2023屆山西省三重教育高三下學(xué)期3月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知，則（

）A． B． C．1 D．【答案】B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算和共軛復(fù)數(shù)的概念，模的運(yùn)算求解.【詳解】，，．故選:B.2．已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)絕對值不等式的解法，求出集合，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求出集合，然后根據(jù)交集運(yùn)算求解即可.【詳解】，，所以．故選：C.3．已知，為單位向量，若，則（

）A．0 B．－1 C．1 D．2【答案】A【分析】根據(jù)，為單位向量和求出，然后根據(jù)向量的運(yùn)算律求即可.【詳解】因?yàn)椋瑸閱挝幌蛄?，所以，所以，．故選：A.4．我國“復(fù)興號”高鐵列車是世界上運(yùn)營速度最快的輪軌列車．在平直的鐵軌上停著一輛“復(fù)興號”高鐵列車，列車與鐵軌上表面接觸的車輪半徑為，且某個車輪上的點(diǎn)剛好與鐵軌的上表面接觸，若該列車行駛了距離，則此時到鐵軌上表面的距離為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)扇形弧長公式可確定車輪轉(zhuǎn)過的角度，根據(jù)的范圍作出圖形，即可確定所求距離.【詳解】當(dāng)列車行駛的距離為時，則車輪轉(zhuǎn)過的角度所對應(yīng)的扇形弧長為，車輪轉(zhuǎn)過的角度為，點(diǎn)的初始位置為，設(shè)車輪的中心為，當(dāng)時，作，垂足為，如下圖所示，則，到鐵軌表面的距離為；當(dāng)時，，作，垂足為，如下圖所示，則，到鐵軌表面的距離為；當(dāng)時，，作，垂足為，如下圖所示，則，到鐵軌表面的距離為；當(dāng)時，作，垂足為，如下圖所示，則，到鐵軌表面的距離為；當(dāng)或或或時，到鐵軌表面的距離滿足；當(dāng)時，點(diǎn)到鐵軌表面的距離為，，綜上所述：點(diǎn)到鐵軌表面的距離為.故選：C.5．已知，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】變形給定等式，求出的范圍，再把變形為的二次函數(shù)，求出最大值作答.【詳解】由，得，解得，于是，而，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號，因此，所以當(dāng)時，取得最大值.故選：C6．記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)等差數(shù)列求和公式可得，公差，由于符號不確定，可知ABC錯誤；采用作差法，結(jié)合等差數(shù)列通項(xiàng)公式和求和公式可推導(dǎo)得到D正確.【詳解】，，又，等差數(shù)列的公差；對于A，，，，符號不確定，則符號不確定，A錯誤；對于B，符號不確定，，符號不確定，B錯誤；對于C，，又符號不確定，大小不確定，C錯誤；對于D，，，D正確.故選：D.7．定義域?yàn)榈暮瘮?shù)的導(dǎo)數(shù)為，若，且，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)已知不等式可得單調(diào)性，結(jié)合時，，可構(gòu)造函數(shù)，由已知不等式確定時，單調(diào)遞增；將各選項(xiàng)中的大小關(guān)系比較轉(zhuǎn)化為同一函數(shù)不同函數(shù)值的比較，結(jié)合單調(diào)性即可得到大小關(guān)系.【詳解】當(dāng)時，由得：，，在上單調(diào)遞減，令，則，且；當(dāng)時，，，在上單調(diào)遞增，對于A，，即，，A錯誤；對于B，，即，，B錯誤；對于C，，C錯誤；對于D，，即，，D正確.故選：D.8．已知三棱錐的各頂點(diǎn)都在同一球面上，若，，，，則該球的體積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，把三棱錐補(bǔ)形成底面為圓內(nèi)接四邊形的直四棱柱，再利用該四棱柱的結(jié)構(gòu)特征求出球半徑作答.【詳解】每個底面四個頂點(diǎn)共圓的直四棱柱，兩底面四邊形外接圓圓心的中點(diǎn)到各頂點(diǎn)距離相等，則該四棱柱的所有頂點(diǎn)在同一球面上，如圖，把三棱錐補(bǔ)成一個直四棱柱，且底面四邊形存在外接圓，如圖，因?yàn)?，，則，同理，而，即有，，且，于是，AB為四邊形的外接圓直徑，設(shè)四棱柱的側(cè)棱長為h，有，，因此，解得，則，，即有，是等邊三角形，，符合題意，直四棱柱的外接球球心到底面距離，四邊形外接圓半徑，則球半徑，所以該球的體積為．故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決與球有關(guān)的內(nèi)切或外接問題時，關(guān)鍵是確定球心的位置，再利用球的截面小圓性質(zhì)求解.二、多選題9．已知，其中，則（

）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】對于A：利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系來計算判斷；對于B：利用倍角公式來計算判斷；對于C：利用倍角公式來計算判斷；對于D：利用兩角差的余弦公式來計算判斷.【詳解】對于A：若，其中，則，，故A錯誤；對于B：，且，則，故B正確；對于C：，故C正確；對于D：，故D正確．故選：BCD.10．已知直線a，b，c兩兩異面，且，，下列說法正確的是（

）A．存在平面α，β，使，，且，B．存在平面α，β，使，，且，C．存在平面γ，使，，且D．存在唯一的平面γ，使，且a，b與γ所成角相等【答案】ABC【分析】通過平移直線，根據(jù)線面垂直的判定即可判定AC;通過平移直線，根據(jù)線面平行的判定即可判斷C；根據(jù)空間中的對稱性即可判斷D【詳解】對于A,平移直線到與直線相交，設(shè)平移后的直線為，因?yàn)?，所以，設(shè)直線確定的平面為α，則，，直線和相交，所以，同理可得：，故A對；對于B,平移直線到與直線相交，設(shè)平移后的直線為，設(shè)直線確定的平面為α，因?yàn)?/，且，所以，同理可得：，故B對；對于C,同時平移直線和直線，令平移后的直線相交，設(shè)平移后的直線為，因?yàn)椋?，所以，，設(shè)直線確定的平面為γ，則，，且，故C對；對于D，由對稱性可知，存在兩個平面γ，使，且a，b與γ所成角相等，故D錯誤；故選：ABC.11．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線的左焦點(diǎn)關(guān)于的一條漸近線的對稱點(diǎn)恰好在上，若直線交的左半支于點(diǎn)，則（

）A．的漸近線方程為 B．的面積為C． D．是等腰三角形【答案】AC【分析】設(shè)與漸近線交于點(diǎn)，為右焦點(diǎn)，分析可知為線段的中點(diǎn)，求出、，利用勾股定理可得出、的等量關(guān)系，可判斷A選項(xiàng)；計算出的面積，可判斷B選項(xiàng)；設(shè)，則，，在直角中，利用勾股定理求出，可求得、，可判斷C選項(xiàng)；利用大角對大邊定理可判斷D選項(xiàng).【詳解】如圖，設(shè)與漸近線交于點(diǎn)，為雙曲線的右焦點(diǎn)，則為線段的中點(diǎn)，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，，雙曲線的左焦點(diǎn)為，則點(diǎn)到直線的距離為，即，則，由雙曲線的定義可得，則，在中，由勾股定理可得，即，整理可得，所以，雙曲線的漸近線方程為，A對；，，所以，，B錯；設(shè)，則，，在直角中有，，即，解得，則，，所以，C對；設(shè)雙曲線的半焦距為，則，因?yàn)?，為的中點(diǎn)，所以，，，因?yàn)?，為線段上一點(diǎn)（不與線段端點(diǎn)重合），則為銳角，故為鈍角，則在中，，所以，，所以，不是等腰三角形，D錯.故選：AC.12．已知當(dāng)時，，則（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】根據(jù)給定的不等式，賦值變形判斷A；賦值求和判斷CD；變形不等式右邊，借助二項(xiàng)式定理及組合數(shù)的性質(zhì)推理判斷D作答.【詳解】因?yàn)?，令，，則，令，，則，A正確；因?yàn)?，則，，…，，以上各式相加有，B錯誤；由得，，即，于是，，，…，，以上各式相加有，即，C正確；由得，，因此，設(shè)，，則，所以，D正確．故選：ACD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：由給定信息判斷命題的正確性問題，從給定的信息出發(fā)結(jié)合命題，對變量適當(dāng)賦值，再綜合利用相關(guān)數(shù)學(xué)知識及方法是解決問題的關(guān)鍵.三、填空題13．已知函數(shù)，則____________．【答案】－2【分析】通過計算的值可得答案.【詳解】，．故答案為：－2.14．已知正方體的棱長為2，E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn)，則多面體的體積為____________．【答案】##【分析】利用多面體的體積等于三棱柱的體積與三棱臺的體積之差來計算.【詳解】多面體的體積等于三棱柱的體積與三棱臺的體積之差，其中三棱柱的體積為，三棱臺的體積為，所以多面體的體積為．故答案為：.15．有甲、乙、丙三個開關(guān)和A，B，C三盞燈，各開關(guān)對燈的控制互不影響．當(dāng)甲閉合時A，B亮，當(dāng)乙閉合時B，C亮，當(dāng)丙閉合時A，C亮．若甲、乙、丙閉合的概率分別為，，，且相互獨(dú)立，則在A亮的條件下，B也亮的概率為____________．【答案】【分析】若AB同時亮，則可能閉合甲開關(guān)或不閉合甲開關(guān)且同時閉合乙，丙開關(guān).若AAB同時亮概率與A亮概率之商.【詳解】設(shè)事件M為A燈亮，事件N為B燈亮，事件X為開關(guān)甲閉合，事件Y為開關(guān)乙閉合，事件Z為開關(guān)丙閉合，則所求概率為.其中，，所以.故答案為：16．拋物線的光學(xué)性質(zhì)是：位于拋物線焦點(diǎn)處的點(diǎn)光源發(fā)出的每一束光經(jīng)拋物線反射后的反射線都與拋物線的對稱軸平行或重合．設(shè)拋物線C：的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)的直線交C于A，B兩點(diǎn)，且，若C在A，B處的切線交于點(diǎn)P，Q為的外心，則的面積為______．【答案】108【分析】設(shè)直線l：，聯(lián)立拋物線方程，韋達(dá)定理，由得，利用弦長公式求出，利用拋物線的光學(xué)性質(zhì)及圓的性質(zhì)知是等腰直角三角形，從而求出面積.【詳解】如圖，易知C的焦點(diǎn)為，顯然當(dāng)x軸時，AF不垂直于BF，設(shè)過點(diǎn)的直線l的斜率為k（）．則l：，將代入，得，即.設(shè)，，則，，又，，所以，所以，即，所以，即，解得，所以，設(shè)PA，PB與x軸正方向的夾角分別為，由拋物線的光學(xué)性質(zhì)可知，，故，且由圓的性質(zhì)可知，所以是等腰直角三角形，其中，故.故答案為：108.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：直線與圓錐曲線相交問題時，有時需要考查斜率不存在和存在兩種情況，斜率存在的情況經(jīng)常和曲線方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系解決幾何問題.四、解答題17．在中，，．(1)求；(2)求的外接圓與內(nèi)切圓的面積之比．【答案】(1)(2)【分析】（1）先利用正弦定理角化邊和余弦定理，用表示出，再利用正弦定理求；（2）先利用正弦定理將外接圓半徑用表示，再利用三角形的面積將內(nèi)切圓半徑用表示，進(jìn)而可得外接圓與內(nèi)切圓的面積之比.【詳解】（1）設(shè)內(nèi)角的對邊分別為，，由正弦定理得，又由余弦定理．解得，又在中，，所以由正弦定理可知；（2）設(shè)的外接圓與內(nèi)切圓的半徑分別為R，r，由（1）及正弦定理可知，，由三角形面積公式可知：，且的周長為，所以，故，所以的外接圓與內(nèi)切圓的面積之比為．18．已知數(shù)列滿足．(1)是否為等比數(shù)列？并說明理由；(2)若，求的通項(xiàng)公式．【答案】(1)答案見解析(2)【分析】（1）根據(jù)已知遞推關(guān)系式可得，討論首項(xiàng)，結(jié)合等比數(shù)列定義可得結(jié)論；（2）由等比數(shù)列通項(xiàng)公式可推導(dǎo)得到，采用累加法可求得結(jié)果.【詳解】（1）由得：，當(dāng)時，數(shù)列為各項(xiàng)為的常數(shù)列，不是等比數(shù)列；當(dāng)時，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.（2）當(dāng)時，，由（1）知：數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，，即，當(dāng)時，，又滿足，.19．某中學(xué)為了調(diào)查學(xué)生每周運(yùn)動時長，隨機(jī)從全校男生和女生中各抽取了90名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，并對每周不同運(yùn)動時長所對應(yīng)的人數(shù)進(jìn)行了統(tǒng)計，得到如下數(shù)據(jù)：每周平均運(yùn)動時長少于7小時每周平均運(yùn)動時長不少于7小時男生4545女生6030(1)能否有99%的把握認(rèn)為男生與女生每周平均運(yùn)動時長有差異？(2)現(xiàn)隨機(jī)從全校男生和女生中各隨機(jī)抽取2名學(xué)生，記其中男生和女生中每周平均運(yùn)動時長不少于7小時的人數(shù)分別為X，Y，且記，證明：．附：【答案】(1)沒有99%的把握認(rèn)為學(xué)生每周平均運(yùn)動時長與性別有差異；(2)證明見解析.【分析】（1）根據(jù)給定的數(shù)表，結(jié)合的計算公式，求出的觀測值并與臨界值表比對作答；（2）利用二項(xiàng)分布的期望公式求出，再利用相互獨(dú)立事件、互斥事件的概率公式結(jié)合期望的定義求出作答.【詳解】（1）由已知得列聯(lián)表：每周平均運(yùn)動時長少于7小時每周平均運(yùn)動時長不少于7小時合計男生454590女生603090合計10575180，所以沒有99%的把握認(rèn)為學(xué)生每周平均運(yùn)動時長與性別有差異．（2）男生中每周平均運(yùn)動時長不少于7小時的概率，女生中每周平均運(yùn)動時長不少于7小時的概率，依題意，，，于是，，隨機(jī)變量的可能值為，，0，1，2，，，，，，因此，所以．20．如圖，直三棱柱的所有棱長均相等，為的中點(diǎn)．(1)證明：；(2)設(shè)分別是棱上的點(diǎn)，若點(diǎn)在同一平面上，且的面積是的面積的倍，求二面角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）方法一：延長交于點(diǎn)，根據(jù)線面垂直的判定與性質(zhì)可證得，結(jié)合正方形中可證得平面，由線面垂直的判定可證得結(jié)論；方法二：結(jié)合垂直關(guān)系可以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示可證得結(jié)論；方法三：延長交于點(diǎn)，根據(jù)，利用向量數(shù)量積的定義和運(yùn)算律可得，由此可得結(jié)論；（2）根據(jù)面積比可求得所需的長度，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用二面角的向量求法可求得結(jié)果.【詳解】（1）方法一：連接，延長交于點(diǎn)，連接，由題意知：四邊形為正方形，；，為中點(diǎn)，，又，，，平面，平面，，又，平面，平面，又平面，，，平面，平面，平面，；方法二：連接，延長交于點(diǎn)，連接，，為中點(diǎn)，，又，，，又平面，則以為坐標(biāo)原點(diǎn)，正方向?yàn)檩S，可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，，，，；方法三：平面，平面，，，，；為等邊三角形，，又，.（2）在（1）的條件下，若在同一平面上，則在同一直線上，過作，交于，設(shè)，，則，，，，解得：，，，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，正方向?yàn)檩S，可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，設(shè)平面的法向量，則，令，解得：，，；設(shè)平面的法向量，則，令，解得：，，；，二面角的正弦值為．21．已知橢圓的右焦點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，點(diǎn)，且．(1)求的方程；(2)過的直線交于兩點(diǎn)，證明：直線平分．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）由可得，利用向量數(shù)量積坐標(biāo)表示可得，由橢圓關(guān)系可得，由此可得橢圓方程；（2）將直線方程與橢圓方程聯(lián)立可得韋達(dá)定理的結(jié)論，將問題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離的問題，將問題進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為證明，結(jié)合韋達(dá)定理可證得結(jié)論.【詳解】（1）由橢圓方程知：，設(shè)，則，，，，解得：，，橢圓的方程為：.（2）由題意知：直線斜率存在，可設(shè)，即，由得：，設(shè)，，則，，直線的方程為，直線的方程為，點(diǎn)到直線的距離分別為，，若直線平分，只需滿足，即，整理化簡有：，即，故只需滿足，，，，則，直線平分．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛；本題考查直線與橢圓的綜合應(yīng)用問題，證明直線平分角的關(guān)鍵是能夠?qū)栴}轉(zhuǎn)化為角平分線上的點(diǎn)