1第四節(jié)一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)二、由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)三、相關(guān)變化率機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束隱函數(shù)和參數(shù)方程求導(dǎo)

相關(guān)變化率

第二章

2一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)若由方程可確定一個(gè)變量是另一個(gè)的函數(shù),由表示的函數(shù),稱為顯函數(shù)(ExplicitFunction).例如,可確定顯函數(shù)也可確定函數(shù),但此函數(shù)無法解出.函數(shù)為隱函數(shù)(ImplicitFunction).則稱此隱函數(shù)求導(dǎo)方法:兩邊對

x

求導(dǎo)(含導(dǎo)數(shù)的方程)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束所以隱函數(shù)未必能顯式化！稱為顯式化.(變量平等形式!)(鏈?zhǔn)椒▌t!)3，求解在方程解得例1

設(shè)一階導(dǎo)數(shù)y'是x,y的函數(shù)兩邊對x求導(dǎo)得代入初值，當(dāng)x=0時(shí)從而(變量平等形式!)(不必解出y!)4例2

試求與橢圓相切且平行于直線的切線方程。設(shè)點(diǎn)在橢圓上，且過該點(diǎn)的切線與直線平行，則兩邊對求導(dǎo)，得，解出解由橢圓上有點(diǎn)即斜率5故橢圓上有兩個(gè)點(diǎn)及處切線與直線平行，兩條切線方程分別是

即

和

和6例3

設(shè)解:

等式兩邊取對數(shù)得到一個(gè)隱式函數(shù)

，求兩邊再對求導(dǎo)，注意到是的函數(shù)，對數(shù)求導(dǎo)法(適用于冪指函數(shù)求導(dǎo)!)(結(jié)果導(dǎo)函數(shù)總含有原函數(shù)!)(指數(shù)對數(shù)法求導(dǎo)的隱形式!)(乘除變加減,指數(shù)變相乘!)7例4對x

求導(dǎo)兩邊取對數(shù)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束解：根式連乘函數(shù)類型也適用對數(shù)求導(dǎo)法即(乘除變加減,指數(shù)變相乘!)(絕對值保正!)(不必討論定義域!)(定義域縮小又還原!)8二、由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)若參數(shù)方程可確定一個(gè)

y

與

x之間的函數(shù)可導(dǎo),且則時(shí),有時(shí),有(此時(shí)x看成是

y的函數(shù))關(guān)系,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束導(dǎo)數(shù)不全為0，(鏈?zhǔn)椒▌t!)(參數(shù)t視為中間變量!)或9若上述參數(shù)方程中二階可導(dǎo),且則由它確定的函數(shù)可求二階導(dǎo)數(shù).利用新的參數(shù)方程,可得機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束掌握方法，不記公式(鏈?zhǔn)椒▌t!)(參數(shù)t為中間變量!)10例1.設(shè),且求解:再如:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束導(dǎo)數(shù)原始分母都是11例2.

求擺線在所對應(yīng)的點(diǎn)的切線與法線方程.時(shí)，擺線上對應(yīng)的點(diǎn)為

解:故斜率

12所求切線方程為即法線方程為

即

擺線上對應(yīng)的點(diǎn)為13三、相關(guān)變化率為兩個(gè)對于參數(shù)t可導(dǎo)的可導(dǎo)函數(shù)之間有聯(lián)系之間也有聯(lián)系兩個(gè)相關(guān)的對于參數(shù)的導(dǎo)函數(shù)稱為相關(guān)變化率相關(guān)變化率問題解法:找出相關(guān)變量（函數(shù)與自變量）的關(guān)系式對

t求導(dǎo)得相關(guān)變化率（導(dǎo)函數(shù)）之間的關(guān)系式求出未知的相關(guān)變化率（由已知求未知）機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束(導(dǎo)數(shù)就是變化率!)14例1.將水注入深8米、上頂直徑8米的正圓錐形容器，

其速率每分鐘4立方米，當(dāng)水深為5米時(shí)，其表面上升的速度是多少？

解

此時(shí)水面半徑為r,則設(shè)時(shí)刻容器內(nèi)水面高度為，水的體積為

當(dāng)

（米/分）

（米）時(shí)，（米3/分），

48h故相似三角形

(從體積變化率求出高度變化率!)(反解!)15例2.一氣球從離開觀察員500m

處離地面鉛直上升,其速率為當(dāng)氣球高度為500m

時(shí),觀察員視線的仰角增加率是多少?解:

設(shè)氣球上升t

分后其高度為h,仰角為

,則獲相關(guān)變化率已知

h=500m時(shí),機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束兩邊對t求導(dǎo)(從高度變化率求角度變化率)16練習(xí).1.求的導(dǎo)數(shù).解:兩邊取對數(shù),化為隱式兩邊對x

求導(dǎo)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束17求其反函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解:方法1方法2等式兩邊同時(shí)對求導(dǎo)2.

設(shè)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束18,求解：

3.設(shè)方程組兩邊同時(shí)對t求導(dǎo),得機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束當(dāng)時(shí)19內(nèi)容小結(jié)1.隱函數(shù)求導(dǎo)法則直接對方程兩邊求導(dǎo)2.對數(shù)求導(dǎo)法:適用于冪指函數(shù)及某些用連乘,連除表示的函數(shù)及根式函數(shù)3.參數(shù)方程求導(dǎo)法4.相關(guān)變化率問題列出依賴于

t的相關(guān)變量關(guān)系式對t求導(dǎo)相關(guān)變化率之間的關(guān)系式求高階導(dǎo)數(shù)時(shí),從低到高每次都用參數(shù)方程求導(dǎo)公式機(jī)動(dòng)目錄上頁