2.1專題二、不等式及其解法知識(shí)梳理基礎(chǔ)篇考點(diǎn)一不等式的概念與性質(zhì)1.不等式的性質(zhì)性質(zhì)內(nèi)容注意對(duì)稱性a>b?b<a;a<b?b>a可逆?zhèn)鬟f性a>b,b>c?a>c;a<b,b<c?a<c同向可加性a>b?a+c>b+c可逆可乘性a>b,c>0?ac>bc;a>b,c<0?ac<bcc的符號(hào)移項(xiàng)法則a+b>c?a>c-b可逆同向可加性a>b,c>d?a+c>b+d同向同向同正可乘性a>b>0,c>d>0?ac>bd同向同正可乘方性a>b>0,n∈N*?an>bn同正可開(kāi)方性a>b>0?

>

(n∈N,n≥2)同正2.不等式的倒數(shù)和分?jǐn)?shù)性質(zhì)1)倒數(shù)性質(zhì):a>b,ab>0?

<

;a<0<b?

<

.2)分?jǐn)?shù)性質(zhì):若a>b>0,m>0,則

<

;

>

(b-m>0);

>

;

<

(b-m>0).考點(diǎn)二不等式的解法1.一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)及一元二次方程的關(guān)系Δ=b2-4acΔ>0Δ=0Δ<0y=ax2+bx+c(a>0)的圖象

ax2+bx+c=0(a>0)的根有兩個(gè)相異實(shí)根x1,x2(x1

<x2)有兩個(gè)相等實(shí)根x1=x2=-

沒(méi)有實(shí)根ax2+bx+c>0(a>0)的解

集{x|x<x1或x>x2}

x

x≠-

Rax2+bx+c<0(a>0)的解

集{x|x1<x<x2}??在不等式ax2+bx+c>0(a≠0)中,如果二次項(xiàng)系數(shù)a<0,則可先根據(jù)不等式的

性質(zhì),將其轉(zhuǎn)化為正數(shù),再對(duì)照上表求解.2.分式不等式的解法1)

>0(<0)?f(x)·g(x)>0(<0);2)

≥0(≤0)?

3.絕對(duì)值不等式的解法1)|f(x)|>|g(x)|?[f(x)]2>[g(x)]2;2)|f(x)|>g(x)?f(x)>g(x)或f(x)<-g(x);3)|f(x)|<g(x)?-g(x)<f(x)<g(x);4)含兩個(gè)或兩個(gè)以上絕對(duì)值符號(hào)的不等式可用零點(diǎn)分區(qū)間的方法脫去絕對(duì)值符號(hào)求解,也可以用圖象法求解.綜合篇考法一元二次不等式恒成立問(wèn)題1.不等式解集法:不等式f(x)≥0在x∈A時(shí)恒成立?集合A是不等式f(x)≥0

的解集B的子集.通過(guò)求出不等式的解集,利用集合間的關(guān)系得出參數(shù)的

取值范圍.2.分離參數(shù)法:不等式f(x,λ)≥0(x∈D,λ為實(shí)參數(shù))恒成立?λ≥g(x)或λ≤g(x)(x∈D)恒成立?λ≥g(x)max或λ≤g(x)min,進(jìn)而求得g(x)(x∈D)的最值即可.

該方法適用于參數(shù)與變量易分離,且函數(shù)最值易求得的題目.3.變換主元法:更換變?cè)c參數(shù)的位置,構(gòu)造以參數(shù)為變量的函數(shù),根據(jù)原

變量的取值范圍列式求解.一般地,知道誰(shuí)的范圍,就選誰(shuí)當(dāng)主元,求誰(shuí)的

范圍,誰(shuí)就是參數(shù).4.數(shù)形結(jié)合法:結(jié)合函數(shù)圖象將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的對(duì)稱軸、區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值或函數(shù)圖象的位置(相對(duì)于x軸)關(guān)系求解.例1

(2022福建廈門一中期中,4)不等式ax2+5x-7a>3-2x2對(duì)一切a∈(-1,0)

恒成立,則實(shí)數(shù)x的取值范圍是

(

)A.(-∞,-4]∪

B.(-∞,-4]∪[-1,+∞)C.(-4,-1)D.

解析令f(a)=a(x2-7)+5x-3+2x2,則f(a)對(duì)一切a∈(-1,0)均大于0恒成立,則

有

化簡(jiǎn)得

解得

故x≤-4或x≥

.故選A.答案

A例2

(2021江蘇連云港測(cè)試,14)設(shè)函數(shù)f(x)=mx2-mx-1.若對(duì)于x∈[1,3],f(x)<

-m+5恒成立,求m的取值范圍.解析要使f(x)<-m+5在x∈[1,3]上恒成立,則m(x2-x+1)-6<0在x∈[1,3]上恒

成立.因?yàn)閤2-x+1=

+

>0,又因?yàn)閙(x2-x+1)-6<0,所以m<

.又因?yàn)楹瘮?shù)y=

=

在[1,3]上單調(diào)遞減,所以ymin=

,所以m<

.所以,m的取值范圍是

.名師點(diǎn)睛1.一元二次不等式在R上恒成立的條件(1)不等式ax2+bx+c≥0對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立的條件是①當(dāng)a=0時(shí),b=0,c≥0;

②當(dāng)a≠0時(shí),

(2)不等式ax2+bx+c≤0對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立的條件是①當(dāng)a=0時(shí),b=0,c≤0;

②當(dāng)a≠0時(shí),

2.一元二次不等式在給定區(qū)間上恒成立的求解方法設(shè)f(x)=ax2+bx+c(a≠0).(1)當(dāng)a<0時(shí),f(x)<0在x∈[α,β]上恒成立?

或

或Δ<0.f(x)>0在x∈[α,β]上恒成立?

(2)當(dāng)a>0時(shí),f(x)<0在x∈[α,β]上恒成立?

f(x)>0在x∈[α,β]上恒成立?

或

或Δ<0.易錯(cuò)提醒解決恒成立問(wèn)題一定要搞清楚誰(shuí)是主元,誰(shuí)是參數(shù).2.1專題二、不等式及其解法習(xí)題精練基礎(chǔ)篇考點(diǎn)一不等式的概念與性質(zhì)考向一利用不等式性質(zhì)比較大小1.(多選)(2023屆福建龍巖一中月考,9)若

<

<0,則下列結(jié)論中正確的是

(

)A.a2<b2

B.ab<b2C.|a|+|b|>|a+b|

D.a3>b3答案

ABD

2.(2022山東日照二模,4)若a,b,c為實(shí)數(shù),且a<b,c>0,則下列不等關(guān)系一定成

立的是

(

)A.a+c<b+c

B.

<

C.ac>bc

D.b-a>c答案

A

3.(2014四川,4,5分)若a>b>0,c<d<0,則一定有

(

)A.

>

B.

<

C.

>

D.

<

答案

D

4.(多選)(2022廣東汕頭二模,9)已知a,b,c滿足c<a<b,且ac<0,那么下列各式

中一定成立的是

(

)A.ac(a-c)>0

B.c(b-a)<0C.cb2<ab2

D.ab>ac答案

BCD

5.(多選)(2022河北承德模擬,9)若實(shí)數(shù)a,b滿足a4<a3b,則下列選項(xiàng)中一定成

立的有

(

)A.a2<b2

B.a3<b3C.ea-b<1

D.ln

<0答案

AD

考向二作差(商)法比較大小問(wèn)題1.(2023屆安徽十校聯(lián)考,5)已知實(shí)數(shù)a>b>c,abc≠0,則下列結(jié)論一定正確

的是

(

)A.

>

B.ab>bcC.

<

D.ab+bc>ac+b2答案

D

2.(2022重慶育才中學(xué)開(kāi)學(xué)練,9)若M=x2+y2+1,N=2(x+y-1),則M與N的大小

關(guān)系為

(

)A.M<N

B.M>NC.M=N

D.不能確定答案

B

3.(2021江蘇濱海中學(xué)月考,6)下列命題為真命題的是

(

)A.若a<b<0,則

<

B.若a>b>0,則ac2>bc2C.若c>a>b>0,則

<

D.若a>b>c>0,則

>

答案

D

4.(多選)(2022福建寧德一中期中,10)下列四個(gè)命題中,真命題是

(

)A.若

>

,則x<yB.若xy>0,則

+

≥2C.若x>y>0,c>0,則

<

D.若xy+1>x+y,則x>1,y>1答案

BC

5.(2022全國(guó)甲理,12,5分)已知a=

,b=cos

,c=4sin

,則

(

)A.c>b>a

B.b>a>cC.a>b>c

D.a>c>b答案

A

考點(diǎn)二不等式的解法考向一解一元二次不等式1.(2023屆山東濰坊臨朐實(shí)驗(yàn)中學(xué)月考,6)若關(guān)于x的不等式(a2-4)x2+(a+2)x

-1≥0的解集不為空集,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為

(

)A.

B.

C.(-∞,-2)∪

D.(-∞,-2]∪

答案

C

2.(多選)(2023屆山西長(zhǎng)治質(zhì)量檢測(cè),10)已知函數(shù)y=x2+ax+b(a>0)有且只有

一個(gè)零點(diǎn),則

(

)A.a2-b2≤4B.a2+

≥4C.若不等式x2+ax-b<0的解集為(x1,x2),則x1x2>0D.若不等式x2+ax+b<c的解集為(x1,x2),且|x1-x2|=4,則c=4答案

ABD

3.(多選)(2021南京一中階段練,10)對(duì)于給定實(shí)數(shù)a,關(guān)于x的一元二次不等

式(ax-1)·(x+1)<0的解集可能是(

)A.

B.{x|x≠-1}C.

D.R答案

AB

4.(2019天津文,10,5分)設(shè)x∈R,使不等式3x2+x-2<0成立的x的取值范圍為

.答案

考向二三個(gè)“二次”之間的關(guān)系應(yīng)用1.(2021山東師范大學(xué)附中一模,4)若不等式ax2+bx+c>0的解集為{x|-1<x<

2},則不等式a(x2+1)+b(x-1)+c<2ax的解集為

(

)A.{x|-2<x<1}

B.{x|x<-2或x>1}C.{x|x<0或x>3}

D.{x|0<x<3}答案

C

2.(2022山東新泰一中月考)若不等式ax2-x-c>0的解集為

,則函數(shù)y=cx2-x-a的圖象可以為

(

)

A

B

C

D答案

C

3.(多選)(2021廣東東莞中學(xué)檢測(cè),10)已知關(guān)于x的不等式ax2+bx+c≥0的解

集為{x|x≤-3或x≥4},則下列說(shuō)法正確的是

(

)A.a>0B.不等式bx+c>0的解集為{x|x<-4}C.不等式cx2-bx+a<0的解集為

D.a+b+c>0答案

AC

4.(多選)(2021江蘇鹽城11月練習(xí),10)已知不等式ax2+bx+c>0的解集為{x|m

<x<n},其中m>0,則以下選項(xiàng)正確的有

(

)A.a<0B.c>0C.cx2+bx+a>0的解集為

D.cx2+bx+a>0的解集為

答案

AC

5.(2023屆山東濰坊臨朐實(shí)驗(yàn)中學(xué)月考,13)若關(guān)于x的不等式ax2+bx+c>0的

解集為{x|-1<x<3},則關(guān)于x的不等式cx2+bx+a>0的解集為

.答案

6.(2023屆山東濰坊五縣聯(lián)考,14)關(guān)于x的方程2x2-4(m-1)x+m2+7=0的兩根

之差的絕對(duì)值不大于2,則實(shí)數(shù)m的最大值與最小值的和為

.答案

47.(2022山東濰坊安丘等三縣測(cè)試,17)已知函數(shù)f(x)=ax2+bx+2,關(guān)于x的不

等式f(x)>0的解集為{x|-2<x<1}.(1)求實(shí)數(shù)a,b的值;(2)若關(guān)于x的不等式ax2+2x-3b>0的解集為A,關(guān)于x的不等式3ax+bm<0的

解集為B,且A?B,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.解析

(1)由題意知,-2,1是關(guān)于x的方程ax2+bx+2=0的兩個(gè)根,且a<0,所以

所以a=-1,b=-1.(2)不等式-x2+2x+3>0的解集為A={x|-1<x<3},不等式-3x-m<0的解集為B=

,因?yàn)锳?B,所以-

≤-1,解得m≥3.故m的取值范圍為{m|m≥3}.綜合篇考法一元二次不等式恒成立問(wèn)題考向一直接轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值1.(2022湖北恩施高中、荊州中學(xué)等四校聯(lián)考,6)設(shè)函數(shù)f(x)=mx2-mx-1,若

對(duì)于任意的x∈{x|1≤x≤3},f(x)<-m+4恒成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍為

(

)A.{m|m≤0}

B.

C.

D.

答案

D

2.(2022福建龍巖模擬,4)?x∈(1,3],一元二次不等式x2-(m+2)x+m+2≥0恒

成立,則m的取值范圍是

(

)A.(-2,2)

B.

C.[-2,2]

D.(-∞,2]答案

D

3.(2022重慶涪陵高級(jí)中學(xué)沖刺卷二,5)當(dāng)x∈(1,2)時(shí),x2+mx+4<0恒成立,則

m的取值范圍是

(

)A.m≤-4

B.