6.4.3余弦定理、正弦定理(3)高一必修二本節(jié)目標(biāo)1.理解測量中的有關(guān)名詞、術(shù)語的確切含義．2．能夠利用正弦定理和余弦定理等知識解決一些與測量和幾何計(jì)算有關(guān)的問題．3．探索利用數(shù)學(xué)工具解決實(shí)際問題的方法，體會數(shù)學(xué)在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用.課前預(yù)習(xí)預(yù)習(xí)課本P48～51，思考并完成以下問題(1)方向角和方位角各是什么樣的角？

(2)怎樣測量物體的高度？

(3)怎樣測量物體所在的角度？課前小測1．若P在Q的北偏東44°50′方向上，則Q在P的(

)A．東偏北45°10′方向上B．東偏北44°50′方向上C．南偏西44°50′方向上D．西偏南44°50′方向上C2．從A處望B處的仰角為α，從B處望A處的俯角為β，則α，β的關(guān)系為(

)A．α＞βB．α＝βC．α＋β＝90°D．α＋β＝180°B

C北南西東A30°B60°aa

A

ABC10km20km120°D5．一船以每小時(shí)15km的速度向東行駛，船在A處看到一燈塔B在北偏東60°，行駛4h后，船到達(dá)C處，看到這個(gè)燈塔在北偏東15°，這時(shí)船與燈塔的距離為________km.

新知探究1．基線的概念與選擇原則在測量過程中，應(yīng)根據(jù)實(shí)際需要選取合適的_________，使測量具有較高的精確度．一般來說，基線越長，測量的精確度越_______．在測量過程中，我們把根據(jù)測量的需要而確定的_______叫做基線．(1)定義線段(2)性質(zhì)基線長度高2．實(shí)際測量中的有關(guān)名稱、術(shù)語名稱定義圖示仰角在同一鉛垂平面內(nèi)，視線在水平線____方時(shí)與水平線的夾角俯角在同一鉛垂平面內(nèi)，視線在水平線____方時(shí)與水平線的夾角方向角從指定方向線到___________的水平角(指定方向線是指正北或正南或正東或正西，方向角小于90°)方位角從正北的方向線按_____時(shí)針到目標(biāo)方向線所轉(zhuǎn)過的水平角上下目標(biāo)方向線順3．運(yùn)用正、余弦定理解決實(shí)際問題的基本步驟分析建模求解檢驗(yàn)理解題意，弄清已知與未知，畫出示意圖(一個(gè)或幾個(gè)三角形)；根據(jù)已知條件與求解目標(biāo)，把已知量與待求量盡可能地集中在有關(guān)三角形中，建立一個(gè)解三角形的數(shù)學(xué)模型；利用正弦定理、余弦定理解三角形，求得數(shù)學(xué)模型的解；檢驗(yàn)所求的解是否符合實(shí)際問題，從而得出實(shí)際問題的解．題型突破典例深度剖析重點(diǎn)多維探究題型一測量距離問題[例1](1)如圖，為了測量河的寬度，在一岸邊選定兩點(diǎn)A，B，望對岸的標(biāo)記物C，測得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120m，則河的寬度是________m.30°75°120?

60(2)如圖，為測量河對岸A，B兩點(diǎn)間的距離，沿河岸選取相距40m的C，D兩點(diǎn)，測得∠ACB＝60°，∠BCD＝45°，∠ADB＝60°，∠ADC＝30°，則A，B兩點(diǎn)的距離是________．4060°45°60°30°?

方法總結(jié)測量距離的基本類型及方案類型A，B兩點(diǎn)間不可通或不可視A，B兩點(diǎn)間可視，但有一點(diǎn)不可達(dá)A，B兩點(diǎn)都不可達(dá)圖形方法先測角C，AC＝b，BC＝a，再用余弦定理求AB以點(diǎn)A不可達(dá)為例，先測角B，C，BC＝a，再用正弦定理求AB測得CD＝a，∠BCD，∠BDC，∠ACD，∠ADC，∠ACB，在△ACD中用正弦定理求AC；在△BCD中用正弦定理求BC；在△ABC中用余弦定理求AB跟蹤訓(xùn)練

D

題型二

測量高度問題[例2]如圖，測量河對岸的塔高AB時(shí)，可以選與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩點(diǎn)C與D.現(xiàn)測得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝s，并在點(diǎn)C測得塔頂A的仰角為θ，求塔高AB.

αβsθ方法總結(jié)(1)“空間”向“平面”的轉(zhuǎn)化：測量高度問題往往是空間中的問題，因此先要選好所求線段所在的平面，將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題．測量高度問題的解題策略(2)“解直角三角形”與“解斜三角形”結(jié)合，全面分析所有三角形，仔細(xì)規(guī)劃解題思路．跟蹤訓(xùn)練3．如圖所示，A，B是水平面上的兩個(gè)點(diǎn)，相距800m，在A點(diǎn)測得山頂C的仰角為45°，∠BAD＝120°，又在B點(diǎn)測得∠ABD＝45°，其中D點(diǎn)是點(diǎn)C到水平面的垂足，求山高CD.

由于CD⊥平面ABD，∠CAD＝45°，所以CD＝AD.因此只需在△ABD中求出AD即可，在△ABD中，∠BDA＝180°－45°－120°＝15°，題型三

測量角度問題

反思感悟測量角度問題的關(guān)鍵是在弄清題意的基礎(chǔ)上，畫出表示實(shí)際問題的圖形，并在圖形中標(biāo)出有關(guān)的角和距離，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后將解得的結(jié)果轉(zhuǎn)化為實(shí)際問題的解．測量角度問題的基本思路跟蹤訓(xùn)練

如圖所示，設(shè)預(yù)報(bào)時(shí)臺風(fēng)中心為B，開始影響基地時(shí)臺風(fēng)中心為C，基地剛好不受影響時(shí)臺風(fēng)中心為D，則B，C，D在一直線上，且AD＝20，AC＝20.

在△ADC中，因?yàn)镈C2＝AD2＋AC2，所以∠DAC＝90°，∠ADC＝45°.跟蹤訓(xùn)練

隨堂檢測1．若點(diǎn)A在點(diǎn)C的北偏東30°，點(diǎn)B在點(diǎn)C的南偏東60°，且AC＝BC，則點(diǎn)A在點(diǎn)B的(

)A．北偏東15°B．北偏西15°C．北偏東10°D．北偏西10°如圖所示，∠ACB＝90°，又AC＝BC，∴∠CBA＝45°，而β＝30°，∴α＝90°－45°－30°＝15°.∴點(diǎn)A在點(diǎn)B的北偏西15°.B2．我艦在島A南偏西50°相距12nmile的B處發(fā)現(xiàn)敵艦正從島A沿北偏西10°的方向以每小時(shí)10海里的速度航行，若我艦要用