第七節(jié)數(shù)學的全面繁榮第1頁，共39頁，2023年，2月20日，星期三本節(jié)教學目的和要求1.了解近代資本主義大工業(yè)的建立對近代數(shù)學的推動作用；2.了解解析幾何的創(chuàng)立在數(shù)學史上的劃時代意義；3.全面認識微積分的發(fā)展線索，重點了解牛頓和萊布尼茲各自建立微積分的過程和特點；4.深入把握非歐幾何學的創(chuàng)立過程，著重理解科學發(fā)展的內(nèi)在邏輯。第2頁，共39頁，2023年，2月20日，星期三近代變量數(shù)學發(fā)展線索解析幾何非歐幾何-----拓撲學微積分（牛頓、萊布尼茲）-----分析類的分支概率統(tǒng)計第3頁，共39頁，2023年，2月20日，星期三變量數(shù)學的興起數(shù)學中的轉(zhuǎn)折點是笛卡兒的變數(shù).有了變數(shù)，運動進入了數(shù)學，有了變數(shù)，辯證法進入了數(shù)學有了變數(shù)，微分和積分也就立刻成為必要的了…

…在一切理論成就中，未必再有什么像17世紀下半葉微積分的發(fā)現(xiàn)那樣被看作人類精神的最高勝利了，如果在某個地方我們看到人類精神的純粹的和唯一的功績，那正是在這里。

——恩格斯第4頁，共39頁，2023年，2月20日，星期三一、解析幾何的創(chuàng)立在17世紀，數(shù)學科學發(fā)生了根本性的轉(zhuǎn)折，這種轉(zhuǎn)折實質(zhì)上是由社會生產(chǎn)力的急速發(fā)展所引起的。數(shù)學根本性的轉(zhuǎn)折之一是解析幾何的誕生。解析幾何的創(chuàng)始人是笛卡兒和費馬.他們都對歐氏幾何的局限性表示不滿:古代的幾何過于抽象,過多地依賴于圖形.他們代數(shù)也批評代數(shù)過于受法則和公式的約束,缺乏直觀.同時,他們都認識到幾何學提供了有關(guān)真實世界的知識和真理,而代數(shù)學能用來對抽象的未知量進行推理,代數(shù)學是一門潛在的方法科學.因此,把代數(shù)學和幾何學中一切精華的東西結(jié)合起來,可以取長補短.這樣一來,一門新的科學誕生了。第5頁，共39頁，2023年，2月20日，星期三一、解析幾何的創(chuàng)立解析幾何學是由法國的費馬（1601－1665）和笛卡爾（1596—1650）各自獨立創(chuàng)立的。費馬把代數(shù)學運用于幾何學，采用在一個坐標系中以一系列的數(shù)字表示一條曲線軌跡的方法。費馬的成就在其去世后才發(fā)表。費馬笛卡爾第6頁，共39頁，2023年，2月20日，星期三笛卡兒的理論笛卡兒的解析幾何學成就體現(xiàn)在其1637年發(fā)表的《方法論》中，以兩個思想為基礎(chǔ):一個是坐標思想；另一個是方程與曲線的思想，即兩個未知數(shù)表示的某個代數(shù)方程可以看成平面上的一條曲線；反之，一條曲線可以用曲線上任意點（x,y）坐標之間的方程關(guān)系來表示。笛卡兒對幾何問題應(yīng)用了代數(shù)方法:研究幾何軌跡問題，提出在由兩條直線構(gòu)成的平面坐標系里的幾何圖形都可以轉(zhuǎn)化成一個二元方程，這樣平面幾何學的問題就都可以用代數(shù)學的方法加以處理。解析幾何的精華在于把幾何曲線用代數(shù)方程來表示,同時又用代數(shù)的研究方法來研究幾何。第7頁，共39頁，2023年，2月20日，星期三殊途同歸費馬從代數(shù)方程出發(fā)來尋找其軌跡，笛卡爾則從軌跡出發(fā)來尋找其代數(shù)方程，是數(shù)學發(fā)展的殊途同歸。過去的數(shù)學只能描寫一些確定的、不變化的量，解析幾何學使得變量的描述成為可能，這是數(shù)學發(fā)展史上的一次質(zhì)的飛躍。第8頁，共39頁，2023年，2月20日，星期三解析幾何出現(xiàn)后不久，微積分也被發(fā)現(xiàn)了?？梢哉f，微積分不僅是數(shù)學的偉大發(fā)現(xiàn)，也為近代科學開辟了光明的道路；微積分不僅是17世紀的偉大發(fā)現(xiàn)，而且是世界人類文明史上最為光輝燦爛的發(fā)現(xiàn)。二、微積分的誕生第9頁，共39頁，2023年，2月20日，星期三十六、十七世紀科學和生產(chǎn)中面臨的大量重要問題，促進了微積分的誕生與發(fā)展。微積分的來源是科學發(fā)展對數(shù)學要求的必然：速度、距離、重心；切線、長度、面積、體積；極值問題等等。速度切線微分距離體積積分二、微積分的誕生第10頁，共39頁，2023年，2月20日，星期三微積分發(fā)展的歷史足跡

古希臘時代偉大的數(shù)學家、力學家阿基米德，我國古代著名數(shù)學家劉徽，祖沖之、祖暅父子等為積分思想的形成和發(fā)展做出了重要的貢獻，他們的工作領(lǐng)先了歐洲數(shù)學家的工作一千多年。16，17世紀是微積分思想發(fā)展最為活躍的時期，其杰出的代表有伽利略、開普勒、卡瓦列里、費馬、巴羅，等。他們的工作為牛頓、萊布尼茲(GottfriedWilhelmLeibniz1646-1716，)創(chuàng)立微積分理論奠定了基礎(chǔ)。第11頁，共39頁，2023年，2月20日，星期三牛頓的微積分

牛頓在17世紀60年代創(chuàng)立了微積分，他稱之為《流數(shù)術(shù)》，其基本原理是把數(shù)學中的量看作是由連續(xù)軌跡運動產(chǎn)生的，不再看作是由無窮小元素構(gòu)成的。牛頓使用了無窮小增量，但對這個概念沒有給出明確的規(guī)定和嚴格的數(shù)學的證明。第12頁，共39頁，2023年，2月20日，星期三微分與積分:無窮級數(shù)的形式微積分的應(yīng)用

牛頓求積分:二項式定理牛頓的微積分第13頁，共39頁，2023年，2月20日，星期三萊布尼茲的微積分萊布尼茲于1684年發(fā)表了微積分成果，他稱之為求差的方法和求和的方法。其基本思想是把一條曲線下面的面積分割成許多小矩形，矩形與曲線之間微小的直角三角形的兩邊分別是曲線的相鄰兩點的縱坐標和橫坐標之差，當這兩個差無限減小時，曲線上相鄰兩點便無限接近。連接這樣的兩點就得出曲線在該點的切線，就是求差的方法。求差的反面就是求和。第14頁，共39頁，2023年，2月20日，星期三萊布尼茲的微積分第15頁，共39頁，2023年，2月20日，星期三微積分發(fā)明權(quán)之爭牛頓和萊布尼茲關(guān)于微積分發(fā)明權(quán)之爭導致英國數(shù)學家與大陸數(shù)學家之間的對峙，學術(shù)上形成門戶之見，嚴重地妨礙了科學的進步，應(yīng)引以為鑒。牛頓和萊布尼茲的方法都是建立在一個未加嚴格定義的無窮小增量的基礎(chǔ)之上，盡管該方法在應(yīng)用中非常有效，但其數(shù)學基礎(chǔ)并不牢固，直到19世紀法國柯西（1789—1857）和德國維爾斯特拉斯（1815—1897）等人給出“極限”概念，才為微積分奠定了嚴格的基礎(chǔ)。柯西維爾斯特拉斯第16頁，共39頁，2023年，2月20日，星期三微積分的偉大意義1、微積分改變了數(shù)學的研究對象、方式和方法，帶來了數(shù)學空前和持久的繁榮昌盛！顯示了數(shù)學內(nèi)部的辨證統(tǒng)一的深刻哲理。2、推動了科學技術(shù)的發(fā)展。有了微積分，它就成為了物理學的基本語言。其他如力學、天文學、化學等學科都得到了無限的推動力。3、對人類物質(zhì)文明作出了巨大貢獻。數(shù)學方法的應(yīng)用和更新，通過其他學科對人類的進步產(chǎn)生了前所未有的作用。第17頁，共39頁，2023年，2月20日，星期三三、概率論的建立概率論的建立首先是費馬和他同時代的帕斯卡的功績，他們通過對游戲和賭博中擲骰子的考察，從大量的偶然性事件中尋求其統(tǒng)計上的必然性，從而創(chuàng)立了概率論。第18頁，共39頁，2023年，2月20日，星期三四、非歐幾何學的出現(xiàn)為了消除歐氏幾何學第五公設(shè)的“疵點”，英國高斯、俄國人羅巴切夫斯基、匈牙利人波耶、德國人黎曼分別創(chuàng)立了非歐幾何學，打破了歐氏幾何的一統(tǒng)天下，拓寬和深化了人們對空間的認識。第19頁，共39頁，2023年，2月20日，星期三公理體系一組公理體系應(yīng)當具有以下三個性質(zhì)：（1）完備性：就是說使整個學說中要用的一切事物都完全可歸結(jié)到公理，使之不存在任何默許的其他假定。（2）相容性：從公理不能推出兩個互相矛盾的定理。（3）獨立性：任何一個公理都不是另一個公理的推論。第20頁，共39頁，2023年，2月20日，星期三歐氏幾何的公理體系出現(xiàn)在歐幾里德的《集合原本》中，在2200年之后，希爾伯特在《幾何基礎(chǔ)》加以完善。其間，許多數(shù)學家作了許多公理體系的完備性工作。然而，令人放心不下的是該公理體系中的第五公理，即平行公理的獨立性問題。因為人們發(fā)現(xiàn)即使歐幾里德本人也盡量避免使用它。所以人們開始從三個方面研究平行公理。（1）試圖給出新的平行線定義以繞開這個困難；（2）試圖用比平行公理缺點更少的其他公理取代它；（等價或包含）（3）試圖用其他公里推出它。第三個問題得到的最多的研究，但是毫無結(jié)果。第21頁，共39頁，2023年，2月20日，星期三αβ第22頁，共39頁，2023年，2月20日，星期三第五公設(shè)的證明：非歐幾何的萌芽在公設(shè)、公理基礎(chǔ)上建立起來的歐幾里德幾何學被公認為是數(shù)學嚴格性的典范。但是數(shù)學家們同時也感到歐氏幾何中存在著某種瑕疵。其中最讓數(shù)學家們感到不大舒服的是第五公設(shè)。第五公設(shè)所說明的事實不象其他幾條那樣顯而易見，缺少作為一條公設(shè)所必須有的自明性。人們不懷疑其真實性，但懷疑其作為公設(shè)的資格。因此許多人試圖來證明第五公設(shè)。第23頁，共39頁，2023年，2月20日，星期三非歐幾何的創(chuàng)立1792年高斯（CarlFriedrichGauss1777-1855）十五歲時就開始考慮第五公設(shè)問題。1816年左右他已獲得了非歐幾何的基本思想，確信存在一種與歐氏幾何不同的幾何學。第24頁，共39頁，2023年，2月20日，星期三創(chuàng)始人？但是高斯有一個習慣，在任何情況下，他都把他的結(jié)果保密一段時間。所以數(shù)學史上認為首先確立非歐幾何的是另外兩位數(shù)學家羅巴切夫斯基和波耶。高斯這樣做或許還出于別的考慮，主要是為了少招徠愚蠢的偏見。因為他說過，“它的公開將引起愚人的叫喊”。第一個公開發(fā)表非歐幾何論文的羅巴切夫斯基的確付出了相當大的代價。第25頁，共39頁，2023年，2月20日，星期三羅巴切夫斯基羅巴切夫斯基NikolaiIvanovichLobachevskii（1793-1856）

大約在1815年開始研究第五公設(shè)問題。羅巴切夫斯基以深刻的洞察力提出了導致幾何學革命的新思想。他大膽預言，由第五公設(shè)的否命題出發(fā)而得到的結(jié)果代表著一種新的幾何學。第26頁，共39頁，2023年，2月20日，星期三非歐幾何的誕生及其阻力1826年2月11日羅巴切夫斯基在喀山大學物理數(shù)學系會議上宣讀了題為《幾何學原理簡述及平行線定律的嚴格證明》的論文。在否定第五公理的同時，假設(shè)其反面之一：“過已知直線外一點，可作多于一條的直線與已知直線平行”，建立了一門新的幾何學。這是過去2000年以來的重大突破。但是在一般人心目中，甚至數(shù)學家的心目中，歐幾里德堡壘是如此堅固。羅巴切夫斯基的工作得到的是許多數(shù)學大家的嘲笑、諷刺。第27頁，共39頁，2023年，2月20日，星期三波耶（1802-1860，JánosBolyai）非歐幾何的另一位創(chuàng)始人是匈牙利數(shù)學家波耶。就讀于維也納工學院的波耶醉心于第五公設(shè)問題。在1820年左右他相信建立一套新幾何學是完全可能的。波耶和羅巴切夫斯基所描述的非歐幾何習慣上稱為羅巴切夫斯基幾何或雙曲幾何。第28頁，共39頁，2023年，2月20日，星期三羅巴切夫斯基幾何的基本特征（1）承認空間是彎曲的，任何直線都是曲線，任何平面都是曲面；（2）其所描述的空間曲率處處等于一個非零常數(shù)；就是說空間處處一樣彎，并且是均勻的；（3）認為平面上過一點可以作無數(shù)條直線和一已知直線不相交，它們和已知直線都不能保持同一距離；（4）三角形三內(nèi)角之和小于180度；（5）圓的周長與半徑不成比例，而是比半徑增長得快。第29頁，共39頁，2023年，2月20日，星期三黎曼

BernhardRiemann

1826-1866非歐幾何在創(chuàng)立后三、四十年間完全被學術(shù)界忽視，直到十九世紀中期，黎曼的工作導致了突破。第30頁，共39頁，2023年，2月20日，星期三黎曼空間黎曼在高斯的指導下進行研究。黎曼認為，非歐幾何不僅僅只有一種。他推廣了曲面的高斯曲率，建立起黎曼空間的曲率概念。在一般黎曼空間中，空間每一點的曲率是不同的，也就是說黎曼空間本質(zhì)上是不均勻的。第31頁，共39頁，2023年，2月20日，星期三黎曼曲率為常數(shù)在黎曼曲率為常數(shù)的特殊情況下，空間分為三種類型：（1）零曲率空間，即歐氏幾何空間；（2）負曲率空間，即羅氏幾何空間；（3）正曲率空間，即狹義的黎曼幾何空間或稱橢圓幾何空間。歐氏幾何和羅氏幾何成了更為一般的黎曼幾何的特例。第32頁，共39頁，2023年，2月20日，星期三黎曼幾何的特征在黎曼幾何中歐幾里德的第五公設(shè)被替換為：通過已知直線外一點，不能畫一條直線與已知直線平行。作為推論，在黎曼空間中，通過兩點可以畫無窮多條直線；不存在無限長直線的概念；三角形三內(nèi)角之和總大于180度。第33頁，共39頁，2023年，2月20日，星期三只有一位聽眾懂1854年黎曼做了題為《關(guān)于作為幾何學基礎(chǔ)的假設(shè)》的就職講演，在這個講演中正式提出和建立了黎曼幾何。講演題目是高斯指定的。他的聽眾中除了年邁的高斯之外沒有一個人聽得懂他在說些什么。黎曼的講演在他死后兩年即1868年出版。第34頁，共39頁，2023年，2月20日，星期三非歐幾何地位的確立同一年(1868)意大利數(shù)學家貝爾特拉米（Beltrami，1835-1899）給出了羅氏幾何的一個歐幾里德解釋；克萊因（Klein，1849-1925）在1870年給出了另一個更直觀的模型，使得原來似乎復雜和難以接受的思想變得易于理解了。以貝爾特拉米和克萊因的工作為契機，非歐幾何在數(shù)學領(lǐng)域的地位才牢固地確立起來。第35頁，共39頁，2023年，2月20日，星期三1、解決了平行公理的獨立性問題。推動了一般公理體系的獨立性、相容性、完備性問題的研究，促進了數(shù)學基礎(chǔ)這一更為深刻的數(shù)學分支的形成與發(fā)展。2、證明了對公理方法本身的研究能推動數(shù)