第二章?lián)p失分布2023/5/3第1頁，共22頁，2023年，2月20日，星期三保險中的理賠和損失都是不確定的，而且可以用貨幣去度量，因此常用隨機變量去描述對于隨機變量的把握莫過于獲得它的分布獲得它的分布通常可以用一些統(tǒng)計的方法，包括分布擬合的方法、bayes方法和隨機模擬的方法2.1引言第2頁，共22頁，2023年，2月20日，星期三2.2隨機變量的描述(1)密度函數(shù)pdf(2)分布函數(shù)cdf(3)矩母函數(shù)mgf（momentgenerationfunction)(1)和(2)都是我們所熟知的，本節(jié)重點介紹矩母函數(shù)第3頁，共22頁，2023年，2月20日，星期三定義2.2.1：對一個非負隨機變量X，其矩母函數(shù)定義為:隨機變量的矩母函數(shù)與分布函數(shù)一一對應。如果X和Y相互獨立，則第4頁，共22頁，2023年，2月20日，星期三X的k階矩等于這就是矩母函數(shù)的得名由來！第5頁，共22頁，2023年，2月20日，星期三Mgf的性質(zhì)：（1）與分布函數(shù)一一對應（2）與K階原點矩的關(guān)系（3）相互獨立的隨機變量的和的矩母函數(shù)的求法（4）若Y＝aX＋b，則Y的矩母函數(shù)為：第6頁，共22頁，2023年，2月20日，星期三例2.2.1：計算possion分布的矩母函數(shù)例2.2.2：計算Gamma分布的矩母函數(shù)第7頁，共22頁，2023年，2月20日，星期三保險損失或賠付中一般涉及兩個隨機變量：索賠次數(shù)和每次索賠金額。索賠次數(shù)用離散的隨機變量來刻畫，索賠金額用連續(xù)的隨機變量來刻畫。因此需要大家記住一些常見的隨機變量的分布（包括概率密度函數(shù)、均值、方差、矩母函數(shù)）。見講義P5，表1.3.1和表1.3.2第8頁，共22頁，2023年，2月20日，星期三2.3隨機變量的和如何計算兩個相互獨立的隨機變量的和的分布方法之一：用卷積公式方法之二：用矩母函數(shù)例2.3.1講義P11，例1.5.2例2.3.2講義P10，例1.5.1都可以推廣到多個隨機變量第9頁，共22頁，2023年，2月20日，星期三2.4隨機和稱為隨機和，這里為取非負整數(shù)值的隨機變量為獨立同分布的隨機序列實際應用，N代表索賠次數(shù)，X代表每次索賠額，S代表總索賠額。第10頁，共22頁，2023年，2月20日，星期三例2.4.1計算上述隨機和S的cdf、mgf、數(shù)學期望和方差。（詳見講義P12）第11頁，共22頁，2023年，2月20日，星期三例2.4.2先擲一顆骰子，再根據(jù)骰子所示的點數(shù)，將一枚硬幣拋擲若干次。以X表示骰子所示點數(shù)，Y表示投擲硬幣時出現(xiàn)正面的次數(shù)，試求Y的數(shù)學期望和方差。第12頁，共22頁，2023年，2月20日，星期三例2.4.3一名礦工陷進一個有三扇門的礦井中，第一扇門遇到一個隧道，走2個小時可以到達安全區(qū)，第二扇門遇到又一個隧道，走3小時會使他回到這礦井中，第三扇門通到又一個隧道，走5小時也會使他回到礦井中。假定這礦工總是等可能地在三扇門中選擇一扇，計算礦工到達安全區(qū)的時間X的矩母函數(shù)。第13頁，共22頁，2023年，2月20日，星期三2.5混合分布與復合分布2.5.1混合分布：設為一個隨機變量，當時，N的分布為，令為的累積分布，為的pdf，則N的分布列為或者：N的分布稱為混合分布。為泊松分布時，N的分布稱為混合泊松分布。第14頁，共22頁，2023年，2月20日，星期三例2.5.1負二項分布可以看作是Gamma分布與poisson分布的混合（詳見講義P9）

第15頁，共22頁，2023年，2月20日，星期三如何求混合分布的期望和方差？第16頁，共22頁，2023年，2月20日，星期三例2.5.2假設投保車險的駕駛員可以分為兩類，他們出事的次數(shù)服從泊松分布，其中好的一類的泊松參數(shù)為0.11，壞的一類的泊松參數(shù)為0.70，好的駕駛員和壞的駕駛員的比例為0.94和0.06，則任意一個駕駛員出事的次數(shù)分布時多少？第17頁，共22頁，2023年，2月20日，星期三例2.5.3Actuarieshavemodeledautowindshieldclaimfrequencies.TheyhaveconcludedthatthenumberofwindshieldclaimsfiledperyearperdriverfollowsthePoissondistributionwithparameter，where

followsthegammadistributionwithmean3andvariance3.Calculatetheprobabilitythatadriverselectedatrandomwillfilenomorethan1windshieldclaimnextyear.第18頁，共22頁，2023年，2月20日，星期三

解：設gamma分布參數(shù)為和。由gamma分布的均值和方差公式有解得，。由前面的定理知，N服從負二項分布，于是計算得到第19頁，共22頁，2023年，2月20日，星期三2.5.2復合分布：設和分別為兩個隨機變量，與的分布相同，且Mi與N獨立則

的分布稱為的復合分布背景：N表示單位時間內(nèi)損失事故的發(fā)生數(shù)

表示單位時間內(nèi)損失事件產(chǎn)生的索賠額表示一年內(nèi)索賠的總次數(shù)

第20頁，共22頁，2023年，2月20日，星期三當為poisson分布時的分布稱為復合poisson分布注意：復合poisson分布的卷積仍為復合poisson分布第21頁，共22頁，2023年，2月20日，星期三2.6損失分布的擬合一般步