高三一輪復習3.5兩角和與差的正弦、余弦和正切公式學案【考綱傳真】1.能運用兩角和與差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦和正切公式進行簡單的恒等變換(包括導出積化和差、和差化積、半角公式，但對這三組公式不要求記憶)2.本部分內(nèi)容是高考的重點，利用三角公式進行化簡。變形常研究三角函數(shù)的圖象性質(zhì)相結合，有時也與平面向量、解三角形相結合，是高考的熱點。題型以解答題為主，屬中低檔題【知識掃描】知識梳理：1．公式的常見變形(1)1＋cosα＝2cos2eq\f(α,2)；1－cosα＝2sin2eq\f(α,2)；(2)1＋sinα＝(sineq\f(α,2)＋coseq\f(α,2))2；1－sinα＝(sineq\f(α,2)－coseq\f(α,2))2.(3)taneq\f(α,2)＝eq\f(sinα,1＋cosα)＝eq\f(1－cosα,sinα).2．輔助角公式asinx＋bcosx＝eq\r(a2＋b2)sin(x＋φ)，其中sinφ＝eq\f(b,\r(a2＋b2))，cosφ＝eq\f(a,\r(a2＋b2)).名師點睛：1.降冪公式：cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2)，sin2α＝eq\f(1－cos2α,2).2.升冪公式：1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α.3.輔助角公式：asinx＋bcosx＝eq\r(a2＋b2)sin(x＋φ)，其中sinφ＝eq\f(b,\r(a2＋b2))，cosφ＝eq\f(a,\r(a2＋b2)).4.利用輔助角公式，asinx＋bcosx轉化時一定要嚴格對照和差公式，防止搞錯輔助角．5.計算形如y＝sin(ωx＋φ),x∈[a，b]形式的函數(shù)最值時，不要將ωx＋φ的范圍和x的范圍混淆．【學情自測】1．“sinα＝cosα”是“cos2α＝0”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件2．已知tanα＝4，則eq\f(1＋cos2α＋8sin2α,sin2α)的值為()A．4eq\r(3)B.eq\f(65,4)C．4D.eq\f(2\r(3),3)設Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(πx,3)＋cos\f(πx,5)，sin\f(πx,3)＋sin\f(πx,5)))(x∈R)為坐標平面內(nèi)一點，O為坐標原點，記f(x)＝|OM|，當x變化時，函數(shù)f(x)的最小正周期是()A．30πB．15πC．30D．154．若sin2α＝eq\f(\r(5),5)，sin(β－α)＝eq\f(\r(10),10)，且α∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，π))，β∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π，\f(3π,2)))，則α＋β的值是()A.eq\f(7π,4)B.eq\f(9π,4)C.eq\f(5π,4)或eq\f(7π,4)D.eq\f(5π,4)或eq\f(9π,4)5．若tanα＋eq\f(1,tanα)＝eq\f(10,3)，α∈(eq\f(π,4)，eq\f(π,2))，則sin(2α＋eq\f(π,4))的值為________．6．已知函數(shù)f（x）=﹣2sinx﹣cos2x．（1）比較f（）f（）的大小(填“<”,“>”,“=”)（2）函數(shù)f（x）的最大值為．已知直線l1∥l2，A是l1，l2之間的一定點，并且A點到l1，l2的距離分別為h1，h2，B是直線l2上一動點，作AC⊥AB，且使AC與直線l1交于點C，則△ABC面積的最小值為__________。8．已知函數(shù)f（x）=（1+tanx）cos2x．（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的定義域和最小正周期；（Ⅱ）當x∈（0，）時，求函數(shù)f（x）的值域．參考答案1.【答案】A【解析】sinα＝cosα?cos2α＝cos2α－sin2α＝0；cos2α＝0?cosα＝±sinα推不出sinα＝cosα，故選A.2.【答案】B【解析】eq\f(1＋cos2α＋8sin2α,sin2α)＝eq\f(2cos2α＋8sin2α,2sinαcosα)＝eq\f(2＋8tan2α,2tanα)＝eq\f(2＋8×42,2×4)＝eq\f(65,4)，故選B。3.【答案】D【解析】f(x)＝|OM|＝eq\r(2＋2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,3)xcos\f(π,5)x＋sin\f(π,3)xsin\f(π,5)x)))＝eq\r(2＋2cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)x－\f(π,5)x)))＝eq\r(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋cos\f(2,15)πx)))＝eq\r(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋2cos2\f(π,15)x－1)))＝eq\r(4cos2\f(π,15)x)＝2eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,15)x))。所以其最小正周期T＝eq\f(π,\f(π,15))＝15。故選D.4.【答案】A【解析】∵α∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，π))，∴2α∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，2π)).∵sin2α＝eq\f(\r(5),5)，∴2α∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，∴α∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))，cos2α＝－eq\f(2\r(5),5).∵β∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π，\f(3π,2)))，∴β－α∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(5π,4)))，∴cos(β－α)＝－eq\f(3\r(10),10)，∴cos(α＋β)＝cos[2α＋(β－α)]＝cos2αcos(β－α)－sin2αsin(β－α)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(5),5)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3\r(10),10)))－eq\f(\r(5),5)×eq\f(\r(10),10)＝eq\f(\r(2),2).又∵α＋β∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5π,4)，2π))，∴α＋β＝eq\f(7π,4).故選A.5.【答案】－eq\f(\r(2),10)【解析】由tanα＋eq\f(1,tanα)＝eq\f(10,3)得eq\f(sinα,cosα)＋eq\f(cosα,sinα)＝eq\f(10,3)，∴eq\f(1,sinαcosα)＝eq\f(10,3)，∴sin2α＝eq\f(3,5).∵α∈(eq\f(π,4)，eq\f(π,2))，∴2α∈(eq\f(π,2)，π)，∴cos2α＝－eq\f(4,5).∴sin(2α＋eq\f(π,4))＝sin2αcoseq\f(π,4)＋cos2αsineq\f(π,4)＝eq\f(\r(2),2)×(eq\f(3,5)－eq\f(4,5))＝－eq\f(\r(2),10)6.【答案】＞；3【解析】（1）f（）=﹣，f（）=﹣，∵﹣＞﹣，∴f（）＞f（），（2）∵f（x）=﹣2sinx﹣cos2x．=﹣2sinx﹣1+2sin2x，=2（sinx﹣）2﹣，∴函數(shù)f（x）的最大值為3．7.【答案】h1h2【解析】如圖，設∠ABD＝α，則∠CAE＝α，AB＝eq\f(h2,sinα)，AC＝eq\f(h1,cosα)。所以S△ABC＝eq\f(1,2)·AB·AC＝eq\f(h1h2,sin2α)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0＜α＜\f(π,2)))。當2α＝eq\f(π,2)，即α＝eq\f(π,4)時，S△ABC的最小值為h1h2。8.【答案】見解析【解析】（Ⅰ）函數(shù)f（