祖暅原理與柱體、椎體、球體的體積gèng高考數(shù)學(xué)公開(kāi)課——祖暅原理全文共18頁(yè)，當(dāng)前為第1頁(yè)。祖暅

祖暅，又名祖暅之，是祖沖之的兒子，他的活動(dòng)期大約在504－526年。祖氏父子在數(shù)學(xué)和天文學(xué)上都有杰出的貢獻(xiàn)。祖暅主要是修補(bǔ)編輯了祖沖之的《綴術(shù)》。他十分巧妙的推導(dǎo)了球的體積公式。祖暅原理的原文是“冪勢(shì)既同，則積不容異”，“冪”即面積，“勢(shì)”即高。意思是：兩個(gè)等高的幾何體，如果與底面等距離的截面面積總相等。那么這兩個(gè)幾何體的體積相等。西方把這個(gè)原理叫做“卡發(fā)雷利原理”，是在他于1635年所出版的《連續(xù)不可分幾何》中所提出的。高考數(shù)學(xué)公開(kāi)課——祖暅原理全文共18頁(yè)，當(dāng)前為第2頁(yè)。1劉徽劉徽首先證明了《九章算術(shù)》中的球體積公式是不正確的，并在《九章算術(shù)》“開(kāi)立圓術(shù)”注文中指出了一條推算球體積公式的正確途徑。劉徽創(chuàng)造了一個(gè)新的立體圖形，他稱之為“牟合方蓋”，并指出：一旦算出牟合方蓋的體積，球體積公式也就唾手可得。在一立方體內(nèi)作兩個(gè)互相垂直的內(nèi)切圓柱。這兩個(gè)圓柱體相交的部分，就是劉徽所說(shuō)的“牟合方蓋”。牟合方蓋恰好把立方體的內(nèi)切球包含在內(nèi)并且同它相切。如果用同一個(gè)水平面去截它們，就得到一個(gè)圓（球的截面），和它的外切正方形（牟合方蓋的截面）。中國(guó)數(shù)學(xué)史

劉徽雖然沒(méi)有推證出球體積公式，但他所創(chuàng)用的特殊形式的不可分量方法，成為后來(lái)祖沖之父子在球體積問(wèn)題上取得突破的先導(dǎo)。

牟合方蓋高考數(shù)學(xué)公開(kāi)課——祖暅原理全文共18頁(yè)，當(dāng)前為第3頁(yè)。祖沖之（公元429-500）劉徽（生于公元250左右）中國(guó)數(shù)學(xué)史

高考數(shù)學(xué)公開(kāi)課——祖暅原理全文共18頁(yè)，當(dāng)前為第4頁(yè)。

祖沖之（公元429-500，如圖）活躍于南朝宋、齊兩代，出生于歷法世家，本人做過(guò)南徐州（今鎮(zhèn)江）從事史和公府參軍，都是地位不高的小官，但他卻成為歷代為數(shù)很少能名列正史的數(shù)學(xué)家之一。祖沖之在公元462年創(chuàng)制了一部歷法《大明歷》，這在當(dāng)時(shí)是最先進(jìn)的歷法.也就是說(shuō)，祖沖之算出了圓周率數(shù)值的上下限：

“祖沖之更開(kāi)密法，以圓徑一億為一丈，圓周盈數(shù)三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，肭數(shù)三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，正數(shù)在盈肭二限之間”。

祖沖之關(guān)于圓周率的貢獻(xiàn)記載在《隋書》中，《隋書﹒律歷志》說(shuō)：高考數(shù)學(xué)公開(kāi)課——祖暅原理全文共18頁(yè)，當(dāng)前為第5頁(yè)。

字景爍，又名祖暅之，是祖沖之的兒子，自小對(duì)數(shù)學(xué)有濃厚的興趣，經(jīng)常與父親一起鉆研數(shù)學(xué)問(wèn)題。祖氏父子在數(shù)學(xué)和天文學(xué)上都有杰出的貢獻(xiàn)。祖暅修補(bǔ)、編輯了祖沖之的《綴術(shù)》。他運(yùn)用祖暅原理十分巧妙的推導(dǎo)了球的體積公式。他在數(shù)學(xué)上的成就，除了父親對(duì)他的影響，和他自己后天的努力是分不開(kāi)的。祖暅原理的原文是“冪勢(shì)既同，則積不容異”，“冪”即面積，“勢(shì)”即高。意思是：兩個(gè)等高的幾何體，如果與底面等距離的截面面積總相等。那么這兩個(gè)幾何體的體積相等?！白鏁溤怼痹?7世紀(jì)由意大利數(shù)學(xué)家卡瓦列里重新發(fā)現(xiàn)，但比祖暅晚一千余年。祖暅公元五世紀(jì)末高考數(shù)學(xué)公開(kāi)課——祖暅原理全文共18頁(yè)，當(dāng)前為第6頁(yè)。祖暅原理：

大約公元五世紀(jì)，我國(guó)古代數(shù)學(xué)家祖暅在實(shí)踐的基礎(chǔ)上，總結(jié)出一個(gè)重要的體積計(jì)算原理：

夾在兩個(gè)平行平面間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)平面的任意平面所截，如果截得的兩個(gè)截面的面積總相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等。解釋高考數(shù)學(xué)公開(kāi)課——祖暅原理全文共18頁(yè)，當(dāng)前為第7頁(yè)。棱柱、圓柱的截面有什么性質(zhì)？一、棱柱、圓柱的體積

設(shè)棱柱與圓柱的底面積都為S、高都為h，根據(jù)祖暅原理，那么它們的體積相等，但等于多少呢？為此還必須引進(jìn)一個(gè)底面積為S、高為h的長(zhǎng)方體，而這樣的長(zhǎng)方體、棱柱、圓柱的體積都相等．平行于底面的截面與底面相等．高考數(shù)學(xué)公開(kāi)課——祖暅原理全文共18頁(yè)，當(dāng)前為第8頁(yè)。二、棱錐、圓錐的體積一、棱柱、圓柱的體積高考數(shù)學(xué)公開(kāi)課——祖暅原理全文共18頁(yè)，當(dāng)前為第9頁(yè)。圖1用祖暅原理證明球體積公式三、球的體積高考數(shù)學(xué)公開(kāi)課——祖暅原理全文共18頁(yè)，當(dāng)前為第10頁(yè)。

我們回憶一下祖暅原理（請(qǐng)一位學(xué)生敘述原理的內(nèi)容），求球的體積關(guān)鍵是找一個(gè)滿足原理又可計(jì)算體積的幾何體．這個(gè)幾何體的形狀應(yīng)是怎樣的？先觀察與半徑為R的半球底面平行，且與底面距離為l的截面面積S=πR2-πl(wèi)2．而πR2-πl(wèi)2可能作一圓環(huán)面積，其中圓環(huán)的大圓半徑為R對(duì)任意截面不變，故底面半徑為R的圓柱滿足；小圓半徑要等于l，軸截面為等腰直角三角形的倒圓錐具有這性質(zhì)，這就啟發(fā)我們用祖暅原理可以這樣推導(dǎo)：取一個(gè)底面半徑和高都等于R的圓柱，從圓柱中挖去一個(gè)以圓柱的上底面為底面、下底面圓心為頂點(diǎn)的圓錐，把所得的幾何體和半球放在同一個(gè)平面α上（圖2-59），因?yàn)閳A柱的高等于R，所以這個(gè)幾何體和半球都夾在兩個(gè)平行平面之間．高考數(shù)學(xué)公開(kāi)課——祖暅原理全文共18頁(yè)，當(dāng)前為第11頁(yè)。高考數(shù)學(xué)公開(kāi)課——祖暅原理全文共18頁(yè)，當(dāng)前為第12頁(yè)。高考數(shù)學(xué)公開(kāi)課——祖暅原理全文共18頁(yè)，當(dāng)前為第13頁(yè)。師：我國(guó)古代數(shù)學(xué)家祖暅，早在公元五世紀(jì)，就在實(shí)踐的基礎(chǔ)上，總結(jié)出這個(gè)公理，并首先用這個(gè)公理證明了球的體積公式，因而我們把公理6也叫做祖暅原理．祖暅比外國(guó)人早十二世紀(jì)提出這個(gè)事實(shí)．在古代我國(guó)數(shù)學(xué)家對(duì)世界數(shù)學(xué)發(fā)展的貢獻(xiàn)也是很大的．（三）棱柱、圓柱的體積師：下面我們用以上兩個(gè)公理來(lái)求棱柱和圓柱的體積．師問(wèn)：棱柱、圓柱的截面有什么性質(zhì)？生：平行于底面的截面與底面相等．師：設(shè)棱柱與圓柱的底面積都為S、高都為h，根據(jù)祖暅原理，那么它們的體積相等，但等于多少呢？為此還必須引進(jìn)一個(gè)底面積為S、高為h的長(zhǎng)方體，而這樣的長(zhǎng)方體、棱柱、圓柱的體積都相等．由公理5的推論1和V長(zhǎng)方體=Sh，于是得到下面的定理：高考數(shù)學(xué)公開(kāi)課——祖暅原理全文共18頁(yè)，當(dāng)前為第14頁(yè)。高考數(shù)學(xué)公開(kāi)課——祖暅原理全文共18頁(yè)，當(dāng)前為第15頁(yè)。牟合方蓋開(kāi)立圓術(shù)的分解高考數(shù)學(xué)公開(kāi)課——祖暅原理全文共18頁(yè)，當(dāng)前為第16頁(yè)。

公理6夾在兩個(gè)平行平面間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)平面的任意平面所截，如果截得的兩個(gè)截面的面積總相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等．下圖表示，夾在平行平面α、β之間的兩個(gè)形狀不同的幾何體，被平行于平面α、β的任意一個(gè)平面所截，如果截面P和Q的面積總相等，那么它們的體積一定相等．

師：公理6的條件有三個(gè)：（1）這兩個(gè)幾何體夾