PAGEPAGE103第二部分?jǐn)?shù)學(xué)物理方程在物理學(xué)中，很多物理規(guī)律、物理現(xiàn)象、物理過程和物理狀態(tài)的變化等都需要用微分方程來(lái)描述。有些是用常微分方程來(lái)描述，如經(jīng)典力學(xué)中質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)組的運(yùn)動(dòng)方程是常微分方程，而在研究連續(xù)介質(zhì)和場(chǎng)（如電磁場(chǎng)、引力場(chǎng)、溫度場(chǎng)）時(shí)會(huì)遇到偏微分方程，量子力學(xué)中的運(yùn)動(dòng)方程（薛定諤方程）也是偏微分方程。在本課程的第二部分“數(shù)學(xué)物理方程”部分，我們主要學(xué)習(xí)如何求解在物理學(xué)中經(jīng)常遇到的幾種典型的偏微分方程。在開始學(xué)習(xí)之前，我們先簡(jiǎn)要復(fù)習(xí)一下：（1）什么叫常微分方程？（2）什么叫偏常微分方程？（3）什么叫微分方程的定解問題？1、常微分方程：聯(lián)系一個(gè)自變量，該自變量的一個(gè)未知函數(shù)和它的某些階導(dǎo)數(shù)的一個(gè)關(guān)系式（即等式）：出現(xiàn)在方程（或方程組）中的最高階導(dǎo)數(shù)稱為該常微分方程的階數(shù)。常微分方程中要求解的未知函數(shù)是一元函數(shù)（只有一個(gè)自變量）。例：（二階常微分方程）2、偏微分方程：聯(lián)系幾個(gè)自變量，這些自變量的一個(gè)未知函數(shù)和它的某些階偏導(dǎo)數(shù)（）的一個(gè)關(guān)系式（即等式）：出現(xiàn)在方程中的最高階偏導(dǎo)數(shù)稱為該偏微分方程的階數(shù)。常微分方程中要求解的未知函數(shù)是一元函數(shù)（只有一個(gè)自變量）,而偏微分方程中要求解的未知函數(shù)是多元函數(shù)（有幾個(gè)自變量）。例：（二階偏微分方程）3、微分方程的定解問題：給定一個(gè)微分方程，通常能找到很多不同的解。為了唯一地確定一個(gè)微分方程的解，需要有一些輔助條件，這些輔助條件叫定解條件。找出一個(gè)微分方程的滿足某些特定定解條件的解，就稱為定解問題。一個(gè)微分方程，如果沒有給出定解條件，就叫泛定方程（其解是不確定的）。例：這是泛定方程，其解不確定。例：定解問題（定解條件：）第六章數(shù)學(xué)物理方程的導(dǎo)出和定解問題【劉連壽、王正清編著《數(shù)學(xué)物理方法》P107-121】物理學(xué)中經(jīng)常遇到的幾種典型二階偏微分方程：波動(dòng)方程、熱傳導(dǎo)方程（擴(kuò)散方程）、泊松方程、拉普拉斯方程、亥姆霍茲方程,………。下面我們將通過幾個(gè)具體的例子，來(lái)考察一下如何把一個(gè)物理過程表述為微分方程，也就是如何把物理現(xiàn)象“翻譯”成數(shù)學(xué)語(yǔ)言。第一節(jié)波動(dòng)問題與波動(dòng)方程均勻細(xì)桿的縱振動(dòng)方程設(shè)均勻細(xì)棒（桿），沿桿長(zhǎng)方向作微小振動(dòng)。求：細(xì)桿上各點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律,也就是要求平衡時(shí)坐標(biāo)為的點(diǎn)在時(shí)刻沿方向的位移。研究對(duì)象：取一不包含端點(diǎn)的小段（x,x+dx）,并設(shè)桿的橫截面積為，密度為ρ，楊氏模量為Y。該小段在t時(shí)刻的伸長(zhǎng)量：u(x+dx,t)-u(x,t)相對(duì)伸長(zhǎng)量：,胡克定律（略去垂直于桿長(zhǎng)方向的形變）：,：應(yīng)力，作用于單位橫截面的內(nèi)力對(duì)該小段，有兩個(gè)側(cè)面?兩側(cè)均受到應(yīng)力的作用，沿x方向的合力：在上面的推導(dǎo)中我們利用了二階偏導(dǎo)數(shù)的定義：根據(jù)該小段受到的沿x方向的合力，由牛頓第二定律：，其中：，，得到：令：，并記：，我們得到下面的二階線性偏微分方程（均勻細(xì)桿的縱振動(dòng)方程，一維波動(dòng)方程）：說(shuō)明：(1)方程中a的物理意義:從其表達(dá)式看出，它是反映桿本身性質(zhì)的一個(gè)量。(2)在以上推導(dǎo)中所作的簡(jiǎn)化假定:(i)桿作小振動(dòng)，這樣才能應(yīng)用胡克定律，并略去由于桿的伸縮所引起的密度的變化，從而得到一個(gè)線性方程；(ii)桿很細(xì)，則在任意時(shí)刻每一截面上各點(diǎn)位移相同，這樣可只用一個(gè)變量x來(lái)標(biāo)志同一截面上的各個(gè)點(diǎn)，否則u將不只是x和t的函數(shù)。（二）弦的橫振動(dòng)方程長(zhǎng)為l的柔軟、均勻的細(xì)弦，拉緊以后，讓它離開平衡位置在垂直于弦線的外力作用下作微小橫振動(dòng)，求弦上各點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，即研究弦上任一點(diǎn)的位移隨時(shí)間變化的規(guī)律。取沿弦長(zhǎng)的方向?yàn)檩S，以坐標(biāo)標(biāo)志弦上的各點(diǎn)，弦上各點(diǎn)的橫向位移記為。由于弦上各點(diǎn)在不同時(shí)刻的橫向位移是不同的，所以依賴于弦上各點(diǎn)的位置和時(shí)間，?，F(xiàn)在研究位于到這一段弦的運(yùn)動(dòng)狀況，即求出弦上任一點(diǎn)的位移隨時(shí)間變化的規(guī)律，推導(dǎo)出所滿足的方程。推導(dǎo)過程如下：設(shè)位于到這一段弦受到的垂直于弦的外力為（每單位長(zhǎng)度受到的外力為），這段弦兩端受到兩邊的張力為，。假定弦沒有縱向（方向）的運(yùn)動(dòng)，于是在方向，此段弦所受的縱向合力為，即：（1）設(shè)弦的質(zhì)量密度為。此段弦的質(zhì)量為，為此段弦的弧長(zhǎng)：，對(duì)于微小橫振動(dòng)，弦的形變很小，即：，，（小振動(dòng)條件）。所以在小振動(dòng)條件下，有：，因而弦的質(zhì)量。該段弦所受的橫向和力（與軸垂直的力）為：，于是由牛頓第二定律，可得此段弦的橫向運(yùn)動(dòng)方程為:，（2）當(dāng)很小時(shí)，有:，。而在小振動(dòng)情形下，，很小，于是有：，代入（1）得:,（3），,（4）【為平面上曲線的切線的斜率】將（3），（4）代入（2），得：，（5）因?yàn)?，上式兩邊同時(shí)除以，即得：，，由此得到：,（弦的受迫振動(dòng)方程）其中：，為單位質(zhì)量所受的力。若無(wú)外力作用,，則得弦的自由振動(dòng)方程（一維波動(dòng)方程）：***二維膜的振動(dòng)方程（二維波動(dòng)方程）：一塊均勻的緊張的薄膜，離開靜止水平位置作垂直于水平位置的微小振動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)規(guī)律滿足：其中：u(x,y,t)表示在t時(shí)刻、膜在(x,y)點(diǎn)處的位移；f(x,y,t)表示單位質(zhì)量所受的外力；a2=T/r：T表示張力、r為線密度小結(jié)：波動(dòng)方程的基本形式一維波動(dòng)方程：二維波動(dòng)方程（如薄膜的受迫振動(dòng)方程）：；三維波動(dòng)方程（如聲波方程）：；若定義算符為：，則不論是在一維、二維還是三維波動(dòng)方程，統(tǒng)一寫為：方程中的參數(shù)是反映一個(gè)物理系統(tǒng)本身性質(zhì)的一個(gè)量，方程中的已知函數(shù)描述引起振動(dòng)的外力。（三）波動(dòng)方程的定解條件僅有方程還不足以確定具體物理過程的變化，因?yàn)槲矬w的運(yùn)動(dòng)還與起始狀態(tài)以及通過邊界所受到的外界作用有關(guān)。例如在弦振動(dòng)問題中，弦開始時(shí)的形狀怎樣（時(shí)弦上各點(diǎn)的初始位移），開始時(shí)的狀態(tài)是靜止還是已振動(dòng)（時(shí)弦上各點(diǎn)的初始速度），這都是我們?cè)诖_定弦的振動(dòng)時(shí)必須了解的。弦的振動(dòng)除了與弦開始時(shí)的形狀（初始位移）和弦上各點(diǎn)的初始速度（初始條件）有關(guān)外，還與弦的兩端是否固定、是否受外力作用（邊界條件）等有關(guān)。從數(shù)學(xué)上來(lái)說(shuō)，這意味著為了求解一個(gè)形如的波動(dòng)方程，必需同時(shí)給定初始條件和邊界條件，即波動(dòng)方程的定解條件包括兩部分：初始條件，邊界條件。初始條件：【說(shuō)明：和是已知函數(shù)，他們給出未知函數(shù)和它對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)在時(shí)（初始時(shí)刻）的值。初始條件給出的是整個(gè)系統(tǒng)的初始狀態(tài)，而不僅是系統(tǒng)中個(gè)別地點(diǎn)的初始狀態(tài)。例如在弦振動(dòng)問題中，初始條件給出的是開始振動(dòng)時(shí)弦上各點(diǎn)的初始位置和弦上各點(diǎn)的初始速度?！緽．邊界條件：邊界條件通常有三種不同的形式:(i)第一類邊界條件：給定要求解的未知函數(shù)在邊界上的值,。例如:若研究長(zhǎng)為、兩端固定的弦的振動(dòng)情況，因?yàn)橄业膬啥?，是固定的，那里的位移總是，因而，?ii)第二類邊界條件：給定要求解的函數(shù)在邊界上的法向一階偏導(dǎo)數(shù)的值,，(iii)第三類邊界條件：給定要求解的函數(shù)及其法向一階偏導(dǎo)數(shù)的一個(gè)線性組合在邊界上的值：三類邊界條件可簡(jiǎn)記為:，，中，其中表示系統(tǒng)的邊界。若，稱為齊次邊界條件;若稱為非齊次邊界條件。例1、在均勻細(xì)桿的縱振動(dòng)問題中，設(shè)桿的一端（）固定，另一端（）受到外力的作用，試寫出邊界條件。（桿的橫切面積為，楊矢模量為，密度為）。解：考慮細(xì)桿端的一小段，這一小段受到的合力為：，其中為左側(cè)受到的應(yīng)力。由牛頓第二定律：令，且有限，得：（第二類邊界條件）由上面結(jié)果可知，如果端為自由端（既不固定，又不受外力的作用），則有齊次邊界條件：例2、在均勻細(xì)桿的縱振動(dòng)問題中，設(shè)桿的一端（）固定，另一端（）受到彈性系數(shù)為k的彈簧的拉力作用，試寫出邊界條件。（桿的橫切面積為，楊矢模量為）。解：桿在x=0端固定，其邊界條件為：（第一類邊界條件），在端細(xì)桿受到彈簧所施加的力為F(t)=-ku(l,t)，則根據(jù)題1的結(jié)果，在端的邊界條件為：?（第三類邊界條件）例3、長(zhǎng)為l的均勻細(xì)桿，x=0端固定，另一端沿桿的軸線方向被拉長(zhǎng)b后靜止（在彈性限度內(nèi)），突然放手任其振動(dòng)，寫出振動(dòng)方程與定解條件。（桿的橫切面積為，楊矢模量為，密度為）。解：①方程：②邊界條件③初始條件第二節(jié)熱傳導(dǎo)問題與擴(kuò)散問題熱傳導(dǎo)方程與擴(kuò)散方程（一）三維熱傳導(dǎo)方程由于物體內(nèi)各處的溫度不均勻，熱量從溫度髙的地方流向低的地方，叫做熱傳導(dǎo)。熱傳導(dǎo)方程的推導(dǎo)，主要是基于能量守恒定律和熱傳導(dǎo)的傅里葉定律。設(shè)為物體內(nèi)的溫度分布，傅里葉熱傳導(dǎo)定律表為：，其中為熱流密度，其大小為單位時(shí)間內(nèi)通過單位橫截面積的熱量，其方向沿溫度下降最快的方向，為熱傳導(dǎo)系數(shù)。傅里葉定律的分量表述為：，，A.熱傳導(dǎo)方程的推導(dǎo):如圖所示，考慮物體中一個(gè)邊長(zhǎng)分別為、和的小長(zhǎng)方體，使它的六個(gè)面分別與三個(gè)坐標(biāo)面平行。時(shí)間內(nèi)沿方向通過面元ABCD流進(jìn)長(zhǎng)方體的熱量為，時(shí)間內(nèi)沿方向通過面元EFGH流出長(zhǎng)方體的熱量為，時(shí)間內(nèi)沿方向凈流入長(zhǎng)方體的熱量為：。同樣，時(shí)間內(nèi)沿和方向凈流入長(zhǎng)方體的熱量分別為:和。流入長(zhǎng)方體的熱量和它里面的熱源產(chǎn)生的熱量使長(zhǎng)方體的溫度升高。設(shè)物體的質(zhì)量密度為，比熱為，則長(zhǎng)方體溫度升高所需的熱量為:。設(shè)物體內(nèi)有熱源，其在單位時(shí)間、單位體積內(nèi)發(fā)出熱量為，則在時(shí)間內(nèi)在所考慮的長(zhǎng)方體內(nèi)產(chǎn)生的熱量為:。由能量守恒，得： ，兩邊除以，得:，或?qū)憺?。若物體是均勻的，則為常數(shù)，于是熱傳導(dǎo)方程可寫為:，（）式中：，，若物體內(nèi)沒有熱源，則，于是熱傳導(dǎo)方程就為：（齊次熱傳導(dǎo)方程）若物體可以看成一維的，如一條均勻的細(xì)長(zhǎng)桿，此時(shí)的熱傳導(dǎo)方程就是一維熱傳導(dǎo)方程：，（有熱源，非齊次熱傳導(dǎo)方程）或：（無(wú)熱源，齊次熱傳導(dǎo)方程）。B.熱傳導(dǎo)方程的定解條件：與求解波動(dòng)方程類似，為了求解熱傳導(dǎo)方程，也需要給出初始條件和邊界條件。初始條件:因?yàn)闊醾鲗?dǎo)方程中僅含有未知函數(shù)對(duì)時(shí)間的一階偏導(dǎo)數(shù)，所以求解熱傳導(dǎo)方程僅需要一個(gè)初始條件（即物體在時(shí)的溫度分布）：，這里是已知函數(shù)，它給出整個(gè)系統(tǒng)的初始狀態(tài)（即物體內(nèi)部在時(shí)的初始溫度分布），而不僅是系統(tǒng)中個(gè)別地點(diǎn)的初始狀態(tài)。B.邊界條件:熱傳導(dǎo)方程的邊界條件也分為三種類型：1)給定要求解的未知函數(shù)在邊界上的值:；（若，稱為齊次邊界條件；若稱為非齊次邊界條件）。例如:在桿的熱傳導(dǎo)問題，若桿的一端x=a處保持恒溫，則有:2)給定要求解的函數(shù)在邊界上的法向一階偏導(dǎo)數(shù)值:；例:在桿的熱傳導(dǎo)問題，若桿的一端x=a處絕熱，則有：,3)給定要求解的函數(shù)及其法向一階偏導(dǎo)數(shù)的一個(gè)線性組合在邊界上的值：.例：在熱傳導(dǎo)問題中，設(shè)一個(gè)物體通過表面與周圍溫度為的恒溫介質(zhì)交換熱量。由牛頓熱交換定律知，在單位時(shí)間內(nèi)經(jīng)過物體表面的單位面積流出的熱量（）正比于物體表面溫度與周圍介質(zhì)的溫度差，，其中為熱交換系數(shù)，于是得到第三類邊界條件：，其中.（三）擴(kuò)散方程若物體內(nèi)部濃度（單位體積內(nèi)的分子數(shù)或質(zhì)量）不均勻，物質(zhì)就會(huì)從濃度高的地方向濃度小的地方轉(zhuǎn)移，這種現(xiàn)象叫作擴(kuò)散。擴(kuò)散現(xiàn)象廣泛存在于氣體、液體或固體中。在擴(kuò)散問題中要研究的是物體內(nèi)部濃度在空間中的分布和在時(shí)間中的變化，。擴(kuò)散運(yùn)動(dòng)的起源是濃度不均勻，濃度不均勻的程度可用濃度梯度表示。擴(kuò)散運(yùn)動(dòng)的強(qiáng)弱可用擴(kuò)散流強(qiáng)度表示（即單位時(shí)間內(nèi)流過單位面積的分子數(shù)或質(zhì)量）。根據(jù)實(shí)驗(yàn)觀察，擴(kuò)散現(xiàn)象遵循擴(kuò)散定律（即菲克定律）：在物體內(nèi)部某點(diǎn)的擴(kuò)散流強(qiáng)度與該點(diǎn)的濃度的梯度成正比：,式中D為擴(kuò)散系數(shù)，負(fù)號(hào)表擴(kuò)散方向與濃度梯度相反。根據(jù)菲克定律，利用與推導(dǎo)熱傳導(dǎo)方程同樣的方法，可以證明濃度在空間中的分布和在時(shí)間中的變化滿足下面的二階線性偏微分方程（擴(kuò)散方程）：,式中.若物體內(nèi)部有擴(kuò)散源，擴(kuò)散源的強(qiáng)度（即單位時(shí)間內(nèi)單位體積中產(chǎn)生的粒子數(shù)）為，這時(shí)擴(kuò)散方程修改為：可以看出，擴(kuò)散方程與熱傳導(dǎo)方程具有完全相同的數(shù)學(xué)形式。從物理上看，熱傳導(dǎo)方程描述的是物體內(nèi)部熱量的擴(kuò)散（起源于物體內(nèi)部溫度不均勻），擴(kuò)散方程描述的是物體內(nèi)部分子濃度的擴(kuò)散（起源于物體內(nèi)部濃度不均勻），由于它們遵循的物理規(guī)律（傅里葉熱傳導(dǎo)定律、菲克定律）的數(shù)學(xué)表述形式相同，所以擴(kuò)散方程與熱傳導(dǎo)方程也具有相同的數(shù)學(xué)形式。擴(kuò)散方程的定解條件：因?yàn)閿U(kuò)散方程與熱傳導(dǎo)方程形式相同，擴(kuò)散方程的定解條件與熱傳導(dǎo)方程的定解條件的形式完全相同：初始條件:因擴(kuò)散方程中僅含有未知函數(shù)對(duì)時(shí)間的一階偏導(dǎo)數(shù)，所以求解擴(kuò)散方程僅需要一個(gè)初始條件（即物體在時(shí)的濃度分布）：，是已知函數(shù)，它給出整個(gè)系統(tǒng)的初始狀態(tài)（即物體內(nèi)在時(shí)的初始濃度分布），而不僅是系統(tǒng)中個(gè)別地點(diǎn)的初始狀態(tài)。邊界條件:擴(kuò)散方程的邊界條件也分為三種類型，與熱傳導(dǎo)方程的邊界條件形式完全一樣：1)給定要求解的未知函數(shù)在邊界上的值:；2)給定要求解的函數(shù)在邊界上的法向一階偏導(dǎo)數(shù)值:；3)給定要求解的函數(shù)及其法向一階偏導(dǎo)數(shù)的一個(gè)線性組合在邊界上的值：.若，稱為齊次邊界條件;若稱為非齊次邊界條件。小結(jié)：熱傳導(dǎo)(擴(kuò)散)方程的基本形式不論是在一維、二維還是三維熱傳導(dǎo)(擴(kuò)散)方程，可統(tǒng)一寫為：參數(shù)是反映一個(gè)物理系統(tǒng)本身性質(zhì)的一個(gè)量，已知函數(shù)描述物體內(nèi)的熱源或擴(kuò)散源。 第三節(jié)穩(wěn)定場(chǎng)問題泊松方程和拉普拉斯方程（一）靜電場(chǎng)問題靜電場(chǎng)方程：設(shè)空間有靜電荷分布，電荷密度分布為，介電常數(shù)為,求空間靜電勢(shì)分布所滿足的方程。推導(dǎo)：設(shè)空間電場(chǎng)強(qiáng)度為，由高斯定理可得：（高斯定理的積分形式），（高斯定理的微分形式）。又：，，（為靜電勢(shì)，無(wú)旋場(chǎng)必為梯度場(chǎng)），（靜電勢(shì)滿足的方程，泊松方程） 若，則:，靜電勢(shì)滿足的方程,稱為拉普拉斯方程。在有電荷的地方，靜電勢(shì)滿足的方程為泊松方程。在無(wú)電荷的地方，靜電勢(shì)滿足的方程為拉普拉斯方程。（二）穩(wěn)定溫度場(chǎng)若物體內(nèi)部的溫度達(dá)到了穩(wěn)定分布，即溫度分布不隨時(shí)間變化，則熱傳導(dǎo)方程中的，于是熱傳導(dǎo)方程變成了泊松方程：。若，則又得到了拉普拉斯方程：。（三）拉普拉斯方程和泊松方程的定解條件穩(wěn)定場(chǎng)方程（拉普拉斯方程和泊松方程）不含時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，所以在求解穩(wěn)定場(chǎng)方程的定解問題時(shí)不需要初始條件（無(wú)初值問題）。與波動(dòng)方程和擴(kuò)散方程類似，穩(wěn)定場(chǎng)方程的邊界條件也分為三種類型：1.給定要求解的未知函數(shù)在邊界上的值，2.給定要求解的未知函數(shù)在邊界上的一階法向偏導(dǎo)數(shù)值，3.給定要求解的未知函數(shù)及其法向一階偏導(dǎo)數(shù)的一個(gè)線性組合在邊界上的值，本章總結(jié)典型二階偏微分方程（泛定方程）波動(dòng)方程：熱傳導(dǎo)方程：（擴(kuò)散方程與熱傳導(dǎo)方程形式相同）泊松方程：拉普拉斯方程：亥姆霍茲方程：(本章沒有講)拉普拉斯算符：梯度算符：，代表沿方向的單位矢量。上述偏微分方程都是泛定方程，他們反映同一類現(xiàn)象的普遍性。如果不加上一定的定解條件，他們的解都是不確定的。定解問題：一個(gè)微分方程(泛定方程)加上一定的定解條件，稱為定解問題。定解條件：描述具體對(duì)象的特殊性。僅有方程還不足以確定物體的運(yùn)動(dòng)，因?yàn)槲矬w的運(yùn)動(dòng)還與起始狀態(tài)（初始條件）以及通過邊界所受到的外界作用（邊界條件，即物體所處的環(huán)境）有關(guān)。初始條件：就是把體系在開始時(shí)（時(shí)）的情況表達(dá)清楚。初始條件所反映的必須是物體上各點(diǎn)的初始狀態(tài)，而不僅僅是其中某一點(diǎn)。1.在波動(dòng)方程中含有對(duì)時(shí)間的二階偏導(dǎo)數(shù)，求解波動(dòng)方程時(shí)需要兩個(gè)初始條件：，?！驹谙艺駝?dòng)問題中，代表弦上各點(diǎn)初始位移，代表弦上各點(diǎn)初始速度?！?.在熱傳導(dǎo)（擴(kuò)散）方程中含有時(shí)間的一階偏導(dǎo)數(shù)，求解熱傳導(dǎo)（擴(kuò)散）方程時(shí)僅需要一個(gè)初始條件：?！驹跓醾鲗?dǎo)問題中，代表在時(shí)物體內(nèi)各點(diǎn)的初始溫度分布?！?.在穩(wěn)定場(chǎng)方程中不含時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，求解穩(wěn)定場(chǎng)方程時(shí)不需要初始條件邊界條件：就是把物體所處的環(huán)境表達(dá)清楚。三類邊界條件。(，齊次邊界條件；,非齊次邊界條件)1）第一類邊界條件：給定要求解的未知函數(shù)在邊界上的值，2）第二類邊界條件：給定要求解未知函數(shù)在邊界上的一階法向偏導(dǎo)數(shù)的值，，3）第三類邊界條件：給定要求解的未知函數(shù)及其一階法向偏導(dǎo)數(shù)的一個(gè)線性組合在邊界上的值,補(bǔ)充：自然邊界條件和周期邊界條件自然邊界條件：要求解在邊界上保持有限值，周期邊界條件:在柱坐標(biāo)或球坐標(biāo)系下解微分方程時(shí)常要用到。例如在柱坐標(biāo)（r，j，z），解的唯一性要求：第六章復(fù)習(xí)思考題及答案1、長(zhǎng)為l的均勻細(xì)桿，x=0端固定，另一端沿桿的軸線方向被拉長(zhǎng)b后靜止（在彈性限度內(nèi)），突然放手任其振動(dòng)，寫出振動(dòng)方程與定解條件。（桿的橫切面積為，楊矢模量為，密度為）。解：①方程：②邊界條件③初始條件2、半徑為r，密度為ρ，比熱為c，熱傳導(dǎo)系數(shù)為k的均勻圓桿，其同一橫截面上的溫度相同，其側(cè)面與溫度為的介質(zhì)發(fā)生熱交換且熱交換系數(shù)為，試導(dǎo)出桿上溫度u滿足的方程。解：考慮x→x+dx段在dt時(shí)間內(nèi)的熱交換:（1）從左右兩截面流入的熱量，由傅立葉定律：（2）從側(cè)面流入熱量，由牛頓冷卻定律（3）溫升du所需熱量（4）聯(lián)立：3、在均勻細(xì)桿的縱振動(dòng)問題中，設(shè)桿的一端（）固定，另一端（）受到外力的作用，試寫出邊界條件。（桿的橫切面積為，楊矢模量為，密度為）。解：考慮細(xì)桿端的一小段，這一小段受到的合力為：，其中為左側(cè)受到的應(yīng)力。由牛頓第二定律：令，且有限，得：4、在均勻細(xì)桿的縱振動(dòng)問題中，設(shè)桿的一端（）固定，另一端（）為自由端（既不固定，又不受外力的作用），試寫出邊界條件。（桿的橫切面積為，楊矢模量為，密度為）。解：由題3的結(jié)果，得：5、在均勻細(xì)桿的縱振動(dòng)問題中，設(shè)桿的一端（）固定，另一端（）受到彈性系數(shù)為k的彈簧的拉力作用，試寫出邊界條件。（桿的橫切面積為，楊矢模量為）。解：桿在x=0端固定，在x=l端受到彈性系數(shù)為k的彈簧的拉力，其邊界條件為：，推導(dǎo)：在端細(xì)桿受到彈簧所施加的力為F(t)=-ku(l,t)，則根據(jù)題1的結(jié)果，在端的邊界條件為：?（第三類邊界條件）6、長(zhǎng)為的均勻桿，若桿的一端（）處保持恒溫，另一端()處絕熱(即與外界沒有熱交換)。試寫出這個(gè)熱傳導(dǎo)問題的邊界條件。（桿的熱傳導(dǎo)系數(shù)為）。解：7、在桿的熱傳導(dǎo)問題，若桿的初始溫度分布是。兩端（分別位于和處）有恒定熱流進(jìn)入，其強(qiáng)度為。試寫出定解條件（桿的熱傳導(dǎo)系數(shù)為）。解：初始條件為：。邊界條件推導(dǎo)如下：在一維時(shí)，，而，由熱傳導(dǎo)的傅里葉定律，得，所以邊界條件為，。完整的定解條件為：或：由熱傳導(dǎo)的傅里葉定律，在邊界上有，其中為邊界的單位法線矢量，為沿的方向?qū)?shù)。在端，，而，所以。在端，，而，所以。即邊界條件為：，。8、長(zhǎng)為的均勻桿，桿的一端（）處與外界絕熱，另一端()通過表面與周圍溫度為的外界恒溫介質(zhì)交換熱量。設(shè)桿的熱傳導(dǎo)系數(shù)為，桿與周圍介質(zhì)的熱交換系數(shù)為。試寫出這個(gè)熱傳導(dǎo)問題的邊界條件。解：端與外界絕熱（沒有熱流），由傅立葉熱傳導(dǎo)定律知，在端邊界條件為：在端，由牛頓熱交換定律知，在單位時(shí)間內(nèi)經(jīng)過物體表面的單位面積流出的熱量（）正比于物體表面溫度與周圍介質(zhì)的溫度差，，其中為桿與周圍介質(zhì)的熱交換系數(shù)，于是得到第三類邊界條件：，9、長(zhǎng)為的弦，兩端固定，弦中張力為，在距一端為的一點(diǎn)以力把弦拉開，然后突然撤除這力，任其振動(dòng)。寫出振動(dòng)方程與定解條件。（第9題示意圖）解：先求出初始位移，分和兩段來(lái)考慮。設(shè)點(diǎn)的位移為，則：在中，，在中，。在小振動(dòng)，、很小的條件下，利用力的平衡條件和小振動(dòng)條件，，得：，于是：。。定解問題為。10、半徑為的金屬長(zhǎng)圓柱，受到陽(yáng)光照射，陽(yáng)光方向垂直于柱軸，熱流強(qiáng)度為。設(shè)圓柱外界的溫度為，試寫出這個(gè)圓柱的熱傳導(dǎo)問題的邊界條件。解法一：如圖取極坐標(biāo)系，極軸垂直于陽(yáng)光，由陽(yáng)光照射而產(chǎn)生的，通過圓柱表面流入圓柱體的熱流強(qiáng)度為，同樣由陽(yáng)光照射而產(chǎn)生的，通過圓柱表面流出圓柱體的熱流強(qiáng)為：。由圓柱本身的溫度分布產(chǎn)生的熱流強(qiáng)度為，而在極坐標(biāo)系中，故其通過圓柱表面流出圓柱體的熱流強(qiáng)度為?？偟耐ㄟ^圓柱表面流出圓柱體的熱流強(qiáng)度為：，其在表面的大小為，其中。由牛頓熱交換定律，知應(yīng)與成正比，即，，兩邊除以，即得邊界條件為：，。解法二：取如圖的圓柱表面的一個(gè)小塊來(lái)分析。小塊的面積為，厚度為，兩個(gè)表面分別為和，為的外法線方向單位矢量，而為的內(nèi)法線方向單位矢量。單位時(shí)間流出小塊的熱量等于其能量的減少率，即，（*）其中，。令，則，，（*）的左邊趨于，（*）成為，（**）其中，（**）兩邊除以，即得邊界條件：，。第七章分離變量法（傅里葉級(jí)數(shù)法）預(yù)備知識(shí)(學(xué)習(xí)分離變量法時(shí)要用到，請(qǐng)復(fù)習(xí)《高等數(shù)學(xué)》中的相關(guān)章節(jié)）1.傅里葉級(jí)數(shù)；2.二階常系數(shù)齊次線性常微分方程的通解；3.二階線性常微分方程的本征值問題；4.一階線性常微分方程的通解（一）傅里葉級(jí)數(shù)（略）（二）二階常系數(shù)齊次線性常微分方程的通解二階常系數(shù)齊次線性常微分方程的一般形式是：,式中系數(shù)都是常數(shù)，是未知函數(shù)。其通解的一般形式是：，其中和是待定系數(shù)，由定解條件所決定，是與該二階常系數(shù)齊次線性常微分方