計(jì)算結(jié)構(gòu)力學(xué)1第1頁，共50頁，2023年，2月20日，星期四2.1

強(qiáng)形式和弱形式1.強(qiáng)形式(StrongFrom)解析方法閉合解級數(shù)解有限差分法2.弱形式(WeakFrom)瑞利-里茲法加權(quán)殘值法伽遼金法最小二乘法配置法(配點(diǎn)法，子域法）矩量法有限元法邊界元法（？）無網(wǎng)格法（？）求泛函的極值求解方法數(shù)理方程歐拉方程控制方程泛函積分方程2第2頁，共50頁，2023年，2月20日，星期四2.1

強(qiáng)形式和弱形式3.解析解齊次方程為：其特征方程為:特征解為:齊次方程的通解為非齊次方程特解為原方程的通解為:利用邊界條件：得到：最終解析解為:得，3第3頁，共50頁，2023年，2月20日，星期四2.2

有限差分法FiniteDifferenceMethod-FDM直接求解控制方程4第4頁，共50頁，2023年，2月20日，星期四2.2

有限差分法5第5頁，共50頁，2023年，2月20日，星期四直接求解變分的積分方程的近似解法，如李茲法、加權(quán)殘值法、有限元法等?！烽_創(chuàng)了彈性力學(xué)問題的近似解法

未知函數(shù)y(x)近似由線性組合給出：2.3

瑞利-里茲法直接求解泛函積分方程6第6頁，共50頁，2023年，2月20日，星期四2.3

瑞利-里茲法—TheRayleigh-RitzMethod求泛函的極值問題解設(shè)為基函數(shù)解得從而求出數(shù)值解7第7頁，共50頁，2023年，2月20日，星期四【例題】【解答】2.3

瑞利-里茲法8第8頁，共50頁，2023年，2月20日，星期四【例題】【解答】2.3

瑞利-里茲法9第9頁，共50頁，2023年，2月20日，星期四2.3

瑞利-里茲法10第10頁，共50頁，2023年，2月20日，星期四2.4

加權(quán)殘數(shù)法Weight-ResidualMethod殘值控制方程泛函積分方程11第11頁，共50頁，2023年，2月20日，星期四伽遼金法：配點(diǎn)法：最小二乘法：矩量法：權(quán)函數(shù)取控制方程在加權(quán)意義上的全域積分子域法：12第12頁，共50頁，2023年，2月20日，星期四2.4

加權(quán)殘數(shù)法：伽遼金法1）Bubnov-GalerkinMethod13第13頁，共50頁，2023年，2月20日，星期四2.4

加權(quán)殘數(shù)法：最小二乘法2）LeastSquaresMethod基函數(shù)14第14頁，共50頁，2023年，2月20日，星期四2.4

加權(quán)殘數(shù)法：配置法1）配點(diǎn)法(PointCollectionMethod)3）CollectionMethod一維函數(shù)的主要性質(zhì)15第15頁，共50頁，2023年，2月20日，星期四2.4

加權(quán)殘數(shù)法：配置法4）子域法(SubdomainCollectionMethod)ax1b將整個(gè)域V分成n個(gè)子域Vi（i=1,2,…,n）,權(quán)函數(shù)選為16第16頁，共50頁，2023年，2月20日，星期四2.4

加權(quán)殘數(shù)法：矩量法5）矩量法：17第17頁，共50頁，2023年，2月20日，星期四§2.5伽遼金法和李茲法的關(guān)系1）都是積分方程式；2）伽遼金法是用控制微分方程的誤差的積分，李茲法是本身泛函的積分，前者含有更高階導(dǎo)數(shù)；3）是同一物理現(xiàn)象的不同表現(xiàn)。18第18頁，共50頁，2023年，2月20日，星期四§2.6.1平衡條件1）域內(nèi)平衡方程2）在S(力邊界上)的平衡方程§2.6彈性理論變分原理19第19頁，共50頁，2023年，2月20日，星期四§2.6.2變形協(xié)調(diào)條件1）域內(nèi)位移連續(xù)條件2）在位移邊界Su上的位移協(xié)調(diào)條件20第20頁，共50頁，2023年，2月20日，星期四§2.6.3物理關(guān)系1）應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系21第21頁，共50頁，2023年，2月20日，星期四2.6.4虛功原理笛卡爾坐標(biāo)形式：22第22頁，共50頁，2023年，2月20日，星期四§2.6.4虛功原理分部積分：最小勢能原理張量形式：前提：位移連續(xù)條件嚴(yán)格滿足，但放松力的平衡條件式23第23頁，共50頁，2023年，2月20日，星期四—虛功原理表示式其定義為：連續(xù)彈性體平衡的必要和充分的條件是對于任意虛位移，外力所做的虛功等于內(nèi)力所做的虛功，也稱為虛位移原理。24第24頁，共50頁，2023年，2月20日，星期四

最小勢能原理：在所有滿足幾何邊界條件的位移中，使系統(tǒng)的勢能為最小的位移，就是能滿足平衡條件的真實(shí)的位移。分別表示彈性體的變形能和外載做功。它是有限元法中位移法的基礎(chǔ)導(dǎo)出單元?jiǎng)偠汝?5第25頁，共50頁，2023年，2月20日，星期四

彈性體在外力作用下變形并處于平衡狀態(tài)，彈性體所具有的總勢能（或總位能）由三部分組成26第26頁，共50頁，2023年，2月20日，星期四27第27頁，共50頁，2023年，2月20日，星期四§2.6.5余虛功原理最小余能原理28第28頁，共50頁，2023年，2月20日，星期四

最小余能原理：在所有能滿足平衡條件和應(yīng)力邊界條件的應(yīng)力狀態(tài)中，使系統(tǒng)的余能為最小的應(yīng)力狀態(tài)，就是能滿足變形協(xié)調(diào)條件和位移邊界條件的真實(shí)的應(yīng)力狀態(tài)。……..29第29頁，共50頁，2023年，2月20日，星期四第3章有限元法一）有限元法的基本思路1）

把連續(xù)的彈性體進(jìn)行離散化；

離散原則:幾何近似和物理近似2）建立單個(gè)單元內(nèi)的位移函數(shù)-試函數(shù)；3）利用變分原理建立單元?jiǎng)偠确匠?

單元?jiǎng)偠汝嚭凸?jié)點(diǎn)力向量4）在總體坐標(biāo)系組裝，建立整體剛度陣和力陣，建立有限元法基本方程，求解未知位移；5）求解單元的應(yīng)力，應(yīng)變等。30第30頁，共50頁，2023年，2月20日，星期四二）單元類型1）一維單元2）二維單元31第31頁，共50頁，2023年，2月20日，星期四三）三維單元32第32頁，共50頁，2023年，2月20日，星期四1.平面問題有限元法1.1結(jié)構(gòu)離散時(shí)應(yīng)注意的問題1）單元數(shù)目的確定應(yīng)兼顧精度,經(jīng)濟(jì)性和計(jì)算機(jī)容量的要求；2）在初步分析的基礎(chǔ)上進(jìn)行離散；3）每單元上的各邊邊長應(yīng)盡量接近，以提高計(jì)算精度。4）除邊界點(diǎn)外，任意一個(gè)單元的角點(diǎn)（頂點(diǎn)或節(jié)點(diǎn)）必須同時(shí)也是相鄰單元的角點(diǎn)，而不能是內(nèi)點(diǎn)。33第33頁，共50頁，2023年，2月20日，星期四3）4）34第34頁，共50頁，2023年，2月20日，星期四1.2.2單元位移函數(shù)1）廣義坐標(biāo)系下單元位移函數(shù)注意項(xiàng)數(shù)的問題？35第35頁，共50頁，2023年，2月20日，星期四對于三角形單元，有3個(gè)節(jié)點(diǎn)，位移函數(shù)取：xyi節(jié)點(diǎn):(ui,vi)j節(jié)點(diǎn):(uj,vj)m節(jié)點(diǎn):(um,vm)單元節(jié)點(diǎn)位移列陣：36第36頁，共50頁，2023年，2月20日，星期四綜合位移函數(shù)和3節(jié)點(diǎn)處的位移值，可求得系數(shù)a1,a2,a3,a4,a5,a6代入位移函數(shù)表達(dá)式，并寫成矩陣形式：37第37頁，共50頁，2023年，2月20日，星期四其中，稱為插值函數(shù)插值函數(shù)的性質(zhì)：1）在節(jié)點(diǎn)上插值函數(shù)的值有2）在單元中任一點(diǎn)各插值函數(shù)之和為1，即:Ni+Nj+Nm=1；3）連續(xù)性和完整性以及幾何各向同性。38第38頁，共50頁，2023年，2月20日，星期四1.2.3單元?jiǎng)偠确匠痰耐茖?dǎo)1）幾何關(guān)系39第39頁，共50頁，2023年，2月20日，星期四2）物理關(guān)系A(chǔ))對于平面應(yīng)力問題40第40頁，共50頁，2023年，2月20日，星期四B)對于平面應(yīng)變問題41第41頁，共50頁，2023年，2月20日，星期四3）單元總勢能I)單元內(nèi)應(yīng)變能密度II)單元內(nèi)總勢能42第42頁，共50頁，2023年，2月20日，星期四根據(jù)變分原理，總勢能泛函取得極值的條件是對未知位移的一階變分為0，即：單元?jiǎng)偠汝?）單元?jiǎng)偠汝?3第43頁，共50頁，2023年，2月20日，星期四單元?jiǎng)偠汝嚨男再|(zhì)：1）是對稱矩陣；2）主對角線元素恒為正；3）是奇異矩陣44第44頁，共50頁，2023年，2月20日，星期四5）結(jié)構(gòu)剛度方程

單元?jiǎng)偠确匠探⒑螅纯砂磳μ?hào)入座原則，組集總體結(jié)構(gòu)剛度矩陣，即直接作用在節(jié)點(diǎn)上的集中外荷向量結(jié)構(gòu)剛度方程：45第45頁，共50頁，2023年，2月20日，星期四6）組裝剛度陣124365節(jié)點(diǎn)和單元編號(hào)I）總體矩陣中的位置之11234自由度編號(hào)(1,2)(3,4)(5,6)(7,8)(9,10)(11,12)123446第46頁，共50頁，2023年，2月20日，星期四II）總體矩陣中的位置之2-（消除被約束自由度的編號(hào)）自由度編號(hào)(1,2)(3,4)(5,6)(7,8)(9,10)(11,12)1234自由度編號(hào)(1,2)(3,4)(5,6)(7,8)123447第47頁，共50頁，2023年，2月20日，星期四II）1單元組裝1ijmi1,i2j1,j2m1,m2自由度編號(hào)(1,2)(3,4)(5,6)(7,8)1234m1m23

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