設5a的小數(shù)為x，則5a＝[5a]+x，即可．部分因為[5a]+5a＝2018.16即，[5a]+[5a]+x＝2018.16即，2×[5a]+x＝2018.16所以，2×[5a]＝2018，x＝0.16即，[5a]＝1009，出x＝0.16則，25a＝5×5a＝5×（1009+0.16）＝5×1009+0.8所以[[25a]+25a]＝[5×1009+5×1009+0.8]＝10×1009＝10090故答案為：10090．2．【分析】本題考察高斯取整．觀察式子可知首位兩項，[]內的數(shù)相加等于2017，又因為當x不是整數(shù)時，[x]+[2017﹣x]＝2016，故兩兩相加，可以得到答案．【解答】因為2017和11是質數(shù)，所以[]內的數(shù)據(jù)都不是整數(shù)，則[]+[]＝2017﹣1＝2016，]＝2016，同理可得[]+[[]+[]＝2016，所以原式＝2016+2016+2016＝6048．故填：60483．【分析】設n≤x＜n+1（n是整數(shù)），則[x]＝n，根據(jù)方程[x]+2x＝4，求出n，即可得出結論．【解答】設n≤x＜n+1（n是整數(shù)），則[x]＝n，因為[x]+2x＝4，第4頁（共10頁）所以2x＝4﹣[x]，所以2n≤4﹣n≤2n+1，所以，所以2x＝4﹣1，x＝1.5，故答案為1.5．4．【分析】顯然0≤y≤4（否則等式左邊＞36），當y＝0時，當y＝2時，x＝10；當y＝3時，x不存在；當y＝4時，x＝1．】x最小是1，此時[1.9x]＝[1.9]＝1，此時[8.8y]≤36﹣1＝35，由于8.8×4＝35.2，8.8×5＝44，所以y≤4，所以有x＝19．當y＝1時，有x＝15；【解答所以滿足[1.9x]+[8.8y]＝36的自然數(shù)x，y的值共有4組．y＝0，x＝19，y＝1，x＝15；y＝2，x＝10；y＝3，x無解；y＝4，x＝1．答：滿足[1.9x]+[8.8y]＝36的自然數(shù)x，y的值共有，：4．5．【分析】本題考察高斯取整，4組．故答案為解題關鍵在于求出每個分數(shù)計算結果的整數(shù)部分．【解答】對每個分數(shù)進行變形，S＝[]+[]+[]+…+[]＝[2﹣]+[4﹣]+[6﹣]+…+[200﹣]＝1+3+5+…+199＝（1+199）×100÷2＝100006．【分析】從[]到[]表示的不超過x最大整數(shù)都是0，從[]到[]表示的]表示的不超過x最大整數(shù)都是2，從[不超過x最大整數(shù)都是1，從[]到[]第5頁（共10頁）到[]表示的不超過]表示的不超過x最大整數(shù)是2011，此數(shù)列是從＝2012個不同的整數(shù)．x最大整數(shù)都是3，…，[]表示的不超過x最大整數(shù)是126，…，[0到2011遞增排列，所以共有2011+1【解答】根據(jù)題干分析可得：此數(shù)列是從0到2011遞增排列，所以共有2011+1＝2012個不同的整數(shù)．答：共有2012個不同的整數(shù)．故答案為：2012．7．【分析】本題考察高斯取整．[]+[]＝23﹣1＝22，同理，其他也都可以得]＝22，然后求和，]+…+[到[]+[即可得解．【解答】[]+[]+[]＝22×40÷2＝4408．【分析】本題考察高斯取整．＝42，+]＝41，[【解答】因為+＝42，…所以[]+[]+[]＝41，…接下來討論幾個特殊的數(shù)，，所以原式＝41×（98﹣2）÷2+42＝20109．【分析】根據(jù)高斯求和公式和x＝[x]+{x}找到規(guī)律解答即可．【解答】因為，+＝199，199是整數(shù)，[]+[]的和也是整數(shù)，即+＝[]+[]+{}+{}所以，{}+{}的和也是整數(shù)，0＜{}＜1，0＜{0＜{}+{}＜1}＜2所以，0和2之間，只有整數(shù)1，第6頁（共10頁）所以，{}+{]+[}＝1所以，[]＝199﹣1＝198]＝198，…，[同理，[]+[]+[]＝198，共有48個整數(shù)198，所以S＝[]+[]+…+[]＝198×48＝9504．10．【分析】根據(jù)x＝[x]+{x}求2x的整數(shù)x＝[x]+{x}2x＝2[x]+2{x}[2x]＝2[x]+[2{x}]部分和小數(shù)部分．【解答】因為，所以，因為0≤{x}＜1，所以，0≤2{x}＜2，所以分段討論{x}，當0≤{x}＜時，所以，0≤2{x}＜1，所以，[2x]＝2[x]則，原式變?yōu)椋篬x]+2[x]＝193[x]＝19所以，[x]＝，不合題意舍去；當≤{x}＜1時，所以，1≤2{x}＜2，所以，[2x]＝2[x]+1則，原式變?yōu)椋篬x]+2[x]+1＝193[x]+1＝19[x]＝6，所以，≤x＜7所以，第7頁（共10頁）所以，滿足方程[x]+[2x]＝19的x的取值范圍是≤x＜7．11．【分析】本題考察高斯取若[x]表示不超過x的最大整數(shù)，[x]（表示不超過x的最大整數(shù)），【解答】（1）∵{x}＝x﹣[x]，x+2{x}＝3[x]，∴x+2（x﹣[x]）＝3[x]，整．若x為實數(shù)，記{x}＝x﹣由此探討解出方程的解即可．∴5[x]＝3x，∴[x]＝，∴x能被5整除，顯然此處x＝0或x＝，否則x和[x]不相等．（2）令[x]＝n，代入原方程又∵[x]≤x＜[x]+1，∴n≤＜n+1．整理得3n≤49﹣5n＜n+1，＜∴n＝6．得3x+5×6﹣49＝0，解得x＝．x＝是12．【分析】2[x]為偶數(shù)，所以為0，2，4，6，8．得3x+5n﹣49＝0，即x＝．n≤，代入原方程經檢驗，原方程的解．9{x}為偶數(shù)，由于0≤{x}＜1，所以0≤9{x}＜9，所以9{x}可以取的值【解答】由于0≤{x}＜1，所以0≤9{x}＜9，因此9{x}可以取的值為0，2，4，6，8．將這五個值代入2[x]＝09{x}＝0解得x＝02[x]＝29{x}＝2解得x＝1+2[x]＝49{x}＝4解得x＝2+2[x]＝69{x}＝6解得x＝3+第8頁（共10頁）2[x]＝89{x}＝85個解，分別為13．【分析】[]是取整符號，舍去，據(jù)此可知[x]＝3，那么x取值在3≤x＜4，[y]＝0，那么y取值在0≤y＜1，[z]＝1，那么z取值在1≤z＜2，x﹣y值范圍在2≤x﹣y＜4，那么[x﹣y]的所有2，3；x+y﹣z值范圍在1≤x+y﹣z＜4，[x+y﹣z]的所有1，2，3．】[x]＝3，x取值在3≤x＜4解得x＝4+答：原方程有x＝0，1+，2+，3+，4+．是指舍去小數(shù)點后面的數(shù)，不管小數(shù)點后面的數(shù)有多大，都要可能值為可能值為【解答[y]＝0，y取值在0≤y＜1[z]＝1，z取值在1≤z＜2x﹣y值范圍在2≤x﹣y＜4，那么[x﹣y]的所有x+y﹣z值范圍在1≤x+y﹣z＜4，[x+y﹣z]的所有14．【分[x]表示不超過x的最大整數(shù)則[x]包含在[x，x+1]，進一步可能值為2，3可能值為1，2，3．析】本題考察高斯取整．利用這個性質分析解決問題．【解答】[x]表示不超過x的最大整數(shù)，x+﹣1+﹣1+﹣1≤[]+[]+[]+[]≤x++1++1++1，原等式化為x+++﹣3≤110≤x++++3，x可以為[60.57，63.96]所以x只可能在：61，62，63之中，則[x]∈[x，x+1]．則有：不等式：解得代入后可以得出：x＝63．15．【分析】（1）找出分界點，找分子兩數(shù)之差是否大于2008的1.5倍，超過1.5倍就會隔一個整數(shù)出現(xiàn)，比如分每個界點為1506，那么分子在15062之前，整數(shù)都出現(xiàn)，15062之后，隔一個才出現(xiàn)一次．（2）找出分會取整都是0．】（1）找分子兩數(shù)之差是否大于2008的