第一章一階微分方程的應(yīng)用第1頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三1：應(yīng)用大意適應(yīng)范圍與變化率有關(guān)的各種實際問題應(yīng)用三步曲(1)建立模型Modelling(2)模型求解Solving(3)模型應(yīng)用Application建議:模型要詳略得當(dāng)?shù)?頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三應(yīng)用一：曲線族的等角軌線設(shè)給定一個平面上以C為參數(shù)的曲線族（*）我們設(shè)法求出另一個以k為參數(shù)的曲線族（**）使得曲線族（**）中的任一條曲線與曲線族樣的曲線族（**）是已知曲線族（*）的（*）中的每一條曲線相交時成定角則稱這等角軌線族。第3頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三當(dāng)時，稱曲線族（**）是（*）的正交軌線族。例如：曲線族是曲線族的正交軌線族。第4頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三第5頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三設(shè)y=y(x)為(C’)中任一條曲線，于是存在相應(yīng)的C，使得

因為要求x,y,y’的關(guān)系，將上式對x求導(dǎo)數(shù)，得

(1.84)

這樣，將上兩式聯(lián)立，即由

上述關(guān)系式成為曲線族滿足的微分方程第6頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三例1

求拋物線族的正交軌線族。解：對方程兩邊關(guān)于x求導(dǎo)得由解出C代入上式得曲線族在點處切線斜率為第7頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三由于所求曲線族的曲線與中的曲線在正交，故滿足方程這是一個變量可分離方程求解得的正交曲線族為這是一個橢圓，如右圖放大此圖

圖2.16第8頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三第9頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三應(yīng)用二：雨滴的下落

考慮雨滴在高空形成后下落的過程中速度的變化三種不同的假設(shè)

(1)自由落體運(yùn)動

(2)小阻力的情況

(3)大阻力的情況第10頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三(1)自由落體運(yùn)動

下落過程中沒有任何阻力

第11頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三小阻力的情況下落過程中阻力與速度和半徑的乘積成比例第12頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三(3)大阻力的情況下落過程中阻力與速度和半徑的乘積平方成比例

第13頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三三、藥物設(shè)計醫(yī)生給病人開處方是必須注意兩點：

服藥的劑量和服藥的時間間隔。

超劑量的藥物會對患者產(chǎn)生嚴(yán)重不良后果，甚至死亡；劑量不足，則不能達(dá)到治療的效果。

第14頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三一次給藥的藥時曲線血藥濃度mg/l時間殘留期持續(xù)期藥峰時間潛伏期藥峰濃度最低中毒濃度最低有效濃度安全范圍轉(zhuǎn)化排泄過程第15頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三多次給藥的藥時曲線011223456血藥濃度時間CmaxCmin治療窗口第16頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三藥物消除類型1一級動力學(xué)消除（恒比消除）：

單位時間內(nèi)按血藥濃度的恒比進(jìn)行消除。消除速度與血藥濃度成正比。若以血藥濃度（C）的對數(shù)與時間（t）作圖，為一直線。第17頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三零級動力學(xué)消除（恒量消除）：

單位時間內(nèi)始終以一個恒定的數(shù)量進(jìn)行消除。消除速度與血藥濃度無關(guān)。第18頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三是指包括零級和一級動力學(xué)消除在內(nèi)的混合型消除方式。如當(dāng)藥物劑量急劇增加或患者有某些疾病，血濃達(dá)飽和時，消除方式則可從一級動力學(xué)消除轉(zhuǎn)變?yōu)榱慵墑恿W(xué)消除。如乙醇血濃<0.05mg/ml時，按一級動力學(xué)消除；但當(dāng)>0.05mg/ml時，則可轉(zhuǎn)成按零級動力學(xué)消除。

3．米氏消除動力學(xué)（混合型消除）：第19頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三模型及其數(shù)值實現(xiàn)第20頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三閱讀材料:服藥問題

醫(yī)生給病人開處方時必須注明兩點:服藥的劑量和服藥的時間間隔.超劑量的藥品會對身體產(chǎn)生嚴(yán)重不良后果,甚至死亡,而劑量不足,則不能達(dá)到治病的目的.已知患者服藥后,隨時間推移,藥品在體內(nèi)逐漸被吸收,發(fā)生生化反應(yīng),也就是體內(nèi)藥品的濃度逐漸降低.藥品濃度降低的速率與體內(nèi)當(dāng)時藥品的濃度成正比.當(dāng)服藥量為A、服藥間隔為T,試分析體內(nèi)藥的濃度隨時間的變化規(guī)律.第21頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三第22頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三第23頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三體內(nèi)藥的濃度隨時間的變化規(guī)律第24頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三Model3:PopulationdynamicsInthissectionweexamineequationsoftheformy'=f(y),calledautonomousequations,wheretheindependentvariabletdoesnotappearexplicitly.Themainpurposeofthissectionistolearnhowgeometricmethodscanbeusedtoobtainqualitativeinformationdirectlyfromdifferentialequationwithoutsolvingit.Simplestmodel:populationgrowthrateisproportionaltocurrentsizeofthepopulation:Solution:exponentialgrowth):第25頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三Model3:PopulationdynamicsLogisticGrowthAnexponentialmodely'=ry,withsolutiony=e^{rt},predictsunlimitedgrowth,withrater>0independentofpopulation.Assuminginsteadthatgrowthratedependsonpopulationsize,replacerbyafunctionh(y)toobtainy'=h(y)y.Wewanttochoosegrowthrateh(y)sothath(y)?rwhenyissmall,h(y)decreasesasygrowslarger,andh(y)<0whenyissufficientlylarge.Thesimplestsuchfunctionish(y)=r–ay,wherea>0.OurdifferentialequationthenbecomesThisequationisknownastheVerhulst,orlogistic,equation.第26頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三ThelogisticequationfromthepreviousslideisThisequationisoftenrewrittenintheequivalentformwhereK=r/a.Theconstantriscalledtheintrinsicgrowthrate,andaswewillsee,Krepresentsthecarryingcapacityofthepopulation.Adirectionfieldforthelogisticequationwithr=1andK=10isgivenhere.第27頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三EquilibriumsolutionsofthelogisticequationOurlogisticequationisTwoequilibriumsolutionsareclearlypresent:Indirectionfieldbelow,withr=1,K=10,notebehaviorofsolutionsnearequilibriumsolutions:y=0isunstable,y=K=10isasymptoticallystable.第28頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三QualitativeanalysisofthelogisticequationTobetterunderstandthenatureofsolutionstoautonomousequationsy’=f(y),westartbygraphingf(y)vs.y.Inthecaseoflogisticgrowth,thatmeansgraphingthefollowingfunctionandanalyzingitsgraphusingcalculus.第29頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三Qualitativeanalysis,criticalpointsTheinterceptsoffoccuraty=0andy=K,correspondingtothecriticalpointsoflogisticequation.Thevertexoftheparabolais(K/2,rK/4),asshownbelow.第30頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三Qualitativeanalysis,increasing/decreasingNotedy/dt>0for0<y<K,soyisanincreasingfunctionoftthere(indicatewithrightarrowsalongy-axison0<y<K).Similarly,yisadecreasingfunctionoftfory>K(indicatewithleftarrowsalongy-axisony>K).Inthiscontextthey-axisisoftencalledthephaseline.第31頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三Qualitativeanalysis,concavityNext,toexamineconcavityofy(t),wefindy'':Thusthegraphofyisconcaveupwhenfandf'havesamesign,whichoccurswhen0<y<K/2andy>K.Thegraphofyisconcavedownwhenfandf'haveoppositesigns,whichoccurswhenK/2<y<K.Inflectionpointoccursatintersectionofyandliney=K/2.第32頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三Qualitativeanalysis,curvesketchingCombiningtheinformationonthepreviousslides,wehave:Graphofyincreasingwhen0<y<K.Graphofydecreasingwheny>K.Slopeofyapproximatelyzerowheny?0ory?K.Graphofyconcaveupwhen0<y<K/2andy>K.GraphofyconcavedownwhenK/2<y<K.Inflectionpointwheny=K/2.Usingthisinformation,wecansketchsolutioncurvesyfordifferentinitialconditions.第33頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三Qualitativeanalysis,curvesketchingUsingonlytheinformationpresentinthedifferentialequationandwithoutsolvingit,weobtainedqualitativeinformationaboutthesolutiony.Forexample,weknowwherethegraphofyisthesteepest,andhencewhereychangesmostrapidly.Also,ytendsasymptoticallytotheliney=K,forlarget.ThevalueofKisknownasthecarryingcapacity,orsaturationlevel,forthespecies.Notehowsolutionbehaviordiffersfromthatofexponentialequation,andthusthedecisiveeffectofnonlinearterminlogisticequation.第34頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三Model3:PopulationdynamicsExactsolution:separatingvariablesProvidedy≠0andy≠K,wecanrewritethelogisticODE:Expandingtheleftsideusingpartialfractions,ThusthelogisticequationcanberewrittenasIntegratingtheaboveresult,weobtain第35頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三Exactsolution:resolvingforexplicitsolutionWehave:If0<y0<K,then0<y<KandhenceRewriting,usingpropertiesoflogs:第36頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三Exactsolution:resolvingforexplicitsolutionWehave:for0<y0<K.Itcanbeshowntha