關(guān)于主成分分析法例子第1頁，課件共20頁，創(chuàng)作于2023年2月一、主成分分析的基本原理

假定有n個樣本，每個樣本共有p個變量，構(gòu)成一個n×p階的數(shù)據(jù)矩陣（1）

第2頁，課件共20頁，創(chuàng)作于2023年2月降維處理?。?！當(dāng)p較大時，在p維空間中考察問題比較麻煩。降維是用較少的幾個綜合指標(biāo)代替原來較多的變量指標(biāo)，而且使這些較少的綜合指標(biāo)既能盡量多地反映原來較多變量指標(biāo)所反映的信息，同時它們之間又是彼此獨立的。第3頁，課件共20頁，創(chuàng)作于2023年2月定義：記x1，x2，…，xP為原變量指標(biāo)，z1，z2，…，zm（m≤p）為新變量指標(biāo)(2)

第4頁，課件共20頁，創(chuàng)作于2023年2月系數(shù)lij的確定原則：

①zi與zj（i≠j；i，j=1，2，…，m）相互無關(guān)；②

z1是x1，x2，…，xP的一切線性組合中方差最大者，z2是與z1不相關(guān)的x1，x2，…，xP的所有線性組合中方差最大者；

……zm是與z1，z2，……，zm－1都不相關(guān)的x1，x2，…xP，的所有線性組合中方差最大者。則新變量指標(biāo)z1，z2，…，zm分別稱為原變量指標(biāo)x1，x2，…，xP的第一，第二，…，第m主成分。

第5頁，課件共20頁，創(chuàng)作于2023年2月

從以上的分析可以看出，主成分分析的實質(zhì)就是確定原來變量xj（j=1，2，…，

p）在諸主成分zi（i=1，2，…，m）上的載荷

lij（

i=1，2，…，m；

j=1，2，…，p）。從數(shù)學(xué)上可以證明，載荷lij分別是相關(guān)矩陣的m個較大的特征值所對應(yīng)的特征向量。第6頁，課件共20頁，創(chuàng)作于2023年2月二、計算步驟

（一）計算相關(guān)系數(shù)矩陣

rij（i，j=1，2，…，p）為原變量xi與xj的相關(guān)系數(shù)，rij=rji，其計算公式為：（3）

（4）

第7頁，課件共20頁，創(chuàng)作于2023年2月

（二）計算特征值與特征向量：

①解特征方程，求出特征值，并使其按大小順序排列；

②

分別求出對應(yīng)于特征值的特征向量，要求=1，即，其中表示向量的第j個分量。第8頁，課件共20頁，創(chuàng)作于2023年2月③

計算主成分貢獻(xiàn)率及累計貢獻(xiàn)率

▲貢獻(xiàn)率:▲累計貢獻(xiàn)率:

一般取累計貢獻(xiàn)率達(dá)85—95%的特征值所對應(yīng)的第一、第二、…、第m（m≤p）個主成分。

第9頁，課件共20頁，創(chuàng)作于2023年2月（6）

④各主成分的得分第10頁，課件共20頁，創(chuàng)作于2023年2月三、主成分分析方法應(yīng)用實例表1某農(nóng)業(yè)生態(tài)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)各區(qū)域單元的有關(guān)數(shù)據(jù)

第11頁，課件共20頁，創(chuàng)作于2023年2月第12頁，課件共20頁，創(chuàng)作于2023年2月步驟如下：（1）將表1中的數(shù)據(jù)作標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)化處理，然后將它們代入公式（4）計算相關(guān)系數(shù)矩陣（見表2）。表2相關(guān)系數(shù)矩陣第13頁，課件共20頁，創(chuàng)作于2023年2月

（2）由相關(guān)系數(shù)矩陣計算特征值，以及各個主成分的貢獻(xiàn)率與累計貢獻(xiàn)率（見表3）。由表3可知，第一，第二，第三主成分的累計貢獻(xiàn)率已高達(dá)86.596%（大于85%），故只需要求出第一、第二、第三主成分z1，z2，z3即可。

第14頁，課件共20頁，創(chuàng)作于2023年2月表3特征值及主成分貢獻(xiàn)率

第15頁，課件共20頁，創(chuàng)作于2023年2月

（3）對于特征值=4.6610，=2.0890，=1.0430分別求出其特征向量l1，l2，l3。第16頁，課件共20頁，創(chuàng)作于2023年2月表4主成分載荷

第17頁，課件共20頁，創(chuàng)作于2023年2月

①第一主成分z1與x1，x5，x6，x7，x9呈顯出較強(qiáng)的正相關(guān)，與x3呈顯出較強(qiáng)的負(fù)相關(guān)，而這幾個變量則綜合反映了生態(tài)經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)狀況，因此可以認(rèn)為第一主成分z1是生態(tài)經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)的代表。

②第二主成分z2與x2，x4，x5呈顯出較強(qiáng)的正相關(guān)，與x1呈顯出較強(qiáng)的負(fù)相關(guān)，其中，除了x1為人口總數(shù)外，x2，x4，x5都反映了人均占有資源量的情況，因此可以認(rèn)為第二主成分z2代表了人均資源量。

分析：第18頁，課件共20頁，創(chuàng)作于2023年2月顯然，用三個主成分z1、z2、z3代替原來9個變量（x1，x2，…，x9），描述農(nóng)業(yè)生態(tài)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)，可以使問題更進(jìn)一步簡化、明了。③第三主成分z3