第五章生存金第1頁(yè)，共85頁(yè)，2023年，2月20日，星期三生存年金生存年金的定義：以被保險(xiǎn)人存活為條件，間隔相等的時(shí)期（年、半年、季、月）支付一次保險(xiǎn)金的保險(xiǎn)類型分類初付年金/延付年金連續(xù)年金/離散年金定期年金/終身年金非延期年金/延期年金第2頁(yè)，共85頁(yè)，2023年，2月20日，星期三生存年金與確定性年金的關(guān)系確定性年金支付期數(shù)確定的年金（利息理論中所講的年金）生存年金與確定性年金的聯(lián)系都是間隔一段時(shí)間支付一次的系列付款生存年金與確定性年金的區(qū)別確定性年金的支付期數(shù)確定生存年金的支付期數(shù)不確定（以被保險(xiǎn)人生存為條件）第3頁(yè)，共85頁(yè)，2023年，2月20日，星期三生存年金的用途被保險(xiǎn)人保費(fèi)交付常使用生存年金的方式某些場(chǎng)合保險(xiǎn)人保險(xiǎn)理賠的保險(xiǎn)金采用生存年金的方式，特別在：養(yǎng)老保險(xiǎn)傷殘保險(xiǎn)撫恤保險(xiǎn)失業(yè)保險(xiǎn)第4頁(yè)，共85頁(yè)，2023年，2月20日，星期三假設(shè)某人x歲時(shí)開(kāi)始投保，為方便通常記為(x)，在經(jīng)過(guò)n年后如果仍存活將得到金額為k的生存保險(xiǎn)金，(x)存活n年的概率為。也就是說(shuō)(x)在n年末能夠得到k金額的概率為，這樣n年末得到給付金的期望值為·

。這一值在投保時(shí)的現(xiàn)值便為。我們把這一現(xiàn)值稱為k金額的n年純粹生存保險(xiǎn)現(xiàn)值。第5頁(yè)，共85頁(yè)，2023年，2月20日，星期三定義現(xiàn)齡x歲的人在投保n年后仍然存活，可以在第n年末獲得生存賠付的保險(xiǎn)。也就是我們?cè)诘谌轮v到的n年期純生存保險(xiǎn)。單位元數(shù)的n年期生存保險(xiǎn)的躉繳純保費(fèi)為在生存年金研究中習(xí)慣用表示該保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值第6頁(yè)，共85頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第7頁(yè)，共85頁(yè)，2023年，2月20日，星期三

式中，稱為轉(zhuǎn)換函數(shù)；是1元n年純粹生存保險(xiǎn)現(xiàn)值又稱為1元n年純粹生存保險(xiǎn)的躉繳凈保費(fèi)。這一公式表明，現(xiàn)在x歲的人每人存入入到n年末在復(fù)利率i的作用下生成的金額正好滿足到n年末仍存活的人每人1元給付。因此為保證n年末存活者得到每人1元保險(xiǎn)金，在投保時(shí)必須一次性繳付元。這正是前面第8頁(yè)，共85頁(yè)，2023年，2月20日，星期三把稱為躉繳凈保費(fèi)的原因。人繳付后，在n年內(nèi)必然有一部分人在死亡率作用下死去，從而不可能在n年末領(lǐng)到保險(xiǎn)金，他們當(dāng)初購(gòu)買保險(xiǎn)的支出被尚存者分享。保險(xiǎn)中把這種尚存者分享期內(nèi)死亡者利益的情況稱為生存者利益或簡(jiǎn)稱為“生者利”。與是利率下的折現(xiàn)因子、是利率下的累積因子類似，可以看作是在利率和生者利下的折現(xiàn)因子，可以看作是利率和生者利下的累積因子。第9頁(yè)，共85頁(yè)，2023年，2月20日，星期三相關(guān)公式及意義

年齡xx+tx+n現(xiàn)時(shí)值11S1第10頁(yè)，共85頁(yè)，2023年，2月20日，星期三§5.1n年期滿一次性支付的生存年金

一、（x）在n年期滿生存所得的1單位的精算現(xiàn)值二、替換函數(shù)

第11頁(yè)，共85頁(yè)，2023年，2月20日，星期三5.2.1期末付終身生存年金

終身生存年金的保險(xiǎn)期沒(méi)有限制，只要被保險(xiǎn)人存活，每隔一定時(shí)期保險(xiǎn)人就必須給付一定金額與被保險(xiǎn)人。假設(shè)某人從x歲開(kāi)始投保，記為(x)，第一次給付在第一年年末，以后每隔一年以被保險(xiǎn)人存活為條件給付。假設(shè)每年給付額為1元，此時(shí)，這一生存年金現(xiàn)值以表示，用圖4—1表示。第12頁(yè)，共85頁(yè)，2023年，2月20日，星期三

顯然，是保險(xiǎn)期分別為1年、2年、3年等一系列1元純粹生存保險(xiǎn)現(xiàn)值之和。即

公式(4．46)的求和上限實(shí)際為w-x-1，w-1是生命表最大年齡。為方便通常寫為。第13頁(yè)，共85頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第14頁(yè)，共85頁(yè)，2023年，2月20日，星期三期末付n年定期生存年金

n年定期生存年金的年金給付期最大為n，因此它相當(dāng)于終身生存年金的一部分。以表示對(duì)(x)的每年1元期末付n年定期生存年金現(xiàn)值。第15頁(yè)，共85頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第16頁(yè)，共85頁(yè)，2023年，2月20日，星期三n年延期的m年定期期末付生存年金

這是延期年金與定期年金的合并，即延期n年后進(jìn)入年金實(shí)付期，并在最多給付m年后結(jié)束給付。以表示1元給付的這一年金現(xiàn)值，則第17頁(yè)，共85頁(yè)，2023年，2月20日，星期三5.2.2期初付終身生存年金1第18頁(yè)，共85頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第19頁(yè)，共85頁(yè)，2023年，2月20日，星期三期初付n年定期生存年金第20頁(yè)，共85頁(yè)，2023年，2月20日，星期三n年延期期初付生存年金第21頁(yè)，共85頁(yè)，2023年，2月20日，星期三§5.2每年支付一次的生存年金小結(jié)

一、期初付生存年金1、終身生存年金:

其中2、n年定期生存年金：第22頁(yè)，共85頁(yè)，2023年，2月20日，星期三§5.2每年支付一次的生存年金3．延付n年的終身生存年金：4．延付n年的m年定期生存年金：

第23頁(yè)，共85頁(yè)，2023年，2月20日，星期三§5.2每年支付一次的生存年金小結(jié)二、期末生存年金1．終身生存年金：2．n年定期生存年金：第24頁(yè)，共85頁(yè)，2023年，2月20日，星期三§5.2每年支付一次的生存年金3．延付n年的終身生存年金：4．延付n年的m年定期生存年金：第25頁(yè)，共85頁(yè)，2023年，2月20日，星期三§5.2每年支付一次的生存年金三、生存年金的精算終值：1．2、第26頁(yè)，共85頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例5.1設(shè)對(duì)60歲的人每年年末給付養(yǎng)老金10000元，直到死亡，求該年金的精算現(xiàn)值（i=6%）解：第27頁(yè)，共85頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例5.2

某人現(xiàn)年35午，欲購(gòu)買一份10年起每年年初給付1000元的生存年金，求該年金的精算現(xiàn)值（i=6%）解：第28頁(yè)，共85頁(yè)，2023年，2月20日，星期三作業(yè)：1.試分別計(jì)算一現(xiàn)年60歲者購(gòu)買期末及期初付金額1000元的終身生存年金的精算現(xiàn)值（i=6%）2.某人現(xiàn)年50歲，以10000元購(gòu)買于51歲開(kāi)始給付的終身生存年金，試求其每年所得的年金額（i=6%3.年齡為55歲者，購(gòu)買下列生存年金，每年給付年金額為3500元，試分別求其應(yīng)繳的躉繳純保費(fèi):(1)期初付和期末付15年定期生存年金；（2）期初付和期末付終身生存年金；（3）在60歲時(shí)開(kāi)始支付的終身生存年金；（4）在60歲時(shí)開(kāi)始支付的15年定期生存年金（i=6%）第29頁(yè)，共85頁(yè)，2023年，2月20日，星期三幾種變額年金5.5.1遞增的終身生存年金第30頁(yè)，共85頁(yè)，2023年，2月20日，星期三

可見(jiàn)，可以看成終身生存年金、延付1年的終身生存年金、延付2年的終身生存年金等的組合。第31頁(yè)，共85頁(yè)，2023年，2月20日，星期三5.5.2遞增的n年定期生存年金第32頁(yè)，共85頁(yè)，2023年，2月20日，星期三5.5.3n年定期遞增的終身生存年金

第33頁(yè)，共85頁(yè)，2023年，2月20日，星期三5.5.4遞減的n年定期生存年金

這一年金可以看成每年給付1元的定期n年,n-1年,n-2年…1年等年金的組合。因此第34頁(yè)，共85頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第35頁(yè)，共85頁(yè)，2023年，2月20日，星期三§5.2每年支付一次的生存年金小結(jié)四、變額生存年金1、遞增年金，其中

第36頁(yè)，共85頁(yè)，2023年，2月20日，星期三§5.2每年支付一次的生存年金第37頁(yè)，共85頁(yè)，2023年，2月20日，星期三§5.2每年支付一次的生存年金2、遞減年金

第38頁(yè)，共85頁(yè)，2023年，2月20日，星期三§5.2每年支付一次的生存年金第39頁(yè)，共85頁(yè)，2023年，2月20日，星期三§5.3每年支付m次的生存年金

一、期末付年金1、終身生存年金：2、延付n年的終身生存年金：3、n年定期生存年金：第40頁(yè)，共85頁(yè)，2023年，2月20日，星期三§5.5每年支付m次的生存年金二、期初付年金1．終身生存年金：2．延付n年的終身生存年金：3．n年定期生存年金：第41頁(yè)，共85頁(yè)，2023年，2月20日，星期三

每半年、一季或一個(gè)月結(jié)付一次、一年給付多次的生存年金，其現(xiàn)值和終值的計(jì)算方法與前面討論的每年給付一次的情況相同。但由于生命表不直接提供非整數(shù)年齡的存活概率和死亡概率，因此，需要用到一些近似的換算方法。對(duì)(x)的每年給付1元，一年給付m次的期末付終身生存年金，其現(xiàn)值以表示。顯然這一年金每次給付額為，以圖4—3表示。一年內(nèi)m次給付的生存年金

近似計(jì)算第42頁(yè)，共85頁(yè)，2023年，2月20日，星期三非整數(shù)年齡的轉(zhuǎn)換函數(shù)值可以在一定假設(shè)下近似計(jì)算，最簡(jiǎn)單的近似方法是在兩個(gè)整數(shù)年齡間線形插值第43頁(yè)，共85頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第44頁(yè)，共85頁(yè)，2023年，2月20日，星期三上面年金在期首給付時(shí)，以表示其現(xiàn)值：第45頁(yè)，共85頁(yè)，2023年，2月20日，星期三

對(duì)(x)延期n年的每年給付1元，一年給付m次的期末付生存年金，現(xiàn)值以表示：第46頁(yè)，共85頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第47頁(yè)，共85頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第48頁(yè)，共85頁(yè)，2023年，2月20日，星期三5.5.5一年內(nèi)m次給付的遞增年金

一年多次給付的遞增年金有兩種不同的情況，第一種是年內(nèi)各次給付額相等，變額發(fā)生在不同年齡上。對(duì)(x)的第一年給付1元，以后每年增加給付1元，各年的給付額通過(guò)m次等額給付實(shí)現(xiàn)的期末付終身生存年金，其現(xiàn)值以表示，見(jiàn)圖第49頁(yè)，共85頁(yè)，2023年，2月20日，星期三這一年金可以分解為一系列一年m次給付的延期年金之和第50頁(yè)，共85頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第二種每年m次給付的遞增年金是給付額隨給付的延續(xù)不斷遞增的年金。對(duì)(x)的第一年末給付，第二年末給付等，每年給付額通過(guò)m次遞增給付實(shí)現(xiàn)，則第一個(gè)給付額為，第二個(gè)年給付額為等。每個(gè)年遞增，這一年金現(xiàn)值用表示，見(jiàn)圖4—8第51頁(yè)，共85頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第52頁(yè)，共85頁(yè)，2023年，2月20日，星期三水平給付的一般公式在年齡y歲時(shí)提供給付額為R的年金在年齡x歲時(shí)的精算值為：X<y，精算現(xiàn)值X>y，精算終值第53頁(yè)，共85頁(yè)，2023年，2月20日，星期三在年齡y歲、y+1歲、y+2歲、……z-1歲分別提供R的生存年金，以x歲的精算現(xiàn)值為：X是計(jì)算精算值對(duì)應(yīng)的年齡Y是年金第一次給付對(duì)應(yīng)的年齡Z是年金最后一次給付一年以后對(duì)就的年齡第54頁(yè)，共85頁(yè)，2023年，2月20日，星期三一年給付m次的水平年金的一般公式P92—P94X是計(jì)算精算值對(duì)應(yīng)的年齡Y是年金第一次給付對(duì)應(yīng)的年齡Z是年金最后一次給付以后年以后對(duì)就的年齡第55頁(yè)，共85頁(yè)，2023年，2月20日，星期三簡(jiǎn)介連續(xù)生存年金的定義在保障時(shí)期那，以被保險(xiǎn)人存活為條件，連續(xù)支付年金的保險(xiǎn)連續(xù)生存年金的種類終身連續(xù)生存年金/定期連續(xù)生存年金連續(xù)生存年金精算現(xiàn)值的估計(jì)方法綜合支付技巧：考慮年金在死亡或到期而結(jié)束時(shí)的總值當(dāng)期支付技巧：考慮未來(lái)連續(xù)支付的現(xiàn)時(shí)值之和§5.4連續(xù)給付的生存年金

第56頁(yè)，共85頁(yè)，2023年，2月20日，星期三

連續(xù)遞增年金

上面討論的一年多次給付的遞增年金，當(dāng)給付次數(shù)m趨于無(wú)窮大時(shí)，成為連續(xù)遞增年金。對(duì)年內(nèi)各次給付額相等的遞增年金，當(dāng)m趨于無(wú)窮大時(shí)的連續(xù)年金以表示：第57頁(yè)，共85頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第58頁(yè)，共85頁(yè)，2023年，2月20日，星期三對(duì)年內(nèi)各次給付額遞增的年金，當(dāng)m趨于無(wú)窮大時(shí)的連續(xù)年金以表示第59頁(yè)，共85頁(yè)，2023年，2月20日，星期三§5.4連續(xù)給付的生存年金

1．2．3．第60頁(yè)，共85頁(yè)，2023年，2月20日，星期三§5.5完全期末生存年金和比例期初生存年金第61頁(yè)，共85頁(yè)，2023年，2月20日，星期三終身連續(xù)生存年金精算現(xiàn)值的估計(jì)一

——綜合支付技巧步驟一：計(jì)算到死亡發(fā)生時(shí)間T為止的所有已支付的年金的現(xiàn)值之和步驟二：計(jì)算這個(gè)年金現(xiàn)值關(guān)于時(shí)間積分所得的年金期望值，即終身連續(xù)生存年金精算現(xiàn)值，第62頁(yè)，共85頁(yè)，2023年，2月20日，星期三相關(guān)公式第63頁(yè)，共85頁(yè)，2023年，2月20日，星期三終身連續(xù)生存年金精算現(xiàn)值的估計(jì)二

——當(dāng)期支付技巧步驟一：計(jì)算時(shí)間T所支付的當(dāng)期年金的現(xiàn)值步驟二：計(jì)算該當(dāng)期年金現(xiàn)值按照可能支付的時(shí)間積分，得到期望年金現(xiàn)值第64頁(yè)，共85頁(yè)，2023年，2月20日，星期三相關(guān)公式及理解第65頁(yè)，共85頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例5.2在死亡力為常數(shù)0.04，利息力為常數(shù)0.06的假定下，求（1）（2）的標(biāo)準(zhǔn)差（3）超過(guò)的概率。第66頁(yè)，共85頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例5.2答案綜合支付技巧當(dāng)期支付技巧第67頁(yè)，共85頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例5.2答案第68頁(yè)，共85頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例5.2答案第69頁(yè)，共85頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例5.3在DeMoivre假定下，計(jì)算：終身連續(xù)生存年金精算現(xiàn)值及方差第70頁(yè)，共85頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例5.3答案第71頁(yè)，共85頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例5.3答案第72頁(yè)，共85頁(yè)，2023年，2月20日，星期三定期連續(xù)生存年金精算現(xiàn)值估計(jì)綜合支付技巧當(dāng)期支付技巧第73頁(yè)，共85頁(yè)，2023年，2月20日，星期三相關(guān)公式及理解第74頁(yè)，共85頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例5.4（