PAGE1-【走向高考】2016屆高三數(shù)學(xué)一輪基礎(chǔ)鞏固第11章第６節(jié)幾何概型北師大版一、選擇題1．有一杯1L的水，其中含有1個(gè)細(xì)菌,用一個(gè)小杯從這杯水中取出0.1L水，則小杯水中含有這個(gè)細(xì)菌的概率為()A．0 B．０.1Ｃ.0．0１?D.1[答案]B［解析］小杯水含有這個(gè)細(xì)菌的概率為P＝eq\ｆ(0.1,1)＝0．1.2．（20１4·遼寧高考)若將一個(gè)質(zhì)點(diǎn)隨機(jī)投入如圖所示的長方形ＡBCＤ中,其中AB＝2,ＢＣ=１,則質(zhì)點(diǎn)落在以AＢ為直徑的半圓內(nèi)的概率是()A.ｅq\ｆ(π，2)?B.eq\f(π,4)C．eq＼ｆ(π,6) Ｄ．eq\f(π,8)[答案]Ｂ[解析]考查了幾何概型．總面積2×1＝2.半圓面積eq\f(1,2)×π×12＝ｅq＼f(π，２).∴p＝eｑ＼f（\f(π，2),2)＝ｅq\f(π,4).3．如圖,矩形長為6，寬為2，在矩形內(nèi)隨機(jī)地撒300顆黃豆，數(shù)得落在橢圓外的黃豆數(shù)為９6顆,以此試驗(yàn)數(shù)據(jù)為依據(jù)可以估算出橢圓的面積約為(）A.3.84 B．4.84C．８.16 Ｄ.９．16[答案］C[解析]矩形的面積為12，設(shè)橢圓的面積為S，則ｅq\ｆ(S,12)≈ｅｑ\f(３０0－９6，300),解得S≈８.１６.4.在長為12ｃm的線段AB上任取一點(diǎn)M,并以線段AＭ為邊作正方形,則這個(gè)正方形的面積介于36cm2與8１cｍ2之間的概率為()A.eｑ＼f（1,4)?B．eｑ\f(1,3）Ｃ.eq\f(4,27)?Ｄ.eｑ\ｆ(4,15)[答案]A[解析]面積為36ｃｍ２時(shí),邊長AM＝6cm;面積為８1cm2時(shí)，邊長AＭ=9ｃm.∴Ｐ＝ｅｑ\f(９－6，12）＝eq\ｆ(3，1２）=eq\f(1，4).５．在面積為S的△ＡBＣ的邊AB上任取一點(diǎn)P,則△ＰBＣ的面積大于eq＼f（Ｓ,4)的概率是()A．ｅq\f(1，4) Ｂ.eq\ｆ(1，2)Ｃ.eｑ\f(3,4)?D.eq\ｆ（2,3）［答案]Ｃ[解析]如圖，在AB邊上取點(diǎn)Ｐ′,使eｑ\ｆ（ＡP′,AＢ)=eq\f（３，4),則P只能在AP′上(不包括P′點(diǎn))運(yùn)動(dòng),則所求概率為eq\f(AP′，AB)=eｑ\f（3,4).6．若在區(qū)間［-5,5]內(nèi)任取一個(gè)實(shí)數(shù)a，則使直線x+y＋a＝0與圓(ｘ－1)2＋（y＋2)２＝2有公共點(diǎn)的概率為()A．eq\f(＼r(２),5) B.eq\ｆ(2,5)Ｃ.eq\f(３,5) Ｄ．eq\f(3\r（２)，１0)[答案］B[解析]若直線與圓有公共點(diǎn),則圓心到直線的距離d=eｑ＼f(|1-2+a|,\r(2）)=eｑ\ｆ(|a－１|,\r(２)）≤ｅq\ｒ(2)，解得-1≤ａ≤３．又a∈［-5，5],故所求概率為eq＼f（4,10)＝ｅq\f(2，５).二、填空題7．(2014·福建高考)如圖，在邊長為1的正方形中隨機(jī)撒10０0粒豆子,有１８０粒落到陰影部分,據(jù)此估計(jì)陰影部分的面積為＿_(dá)______.[答案］0.１８［解析]本題考查了幾何概型．由比例知eq\f(1,Ｓ)=eｑ＼f（１0００，1８0）,∴S=0.18.8．(文)設(shè)函數(shù)f(x)=x2-x-２，ｘ∈［－5,5]，那么任取一點(diǎn)ｘ0，使f(x０)≤0的概率為_＿＿_(dá)__＿＿．[答案]eq\ｆ(3,10)[解析］由f(ｘ0)≤0，得－1≤ｘ０≤2，則f(x０)≤0的概率為Ｐ=eｑ\f(2－-１，5-－５）＝eq\f（3，10).(理）在區(qū)間[-2,4]上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)x，若x滿足|x|≤m的概率為eq＼f（5,６），則m=_____＿_(dá)_．[答案］3[解析］本題考查的是幾何概型．由|ｘ|≤m，得－m≤x≤m.當(dāng)ｍ≤2時(shí),由題意得eq＼ｆ(2m,６)=eq\f(5,６)，解得ｍ＝２.５矛盾舍去．當(dāng)2<m<4時(shí)，由題意得:eq\f(m-－2,6)=eq＼f（5，6),解得m＝３.即m的值為3．9.在區(qū)間[-1，１]上任取兩數(shù)x和y，組成有序數(shù)對(duì)(x，ｙ)記事件A為“ｘ2＋y2＜1”,則P(Ａ)＝_＿_(dá)__＿＿＿.[答案]ｅｑ\ｆ(π，４)[解析]事件“從區(qū)間［－1，1]上任取兩數(shù)，x，y組成有序數(shù)對(duì)(x,ｙ)”的所有結(jié)果都落在-1≤x≤1，且-１≤y≤1為正方形區(qū)域中，而事件Ａ的所有結(jié)果都落有以（0,０）為圓心的單位圓面上,故μA＝π,μΩ=2×2=4,∴P(Ａ）＝eq\f(π,4）.三、解答題１0．如圖所示，在單位圓O的某一直徑上隨機(jī)的取一點(diǎn)Q，求過點(diǎn)Ｑ且與該直徑垂直的弦長長度不超過1的概率.［解析]弦長不超過１,即|ＯQ|≥eｑ\ｆ(\ｒ（3),2）,而Q點(diǎn)在直徑ＡB上是隨機(jī)的，記事件Ｃ＝{弦長超過1}.由幾何概型的概率公式得P(Ｃ）=ｅq＼ｆ(\f(\ｒ(3),2)×2，2）＝eｑ＼f(＼r(３）,2).∴弦長不超過1的概率為１－P(C)=1-eq\ｆ（\r(3)，2)．即所求弦長不超過1的概率為1－eq＼f(\ｒ(3）,2).一、選擇題1．任意畫一個(gè)正方形，再將這個(gè)正方形各邊的中點(diǎn)相連得到第二個(gè)正方形,依此類推，這樣一共畫了4個(gè)正方形,如圖所示，若向圖形中隨機(jī)投一點(diǎn),則所投點(diǎn)落在第四個(gè)正方形中的概率是(）A．eｑ\ｆ（\ｒ(２），4)?B.eｑ\f(1,4)Ｃ．eq\f(1，8） D.eq\ｆ(1,16)[答案]Ｃ[解析]依題意可知，第四個(gè)正方形的邊長是第一個(gè)正方形邊長的eq\f(＼r(２),4）倍，所以第四個(gè)正方形的面積是第一個(gè)正方形面積的ｅq\f（１,8）倍,由幾何概型可知，所投點(diǎn)落在第四個(gè)正方形中的概率為eｑ\ｆ(１,8)，故選C．2．(文）已知Ω＝｛(x,y)|x+y≤６，x≥０，ｙ≥0｝,A={（x,y)｜x≤4，y≥0，x-2y≥０},若向區(qū)域Ω內(nèi)隨機(jī)投一點(diǎn)Ｐ，則點(diǎn)Ｐ落在區(qū)域A內(nèi)的概率為()Ａ.eq\f（1,３) B.eq\f（2，3)C.eq\f(1，9）?D．ｅq＼f(2,９)［答案］D[解析]區(qū)域Ω為△AOＢ，區(qū)域A為△ＯCD,∴所求概率P=ｅq＼f（Ｓ△ＯＣＤ,S△AOＢ)=eｑ\ｆ（\f(1,2)×4×2,\ｆ(１,２)×6×6)=eq\ｆ(2,9).（理)如圖所示,在一個(gè)長為π,寬為2的矩形ＯABC內(nèi)，曲線y＝sinｘ(0≤x≤π)與ｘ軸圍成如圖所示的陰影部分，向矩形ＯＡBＣ內(nèi)隨機(jī)投一點(diǎn)（該點(diǎn)落在矩形OABC內(nèi)任何一點(diǎn)是等可能的),則所投的點(diǎn)落在陰影部分的概率是()A．ｅq＼f(1,π) Ｂ．eq＼f(２，π）Ｃ．ｅq\f(3,π) D．eq＼f(4,π)[答案]A［解析]由題圖可知陰影部分是曲邊圖形,考慮用定積分求出其面積．由題意得S=ｅq＼i＼in(0,π,）sｉnxdx=-cosｘ|eq＼o\al(π,0)=-（ｃoｓπ－cｏs０）=2，再根據(jù)幾何概型的算法易知所求概率是eｑ\f(S，S矩形OABC)=eq\f(2,2π)=eq\f（1，π).二、填空題３．已知正三棱錐S-ＡBC的底面邊長為4，高為３，在正三棱錐內(nèi)任取一點(diǎn)P，使得ＶＰ-AＢC<eq\ｆ(１，2)VS-ABC的概率是____＿_(dá)＿_(dá)．［答案］eq\f（7，8）[解析]設(shè)三棱錐P－ＡBC的高為ｈ，∵VＰ-ＡBC<eｑ\f（1，2)ＶS-ABC，∴eq\f（１,3)S△ABC×h＜ｅｑ\f(１,2)×eq\f(1,３)S△AＢC×3,∴h<ｅq\f(3,２）,即點(diǎn)P位于中截面以下，故所求概率為P=1－eq\f(＼ｆ(1，3)×＼f（1，4)Ｓ△ABC×＼f(3，2),＼ｆ(１,3)S△ABC×3)＝eq＼ｆ(7，8).４．（文)在區(qū)域M=｛（x，y)|ｅｑ\b\ｌc\{＼rc\(\ａ\vs4\al\ｃo1(0<ｘ<2,0＜y<4))}內(nèi)隨機(jī)撒一把黃豆，落在區(qū)域Ｎ＝{(x，y)|eq\b\ｌc＼{\ｒc\(＼ａ＼vs4\al＼co1(x+y＜4,y>x,x>0))}內(nèi)的概率是_＿＿＿＿_(dá)__．［答案］ｅq\ｆ（1,2)[解析]畫出區(qū)域Ｍ，Ｎ，如圖,區(qū)域Ｍ為矩形OAＢC,區(qū)域N為圖中陰影部分．S陰影=eq＼f(1，2)×4×２＝４，故所求概率P=ｅｑ＼f(4,4×2)=eq＼f（1，2）.(理)已知m∈[1，7]則函數(shù)f(x)＝eq＼f(x3,３)－(4m-1)x2＋（15m2－2m－７)x＋2在實(shí)數(shù)集R[答案]eｑ\f(1,3）［解析]f′(x）=x2－２(4m－1)x+1５m２依題意，知f′(x)在R上恒大于或等于0，所以Δ=4(m2－6m+８）≤0，得2≤m又ｍ∈[１，７]，所以所求的概率為eq＼f(4-2,７－１)=eq＼ｆ（1,3）．三、解答題５.投擲一個(gè)質(zhì)地均勻的、每個(gè)面上標(biāo)有一個(gè)數(shù)字的正方體玩具,它的六個(gè)面中，有兩個(gè)面標(biāo)的數(shù)字是0，兩個(gè)面標(biāo)的數(shù)字是2，兩個(gè)面標(biāo)的數(shù)字是4，將此玩具連續(xù)拋擲兩次,以兩次朝上一面的數(shù)字分別作為點(diǎn)P的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo).(1)求點(diǎn)P落在區(qū)域C：x２＋y2≤１０內(nèi)的概率;（2)若以落在區(qū)域C上的所有點(diǎn)為頂點(diǎn)作面積最大的多邊形區(qū)域M，在區(qū)域C上隨機(jī)撒一粒豆子,求豆子落在區(qū)域Ｍ上的概率.[解析](１）以0、2、４為橫、縱坐標(biāo)的點(diǎn)P有（0,0)、(0,2)、（0,４)、(2,0)、(2,2)、(２,4)、(4,0）、(4,2)、（４,4)共９個(gè)，而這些點(diǎn)中,落在區(qū)域C內(nèi)的點(diǎn)有：（0,0)、(0，2）、（２,0)、(2,２)共4個(gè),∴所求概率為P=eq\ｆ(4，9）.(2)∵區(qū)域M的面積為４,而區(qū)域C的面積為10π，∴所求概率為P＝eq\ｆ(4,1０π）=eq\f(２,５π).６．(文)設(shè)有關(guān)于ｘ的一元二次方程x2+２ａｘ＋b２＝0.(1)若a是從0,１,2,３四個(gè)數(shù)中任取一個(gè)數(shù),ｂ是從０,1,2三個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù),求上述方程有實(shí)根的概率;(２)若a是從區(qū)間［０,3]上任取的一個(gè)數(shù)，b是從區(qū)間［0，２]上任取的一個(gè)數(shù)，求上述方程有實(shí)根的概率.[解析]設(shè)事件A為“方程x２＋2ａx+ｂ2＝0有實(shí)根”,當(dāng)ａ≥０，b≥0時(shí)，方程x２+２ax+b2＝0有實(shí)根的充要條件為a≥B．（1）基本事件共有12個(gè)：（0，０）,(0,1),(0，2），(1,0),(1,1)，(1，2)，（2，0),(2,1),(2,2)，（3,０）,(3，１),(3，2)，其中第一個(gè)數(shù)表示a的取值,第二個(gè)數(shù)表示b的取值．事件A中包含9個(gè)基本事件，事件A發(fā)生的概率為P(A）＝eq\ｆ(９,12)＝eq\f(3,4).(2)試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)椋?a,ｂ）｜0≤a≤３,0≤ｂ≤2}，構(gòu)成事件Ａ的區(qū)域?yàn)閧(a,ｂ)|0≤ａ≤３，0≤ｂ≤2,a≥ｂ},故所求的概率為Ｐ(Ａ）=eq\ｆ（3×2-\f(１,２)×２2，3×2)＝eq\f(2,3)．(理)已知函數(shù)f(x）=ａｘ2－2bｘ＋a(a，b∈R）．(1)若ａ從集合｛0,1，2,3｝中任取一個(gè)元素，b從集合{0,1，2,３｝中任取一個(gè)元素,求方程ｆ(x)=0恰有兩個(gè)不相等實(shí)根的概率;(2)若b從區(qū)間［０,2]中任取一個(gè)數(shù)，a從區(qū)間[0,3］中任取一個(gè)數(shù),求方程ｆ（x）＝0沒有實(shí)根的概率．[解析]（1)∵a取集合｛0,１,2，3}中任一個(gè)元素,b取集合{0,1，2，3}中任一個(gè)元素∴a，b取值的情況是：(0，０),(０,1)，（０,２）,(1,0）,(１，1）,（1,2)，(２,０),(2,1)，(２，2），（3,０)，(3,1),(3,2)，(0,3),(1,3）,(2，３），(3,3)其中第一個(gè)數(shù)表示ａ的取值,第二個(gè)數(shù)表示b的取值.即基本事件總數(shù)為16．設(shè)“方程f（x）＝0恰有兩個(gè)不相等的實(shí)根”為事件A當(dāng)ａ≥0,b≥0時(shí)，方程f（x)=0恰有兩個(gè)不相等實(shí)根的充要條件為b>a且a不等于零當(dāng)b>a且a≠0時(shí),a，b取值的情況有(１,２),(１,３）,(2,３）即A包含的基本事件數(shù)為3,∴方程ｆ(x)＝0恰有兩個(gè)