近世代數(shù)之等價關(guān)系與集合的分類1第1頁，共19頁，2023年，2月20日，星期四一、等價關(guān)系元素的一個條件．如果對中任意一個有序元素對

的一個關(guān)系(relation)．如果與滿足條件，則稱

與有關(guān)系，記作；否則稱與無關(guān)系．關(guān)

系也稱為二元關(guān)系．

，我們總能確定與是否滿足條件，就稱是

定義1.1.1

設(shè)是一個非空集合,是關(guān)于的

2第2頁，共19頁，2023年，2月20日，星期四例1

設(shè)是一個非空集合，的所有子集組成的

集合記為．因?yàn)閷Φ娜我鈨蓚€子集，，

或有且僅有一個成立，所以集合的包含關(guān)系“”

是的一個關(guān)系．進(jìn)一步討論可以發(fā)，這個關(guān)系還

具有下面兩條性質(zhì)：(1)反身性，即對的任一子集，有；(2)傳遞性,即對的任意子集,,,如果

,,則有．

3第3頁，共19頁，2023年，2月20日，星期四例2

在整數(shù)集中,規(guī)定．因?yàn)檫@個關(guān)系也具有反身性和傳遞性．

例3

在整數(shù)集中,規(guī)定(即與互

素)．因?yàn)榕c有且僅有一個成立,所

以是的一個關(guān)系．這個關(guān)系既不滿足反身性也不滿

足傳遞性,但卻滿足所謂的對稱性,即對任意兩個整數(shù)

,由，可推出．

與有且僅有一個成立,所以“|”是的一個關(guān)系．

4第4頁，共19頁，2023年，2月20日，星期四定義1.1.2

設(shè)是非空集合的一個關(guān)系,如

果滿足

(E1)反身性,即對任意的,有；(E2)對稱性,即若,則；

(E3)傳遞性,即若,且,則．則稱是的一個等價關(guān)系(equivalencerelation),并且如果,則稱等價于,記作．5第5頁，共19頁，2023年，2月20日，星期四定義1.1.3

如果～是集合的一個等價關(guān)系,對,令稱子集為的一個等價類(equivalenceclass)．

的全體等價類的集合稱為集合在等價關(guān)系下的商集

(quotientset),記作．

6第6頁，共19頁，2023年，2月20日，星期四例４

易知,三角形的全等,相似,數(shù)域上階方陣的等,相似,相合等都是等價關(guān)系,而例1,例2,例3及本節(jié)開頭所述的關(guān)系都不是等價關(guān)系．

7第7頁，共19頁，2023年，2月20日，星期四例５

設(shè)是正整數(shù),在整數(shù)集中,規(guī)定這個關(guān)系為同余關(guān)系(congruencerelation),并記作

(2)若,則；

(3)若,有

,則．

與等價當(dāng)且僅當(dāng)與被除有相同的余數(shù),因此稱所以是的一個等價關(guān)系,顯然

(1)對任意整數(shù),則(讀作“同余于,?！?．整數(shù)的同余關(guān)

系及其性質(zhì)是初等數(shù)論的基礎(chǔ)

8第8頁，共19頁，2023年，2月20日，星期四二、集合的分類定義1.1.4

如果非空集合表成若干個兩兩不

相交的非空子集的并,則稱這些子集為集合的一種

分類(partition),其中每個子集稱為一個類

(class).

如果

的子集族構(gòu)成的一種分類,則記作9第9頁，共19頁，2023年，2月20日，星期四例6設(shè)為數(shù)域上全體階方陣的集合,令

表示所有秩為的階方陣構(gòu)成的子集.

(1);(2)．所以是的一種分類．例7

是整數(shù)集的一

種分類．

10第10頁，共19頁，2023年，2月20日，星期四于,且,同一元素在兩個子集中重復(fù)出現(xiàn),

例8對實(shí)數(shù)集,令子集,.由

所以不是的一種分類．

11第11頁，共19頁，2023年，2月20日，星期四三、集合的等價關(guān)系與集合的分類這兩個概念之間

聯(lián)系定理1.1.1集合的任何一個等價關(guān)系都確定

了的一種分類,且其中每一個類都是集合的一個等

價類.反之,集合的任何一種分類也都給出了集合

的一個等價關(guān)系,且相應(yīng)的等價類就是原分類中的那

些類．

12第12頁，共19頁，2023年，2月20日，星期四證首先,為集合的一個等價關(guān)系,則(1)對任意的,由反身性知,所以

(2)如果,從而由對稱性知再由傳遞性知

又對任意的,則,.這說明,不同的類沒有公共元素．

.于是,因此.則有．同理,所以于是同樣由傳遞性得13第13頁，共19頁，2023年，2月20日，星期四從而由(P1),(P2)知,全體等價類形成的一種

分類,顯然每一個類都是的等價類．其次,如果已知集合的一種分類,在中規(guī)

定關(guān)系“～”：

對任意的,由于與本身屬于同一類,所以

.如果,即與屬于同一類,自然與也

屬于同一類,所以.最后,如果,,14第14頁，共19頁，2023年，2月20日，星期四即與屬于同一類,與屬于同一類,因而與同在

所在的類中,所以．因此“～”是的一個等價

關(guān)系.顯然,由此等價關(guān)系得到的等價類就是原分類中那些類．15第15頁，共19頁，2023年，2月20日，星期四例９設(shè)試確定集合上的全部等價

關(guān)系．

解由定理1.1.1知，只要求出的全部分類,也

即求出的所有可能的子集分劃即可．

(1)如果分劃為一個子集,則有;(2)如果分劃為兩個子集,則有(3)如果分劃為三個子集,則有

16第16頁，共19頁，2023年，2月20日，星期四因此,上共有五個不同的等價關(guān)系,它們是17第17頁，共19頁，2023年，2月20日，星期四注如果用表示一個具有個元素的集合上

的不同等價關(guān)系的個數(shù),則有下列的遞推公式:其中,為二項(xiàng)式系數(shù),并規(guī)定

18第18頁，共19頁，2023年，2月20日，星期四參考文獻(xiàn)及閱讀材料[1]閔嗣鶴,嚴(yán)士健