目錄第一章緒論21.1隨機(jī)振動的根本概念和特征21.2隨機(jī)振動研究的內(nèi)容和意義3第二章隨機(jī)振動的數(shù)學(xué)描述52.1隨機(jī)過程的根本概念和特征52.2隨機(jī)過程的數(shù)學(xué)描述62.2.1隨機(jī)變量定義6一維隨機(jī)變量的概率分布函數(shù)與概率密度函數(shù)7多維隨機(jī)變量8隨機(jī)變量的數(shù)字特征10隨機(jī)變量的分布以及運(yùn)算142.3隨機(jī)過程的幅域描述142.3.1隨機(jī)過程概率統(tǒng)計特征量142.3.2平穩(wěn)隨機(jī)過程162.4隨機(jī)過程的時域描述172.4.1各態(tài)歷經(jīng)隨機(jī)過程182.4.2平穩(wěn)隨機(jī)過程的自相關(guān)函數(shù)18互相關(guān)函數(shù)192.5隨機(jī)過程的頻域描述：202.5.1典型函數(shù)的傅里葉變換20功率譜密度函數(shù)222.5.3平穩(wěn)隨機(jī)過程的譜分類：252.5.4隨機(jī)過程的分布272.6隨機(jī)過程的運(yùn)算28微分運(yùn)算28積分運(yùn)算28隨機(jī)振動位移、速度和加速度的相關(guān)函數(shù)和譜密度函數(shù)關(guān)系29第三章SDOF系統(tǒng)的隨機(jī)響應(yīng)323.1系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)和頻率響應(yīng)函數(shù)描述323.2單自由度系統(tǒng)隨機(jī)響應(yīng)分析33第四章多自由度系統(tǒng)的隨機(jī)響應(yīng)分析414.1多自由度系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)、頻率響應(yīng)函數(shù)414.2單輸入問題的MDOF系統(tǒng)的隨機(jī)響應(yīng)434.3多輸入問題的MDOF系統(tǒng)的隨機(jī)響應(yīng)454.4MDOF系統(tǒng)隨機(jī)響應(yīng)分析的模態(tài)方法524.5隨機(jī)響應(yīng)分析的虛擬鼓勵方法55第五章連續(xù)系統(tǒng)的隨機(jī)響應(yīng)分析62參考文獻(xiàn)68TOC\o"2-4"\f\u\t"標(biāo)題1,1"第一章緒論1.1隨機(jī)振動的根本概念和特征前面研究的振動問題都屬于確定性振動(deterministicvibration)，所謂確實定性就是指振動是有一定規(guī)律的，或者可以用一個確定的函數(shù)來描述，或者可以用假設(shè)干離散的值來描述，而且這個規(guī)律是可以重復(fù)的，可以預(yù)先估計的。例如，無阻尼自由振動問題：(1-1)在確定的初始條件作用下，系統(tǒng)的振動響應(yīng)規(guī)律為：(1-2)其中，，是由表征系統(tǒng)特性的物理參數(shù)確定的，和由初始條件確定。只要初始時刻的振動值，，就可以預(yù)知之后任意時刻的振動值。該系統(tǒng)在另外一次一樣的初始鼓勵下，系統(tǒng)振動規(guī)律理論上會得到完全的重復(fù)。再看一個有外鼓勵力作用的系統(tǒng)的振動規(guī)律：(1-3)這個系統(tǒng)的振動規(guī)律為：(1-4)其中，為任意的外鼓勵，為系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)。這個杜哈梅積分如果可以準(zhǔn)確積分，振動規(guī)律可以表示成一個確定的函數(shù)表達(dá)式，如果不能，需要利用數(shù)值積分，得到的振動規(guī)律是一組給定的離散時刻確實定的數(shù)值。同樣，在下一次一樣的外鼓勵作用下，振動規(guī)律還可以得到完全的重復(fù)。 在自然界和工程實際中還存在另外一種截然不同的現(xiàn)象，其變化是高度不規(guī)則，無規(guī)律的，不可預(yù)估也不可重復(fù)，物理現(xiàn)象的這種變化規(guī)律稱為隨機(jī)的。例如，海浪，地震，陣風(fēng)〔湍流〕，火箭的噴氣噪聲以及不平路面。在隨機(jī)現(xiàn)象作用下，系統(tǒng)產(chǎn)生的振動規(guī)律也同樣有隨機(jī)的特征，振動過程是不確定的，這樣振動稱為隨機(jī)振動。工程中有很多這樣的實際例子：在海浪作用下，海洋平臺構(gòu)造、水面艦船、出入水的導(dǎo)彈的振動在湍流作用下，飛行器構(gòu)造的振動在陣風(fēng)作用下，高聳建筑物、橋梁的振動在地震作用下，所有地面建筑構(gòu)造的振動在發(fā)動機(jī)噴氣噪聲以及大氣氣動噪聲的作用下，火箭、導(dǎo)彈等飛行器構(gòu)造的振動在不平路面的作用下，各種車輛的振動。 這些振動都是確定的工程構(gòu)造在隨機(jī)的外鼓勵力或運(yùn)動鼓勵作用下產(chǎn)生的，都是隨機(jī)振動。上述例子共同的特征是：鼓勵和響應(yīng)都不能用時間確實定函數(shù)來描述；對于*一特定時刻取值不確定；對于單個試驗記錄，從當(dāng)前時刻的值無法預(yù)估之后時刻的值；兩次一樣條件的試驗結(jié)果不可能重復(fù)，但屢次的試驗結(jié)果放在一起卻可以發(fā)現(xiàn)現(xiàn)象的*些統(tǒng)計規(guī)律。就是說振動運(yùn)動是隨機(jī)的，所以在任一給定時刻時的準(zhǔn)確值不可能準(zhǔn)確預(yù)計，我們最多只能求出在時刻，取值于*一區(qū)間的可能性或概率，給出在*一時刻的統(tǒng)計規(guī)律，而且統(tǒng)計規(guī)律也可能是隨時間變化的。1.2隨機(jī)振動研究的內(nèi)容和意義隨機(jī)問題，主要分為兩大類：1〕系統(tǒng)是確定性的，鼓勵是隨機(jī)的前面所列舉的例子都屬于這一類。確定性的系統(tǒng)在隨機(jī)的鼓勵作用下，系統(tǒng)的響應(yīng)也是隨機(jī)的。在這類問題中，主要研究鼓勵以及由其引起的隨機(jī)振動響應(yīng)的統(tǒng)計規(guī)律，研究這些規(guī)律與系統(tǒng)特性之間的關(guān)系。通常的隨機(jī)振動研究主要屬于這一類。2〕系統(tǒng)是隨機(jī)的，鼓勵或確定，或隨機(jī)自然界和工程中也有這樣的問題，例如，雨天，輸電線的振動問題，這里，輸電線的質(zhì)量是隨機(jī)變化的，也就是系統(tǒng)的特性是隨機(jī)的。這類問題，同樣也是研究隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律以及它們之間的相互關(guān)系。當(dāng)然，隨機(jī)振動也有其它的分類， 按系統(tǒng)自由度可分為：單自由度隨機(jī)振動；多自由度隨機(jī)振動；無限多自由度隨機(jī)振動。 按振動微分方程的特點可分為：線性隨機(jī)振動；非線性隨機(jī)振動。 按隨機(jī)振動頻帶寬窄可分為：寬帶隨機(jī)振動，窄帶隨機(jī)振動。 按振動的特性隨時間變化情況可分為：平穩(wěn)隨機(jī)振動；非平穩(wěn)隨機(jī)振動。我們主要研究線性單、多自由度、連續(xù)體系統(tǒng)在單個和多個平穩(wěn)隨機(jī)鼓勵作用下的響應(yīng)分析。 實際工程中，隨機(jī)振動現(xiàn)象是十分普遍的，嚴(yán)格地說，一切實際系統(tǒng)的振動都是隨機(jī)的，只不過有些振動隨機(jī)的成分很小，可以忽略，當(dāng)作確定性系統(tǒng)來研究。但是對于象湍流引起的飛機(jī)、火箭的振動、海浪導(dǎo)致出入水的導(dǎo)彈的振動，以及前面介紹的其它例子，都必須考慮振動的隨機(jī)性，用隨機(jī)振動的研究方法進(jìn)展研究，才能得出更符合實際情況的結(jié)論。第二章隨機(jī)振動的數(shù)學(xué)描述 由于確定性的構(gòu)造系統(tǒng)在隨機(jī)變化的鼓勵力作用下，系統(tǒng)的振動響應(yīng)也是隨機(jī)變化的，所以隨機(jī)振動主要研究鼓勵以及由其引起的隨機(jī)振動響應(yīng)的統(tǒng)計規(guī)律，以及這些規(guī)律與系統(tǒng)特性之間的關(guān)系。對這些規(guī)律我們可以利用概率論的知識對他們進(jìn)展定量或定性的研究，所以，首先我們要對隨機(jī)鼓勵或者隨機(jī)響應(yīng)進(jìn)展賦值，也就是用一個變量來表示，也就是要對隨機(jī)振動的各個量進(jìn)展數(shù)學(xué)描述。2.1隨機(jī)過程的根本概念和特征 隨機(jī)過程是對在空間和時間上高度不規(guī)則，事先無法預(yù)估，其變化也無法重復(fù)，其統(tǒng)計規(guī)律隨時間演化的物理現(xiàn)象的一種數(shù)學(xué)描述。工程中存在著很多這種物理現(xiàn)象，如在第一章所舉的例子，這些物理現(xiàn)象無法用確定性的理論來描述，但可以用隨機(jī)過程來描述。隨機(jī)振動的數(shù)學(xué)抽象即為隨機(jī)過程。 隨機(jī)過程的每一次測量所得結(jié)果可看作一次實現(xiàn)，或叫樣本函數(shù)。所有可能的樣本函數(shù)的集合構(gòu)成一個隨機(jī)過程。因此，隨機(jī)過程是由時間上無限長、樣本的無限多個的樣本函數(shù)構(gòu)成的，可以寫為：(2-1)圖2-1:隨機(jī)過程示意圖隨機(jī)過程的每次實現(xiàn)是一個確定的非隨機(jī)函數(shù)，但各個實現(xiàn)各不一樣，因此為了得到隨機(jī)過程的統(tǒng)計特性也必須做大量的獨(dú)立測量。例如在同一條件的海域內(nèi)，布置n個同一類型的波高儀，可同時測得n個記錄，得到n個實現(xiàn)，。在*一固定時刻可得各樣本瞬時波面高度，它們構(gòu)成了通常的隨機(jī)變量，在另一時刻又構(gòu)成另一個隨機(jī)變量。因此隨機(jī)過程也可以是樣本空間上的隨機(jī)變量的集合。下文就將表示為隨機(jī)過程。隨機(jī)過程是隨機(jī)變量進(jìn)一步開展得到的，是隨機(jī)變量隨時間的變化，是隨機(jī)變量的推廣?？梢钥闯鲭S機(jī)過程是對隨機(jī)現(xiàn)象的完全描述，嚴(yán)格的隨機(jī)過程應(yīng)包含隨機(jī)現(xiàn)象的無窮多個獨(dú)立測量樣本，而且每個樣本應(yīng)該在時間上是無限長。實際分析中，我們只能用樣本長度有限，樣本數(shù)目有限的樣本集合來代替隨機(jī)過程。所得結(jié)果僅是隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計特征的一個估計，一個近似。2.2隨機(jī)過程的數(shù)學(xué)描述 隨機(jī)過程的概念一方面定義為無窮多個樣本函數(shù)的集合，另一方面可以看作無窮多個隨機(jī)變量的集合(2-2)其中是由隨機(jī)過程*在時刻所有可能的取值構(gòu)成的隨機(jī)變量，是樣本函數(shù)的編號，。正因為它可以認(rèn)為是由無窮多個隨機(jī)變量構(gòu)成的，所以我們首先從隨機(jī)變量的概率描述角度，來對隨機(jī)過程進(jìn)展描述。2.2.1隨機(jī)變量定義 對所研究的隨機(jī)現(xiàn)象賦值便得到了一個隨機(jī)變量，例如，**地區(qū)每年冬天的最低氣溫。在同一海域內(nèi)布置n個同一類型的波高儀，在*一時刻所測得的n個波高值，就構(gòu)成一個描述波高可能取值的隨機(jī)變量。在一樣隨機(jī)鼓勵的屢次作用下，構(gòu)造系統(tǒng)在*一固定時刻振動響應(yīng)可能的取值，都屬于隨機(jī)變量。 許多隨機(jī)現(xiàn)象的試驗結(jié)果表現(xiàn)為數(shù)量，用來表示隨機(jī)試驗各種結(jié)果的變量叫做隨機(jī)變量。隨機(jī)試驗的一種結(jié)果也就是隨機(jī)變量的一個可能取值，這些所有可能的取值的集合就是一個隨機(jī)變量，用集合符號表示就是：(2-3)式中為隨機(jī)變量的一種可能取值。取有限值就是離散隨機(jī)變量，取無窮大就是連續(xù)隨機(jī)變量。 研究一個隨機(jī)變量，不但要知道它在每次試驗時的取值，更重要的是要知道它取這個數(shù)值的概率。綜上所述隨機(jī)變量的根本特征，用數(shù)學(xué)的語言來描述給出的定義為：定義于*樣本空間上的實變量，如果對于每一個實數(shù)，的概率Prob都存在，則就稱為隨機(jī)變量。通常主要考慮隨機(jī)變量的值取在整個實數(shù)軸上的問題。以下為行文方便簡寫為。2.2.2一維隨機(jī)變量的概率分布函數(shù)與概率密度函數(shù)對一個隨機(jī)變量作完整的概率描述就是給出它的概率分布，也就是給出*取值小于每一個的概率，就是給出函數(shù)：(2-4)F(*)稱為*的概率分布函數(shù)。概率分布函數(shù)的性質(zhì)：1〕(2-5)由定義可知實變量*取值小于的概率是，或說是肯定的2〕(2-6)*取值小于的概率是0，或說3〕是單調(diào)增函數(shù)由定義可知，假設(shè)4)5)對任意元素，有*取值在區(qū)間內(nèi)的概率為：(2-7)6〕(2-8)注意：對連續(xù)型隨機(jī)變量，取值為一個特定值的概率為零，。當(dāng)F(*)連續(xù)可導(dǎo)時，可以得到其導(dǎo)數(shù)函數(shù)(2-8)其意義可解釋為隨機(jī)變量*取值在*附近的單位區(qū)間的概率大小，因為：因此，p(*)大表示F(*)在該點的變化較大，也就是在這個區(qū)間概率分布密度也大，所以也稱p(*)為概率分布密度函數(shù)，簡稱概率密度函數(shù)。概率密度函數(shù)表示*取值在*點附近的單位區(qū)間內(nèi)的概率大小。概率密度函數(shù)的性質(zhì)：1〕(2-9)2〕(2-10)3〕(2-11)4〕(2-12)單調(diào)增函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)恒非負(fù)。5〕(2-13)2.2.3多維隨機(jī)變量有些問題需要考慮兩個或兩個以上的隨機(jī)現(xiàn)象同時發(fā)生的概率，例如打靶，就需要考慮在兩個方向同時射中區(qū)間的概率，這就是二維聯(lián)合概率問題，還有更多維，僅以二維為例。對于二維的隨機(jī)變量，它的聯(lián)合概率分布函數(shù)定義為：(2-14)即為隨機(jī)變量取小于同時小于的概率，性質(zhì)：1〕(2-15)2〕(2-16)3〕(2-17)4〕(2-18)5〕(2-19)6〕單獨(dú)對是單調(diào)增函數(shù)7)(2-20)當(dāng)有二階偏導(dǎo)數(shù)時，有(2-21)這個二階偏導(dǎo)函數(shù)定義了二維聯(lián)合概率密度函數(shù)。由定義及的性質(zhì)可知，(2-22)二維聯(lián)合概率密度函數(shù)性質(zhì)：1〕(2-23)2〕(2-24)3〕所以有(2-25)同理，由于有(2-26)這就給出了二維聯(lián)合概率密度函數(shù)與一維的關(guān)系。對于二維隨機(jī)變量，還定義有條件概率密度函數(shù)為：，其中表示在y條件下，*發(fā)生的概率，且有(2-27)假設(shè)*，Y統(tǒng)計獨(dú)立，則(2-28)且有(2-29)2.2.4隨機(jī)變量的數(shù)字特征隨機(jī)變量的統(tǒng)計特征可以用概率分布函數(shù)，或概率密度函數(shù)作完整描述，但要確定這些函數(shù)一般不大容易，通常也不是總有這個必要，實際問題是只需主要的統(tǒng)計特征即可，這些主要的數(shù)字特征稱為隨機(jī)變量的矩。原點矩：實隨機(jī)變量的n階矩定義為的集合平均，也稱n階原點矩，即有(2-30)其中最常用的是一階原點矩和二階原點矩。一階原點矩定義為(2-31)也就是隨機(jī)變量的均值，也稱數(shù)學(xué)期望，常記為?！矊﹄x散隨機(jī)變量有，如果隨機(jī)試驗得到一系列獨(dú)立的觀測值〔〕，則其樣本均值為：〕一階原點矩性質(zhì)：1.是常數(shù)(2-31)2.(2-32)3.(2-33)4.，或者(2-33)證明：5.假設(shè)二者相互統(tǒng)計獨(dú)立或者(2-34)證明：二階原點矩定義為：(2-35)也稱為隨機(jī)變量的均方值，常記為，通常表示隨機(jī)變量的能量水平。上面討論的都是隨機(jī)變量相對于坐標(biāo)原點的矩，也稱為原點矩，還有一種常見的矩，是相對于均值的，稱為中心矩。階中心矩定義為：(2-36)一階中心矩為：(2-37)二階中心矩為：(2-38)也稱為的方差，常記為，其平方根稱為標(biāo)準(zhǔn)差。對離散隨機(jī)變量有(2-39)樣本方差〔Samplevariance〕(2-40)方差說明隨機(jī)變量偏離均值的程度。方差性質(zhì)：1.(2-41)2.(2-42)3.(2-43)4.，假設(shè)統(tǒng)計獨(dú)立(2-44)證明：均值，均方值〔均方根值〕，方差〔標(biāo)準(zhǔn)差〕是隨機(jī)變量最重要的三個數(shù)字特征量，它們之間有如下關(guān)系：(2-45)聯(lián)合矩：多個隨機(jī)變量的矩的關(guān)系是聯(lián)合矩，以兩個隨機(jī)變量為例，其〔〕階的聯(lián)合原點矩定義為：(2-46)時有，也稱為相關(guān)矩(2-47)當(dāng)。同理有〔〕階的聯(lián)合中心矩定義為：(2-48)時有(2-49)也稱為隨機(jī)變量的協(xié)方差〔Covariance〕,兩個隨機(jī)變量之間的協(xié)方差表征了它們之間的相關(guān)性，通常用表示，即(2-50)當(dāng)兩個隨機(jī)變量相互統(tǒng)計獨(dú)立則有(2-51)當(dāng)不等于0時，說明，之間具有相關(guān)性，但是相關(guān)程度的大小，通常用的無量綱化的系數(shù)來表征(2-52)稱為相關(guān)系數(shù)。其絕對值小于一，為了證明這一點，利用如下著名的Schwarz不等式(2-53)特別地，當(dāng)時，有當(dāng)=0，即統(tǒng)計獨(dú)立時有，所以,(2-54)當(dāng)2.2.5隨機(jī)變量的分布以及運(yùn)算隨機(jī)變量的特定概率密度函數(shù)對應(yīng)著特定的取值分布，常見的分布有均勻分布，高斯分布〔正態(tài)分布〕等。均勻分布的概率密度函數(shù)為(2-55)高斯分布的概率密度函數(shù)為(2-56)隨機(jī)變量的初等函數(shù)仍然是隨機(jī)變量，后者的分布由前者確定，且假設(shè)的，，則有(2-57)2.3隨機(jī)過程的幅域描述2.3.1隨機(jī)過程概率統(tǒng)計特征量上述對隨機(jī)變量的成熟的概率描述手段，可以直接用于描述隨機(jī)過程，只不過為了表示隨機(jī)過程是一個動態(tài)的，隨時間變化的過程，需要加一個時間變量，如表示隨機(jī)過程在時刻的隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)，一維概率分布函數(shù)定義為：(2-58)對應(yīng)的數(shù)字統(tǒng)計特征為：(2-59)(2-60)(2-61)說明隨機(jī)過程在每一時間截口的分布中心，能量水平和偏離分布中心的程度。這些一維的概率分布只能描述各個獨(dú)立時刻單個隨機(jī)變量的概率特性，無法提醒隨機(jī)過程不同時刻之間的相互關(guān)系，為此必須使用二維以上的概率分布描述。隨機(jī)過程的二維概率分布函數(shù)定義為：(2-62)其性質(zhì)也和前述二維概率分布函數(shù)和二維概率密度函數(shù)性質(zhì)類似?；貞浨笆雒枋霾煌S機(jī)變量之間相關(guān)程度的數(shù)學(xué)特征量是協(xié)方差，對隨機(jī)過程不同時刻之間的相關(guān)性也可以用該量來描述，同樣定義：(2-63)為隨機(jī)變量的自協(xié)方差，通常用表示。(2-64)上式右側(cè)第一項為哪一項的相關(guān)矩，一階聯(lián)合原點矩也稱隨機(jī)過程的自相關(guān)函數(shù)，通常記為：(2-65)上述(2-64)公式說明假設(shè)隨機(jī)過程的均值，則有(2-66)也就表示了隨機(jī)過程不同時刻的隨機(jī)變量之間相關(guān)程度。由于多數(shù)隨機(jī)過程，例如，海浪符合這個條件，所以，將二者統(tǒng)稱為相關(guān)函數(shù)。用代替。很顯然有(2-67)(2-68)以上考慮的是單一隨機(jī)過程的概率描述。對不同的隨機(jī)過程可分別派生出兩族隨機(jī)變量。因而，有是需要考慮它們之間的聯(lián)合概率分布或聯(lián)合矩。此時聯(lián)合概率密度函數(shù)可以寫為。他們之間的二階聯(lián)合原點矩和中心矩分別為(2-69)(2-70)，分別是稱為互相關(guān)函數(shù)和互協(xié)方差函數(shù)，表示他們是來自于不同的隨機(jī)過程，對應(yīng)的來自于同一隨機(jī)過程都冠以“自〞。均方差，方差，自相關(guān)，協(xié)方差，統(tǒng)稱為二階矩。假設(shè)均方差存在，由Schwarz不等式：可以推知自相關(guān)函數(shù)必定存在。即可認(rèn)為隨機(jī)過程的二階矩函數(shù)存在，表示二階矩過程。與相關(guān)系數(shù)對應(yīng)規(guī)*化的互協(xié)方差函數(shù)為：(2-71)2.3.2平穩(wěn)隨機(jī)過程在實際中經(jīng)常遇到這樣一類隨機(jī)過程，他們隨時間變化是在一平均值周圍連續(xù)地隨機(jī)波動，其統(tǒng)計特征都根本上不隨時間變化，稱該過程為平穩(wěn)隨機(jī)過程〔Stationaryrandomprocess〕。平穩(wěn)隨機(jī)過程一般定義:假設(shè)一個隨機(jī)過程的概率特征量在時間參數(shù)做任意平移時保持不變，則稱此過程是平穩(wěn)的。嚴(yán)格平穩(wěn)隨機(jī)過程定義:假設(shè)隨機(jī)過程的n維聯(lián)合概率密度函數(shù)對任意實數(shù)都有(2-71)則稱此過程是n階平穩(wěn)的，且低于n的各階也都是平穩(wěn)的，如這個定義是嚴(yán)格平穩(wěn)的條件。嚴(yán)格平穩(wěn)的條件工程上很難滿足。因此引入了廣義平穩(wěn)〔弱平穩(wěn)或者寬平穩(wěn)〕的概念：假設(shè)一個隨機(jī)過程均值和自相關(guān)函數(shù)或者協(xié)方差不隨時間變化，即滿足1.(2-72)2.(2-73)兩個條件，即均值不隨時間變化，協(xié)方差也不與計時起點或時間原點有關(guān)，只與時差有關(guān)。這樣的隨機(jī)過程稱為廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程。工程中的平穩(wěn)的含義通常是指廣義平穩(wěn)。平穩(wěn)隨機(jī)過程的協(xié)方差協(xié)方差的一個重要性質(zhì)是:在隨機(jī)過程上增加一個確定性函數(shù)并不改變協(xié)方差函數(shù)。例如：的均值為和協(xié)方差，是一個確定函數(shù)，則的協(xié)方差不變。顯然：當(dāng)時有，，且的均值為零，。所以對協(xié)方差的要求就和對自相關(guān)函數(shù)的要求一樣。此外，對平穩(wěn)隨機(jī)過程而言，有時為了簡化運(yùn)算而假設(shè)平穩(wěn)隨機(jī)過程均值為零，工程中有許多過程為零。注意：由上述平穩(wěn)隨機(jī)過程定義可知，滿足這個定義的隨機(jī)過程的樣本函數(shù)無限長，而且在整個上統(tǒng)計特性對時間參數(shù)原點的選取有一定的均勻性，即與參數(shù)的初始時刻選取無關(guān)，而實際的隨機(jī)過程通常很難滿足這個條件，因此在實際工程問題處理中，只要一個隨機(jī)過程在一個較長的區(qū)間上呈現(xiàn)上述均勻性，就可以近似看作平穩(wěn)隨機(jī)過程。例如，火車在啟動和停頓階段，就不滿足均勻性的假設(shè)，但在中間較長一段時間內(nèi)是根本勻速行駛的，因此可看作廣義平穩(wěn)過程。2.4隨機(jī)過程的時域描述隨機(jī)振動的時域描述主要指時差域描述，用隨機(jī)過程不同時刻之間的相關(guān)情況來描述隨機(jī)振動。這里主要指平穩(wěn)隨機(jī)過程，而且通常還假設(shè)均值為零。2.4.1各態(tài)歷經(jīng)隨機(jī)過程平穩(wěn)隨機(jī)過程的均值和方差不依賴于時間，均值可由任意時刻的多個樣本的集合平均求得，協(xié)方差也僅取決于作相關(guān)的時差，但仍需對隨機(jī)過程進(jìn)展大量觀測，取得足夠多的樣本函數(shù)，盡管樣本函數(shù)可能不需要很長，但工作量仍然是很大的。因此就猜測能否用僅用一個足夠長的樣本來代替大量樣本構(gòu)成的總體，用該樣本的時間平均特性代替樣本空間的集合平均特性呢？為此引入樣本函數(shù)時間平均概念。設(shè)平穩(wěn)隨機(jī)過程*(t)任一樣本函數(shù)為*i(t)，下文為書寫簡便用代替任一無限長樣本函數(shù)，其時間均值定義為：(2-74)時間平均意義下的自相關(guān)函數(shù)定義為：(2-75)時間平均意義下的均方值當(dāng)時有，(2-76)時間平均意義下的方差定義為(2-77)各態(tài)歷經(jīng)隨機(jī)過程：對一個平穩(wěn)隨機(jī)過程，假設(shè)有(2-78)則稱該平穩(wěn)隨機(jī)過程關(guān)于均值遍歷。假設(shè)有(2-79)則稱過程關(guān)于相關(guān)函數(shù)具有遍歷性。具有一定遍歷性的隨機(jī)過程稱為遍歷過程，或稱各態(tài)歷經(jīng)隨機(jī)過程。也可以寫成如下形式：〔均值遍歷〕(2-80)〔相關(guān)函數(shù)遍歷〕(2-81)其中，i為樣本函數(shù)編號，j為時間采樣點編號。平穩(wěn)隨機(jī)過程遍歷的根本含義就是樣本函數(shù)的總體統(tǒng)計特征等于單個樣本在較長時間段內(nèi)的時間統(tǒng)計特征。2.4.2平穩(wěn)隨機(jī)過程的自相關(guān)函數(shù)根據(jù)前述的集合平均意義以及時間平均意義上的自相關(guān)函數(shù)定義，可以得到其性質(zhì)如下：1.(2-82)2.(2-83)證明：由于所以由此有說明隨機(jī)變量與自身的相關(guān)性最好。3.(2-84)證明：令，所以有由平穩(wěn)性定義也可以直接得到是偶函數(shù)這個性質(zhì)。4.(2-85)通常實際的物理系統(tǒng)總是有一點耗散的，隨著時差的增大，一般來說隨機(jī)過程的相關(guān)性有所減弱，而且當(dāng)?shù)綍r有，趨向于0。2.4.3互相關(guān)函數(shù)在隨機(jī)振動分析中，通常要用到來自兩個不同隨機(jī)過程的相關(guān)，例如隨機(jī)鼓勵力與隨機(jī)振動響應(yīng)的相關(guān)情況，還有兩個以上不同的隨機(jī)鼓勵力作用在同一構(gòu)造上等情況。對各態(tài)歷經(jīng)的隨機(jī)過程互相關(guān)函數(shù)定義為：(2-86)性質(zhì)：1.，一般不對稱(2-87)2.(2-88)證明：令例2-1：與為兩個平穩(wěn)隨機(jī)過程，求自相關(guān)函數(shù)解：對均值為零的平穩(wěn)隨機(jī)過程，假設(shè)相互獨(dú)立則有，即2.5隨機(jī)過程的頻域描述：2.5.1典型函數(shù)的傅里葉變換的連續(xù)傅里葉定義為：(2-89)(2-90)線性性質(zhì)：(2-91)對稱性質(zhì)：(2-92)平移性質(zhì)：(2-93)變標(biāo)尺性(2-94)共軛性(2-95)微分特性(2-96)乘積與卷積特性(2-97)典型函數(shù)的傅里葉變換1．脈沖函數(shù)定義：假設(shè)有，稱為單位脈沖函數(shù)，其性質(zhì)為傅里葉變換為(2-98)(2-99)可以得出如下結(jié)論：(2-100)2．正余弦函數(shù)的傅里葉變換(2-101)(2-102)3.單位指數(shù)函數(shù)(2-103)4．矩形脈沖函數(shù)(2-104)假設(shè)，則矩形函數(shù)相應(yīng)于矩形脈沖，則有，為矩形脈沖T的面積。2.5.2功率譜密度函數(shù)相關(guān)函數(shù)的傅里葉變換稱為功率譜密度函數(shù)〔Powerspectraldensityfunction〕，自相關(guān)函數(shù)的傅里葉變換稱為自功率譜密度函數(shù)，互相關(guān)函數(shù)的傅里葉變換稱為互功率譜密度函數(shù)。分別表達(dá)：自功率譜密度函數(shù)定義1：自相關(guān)函數(shù)的傅里葉變換或(2-105)(2-106)也可以說自相關(guān)函數(shù)是自功率譜密度函數(shù)的逆傅里葉變換，即或(2-107)(2-108)由于表示均方值，因此上式當(dāng)時有(2-109)所以在整個頻帶上的積分等于它的均方值，可以說，表示在單位帶寬內(nèi)具有的能量，具有能量〔或功率〕的密度的概念，所以稱為功率譜密度。所以也有如下的定義：，(2-110)可以證明這兩個定義是等價的。證明：同時有由于對任意的隨機(jī)函數(shù)，上兩式均成立，因此有：自功率譜性質(zhì)：表示振動功率按頻率的分布1.(2-111)2.(2-112)所以表示單位頻帶上信號的能量3.自功率譜是偶函數(shù)(2-113)互功率譜密度函數(shù)：對應(yīng)的互功率譜也有兩個等價定義1.或(2-114)2.(2-115)互功率譜密度函數(shù)性質(zhì)：互功率譜密度函數(shù)一般是復(fù)數(shù)，不對稱，且有(2-116)證明：對于實際的信號，一般沒有負(fù)頻率的概念，前述的意義是在上，這僅僅是理論上的定義，因此工程上便于應(yīng)用，把負(fù)頻率的譜密度折算到正的頻率上去，由是偶函數(shù)，所以定義：(2-117)移為單邊自譜密度函數(shù)，對應(yīng)稱雙邊自譜密度函數(shù)?！病?2-118)單邊自譜下的面積同樣等于均方值，因為：(2-119)類似的定義單邊上的互譜密函數(shù)：(2-120)對應(yīng)的稱為雙邊互譜密度函數(shù)。相干函數(shù)：在時域內(nèi)用相關(guān)系數(shù)表示兩個隨機(jī)變量的相關(guān)程度，同樣在頻域內(nèi)也定義一個類似的無量綱數(shù)來表示隨機(jī)函數(shù)的相關(guān)程度。(2-121)可以證明:(2-122)相干函數(shù)可以用來檢查系統(tǒng)是否有隨機(jī)干擾和非線性干擾，即如果接近于1，表示所經(jīng)過的系統(tǒng)非線性程度很小，噪聲干擾也很小，反之干擾比擬大，得到的譜密度函數(shù)不可信，因為輸出y不完全是由輸入*引起的。一般要求：2.5.3平穩(wěn)隨機(jī)過程的譜分類：一個平穩(wěn)隨機(jī)過程根據(jù)它的功率譜密度函數(shù)的性質(zhì)可分為寬帶或窄帶隨機(jī)過程。一個隨機(jī)過程假設(shè)它的功率譜密度函數(shù)在較寬的*圍有意義的值，稱為寬帶隨機(jī)過程，其自相關(guān)函數(shù)示意圖見圖2-2。圖2-2：寬帶隨機(jī)過程自相關(guān)函數(shù)理想地就是在整個頻率*圍內(nèi)都有值，一個極端情況就是〔一個固定的常數(shù)〕(2-123)這樣的過程稱為白噪聲。即譜密度函數(shù)是無限寬且均勻的，見圖2-3。其自相關(guān)函數(shù)為：(2-124)意味著均方值無窮大，見圖2-4，物理上是無法是實現(xiàn)的。但是在*些條件下可以近似的用白噪聲來模擬，如果該過程覆蓋了系統(tǒng)全部頻帶。圖2-3：白噪聲信號功率譜密度圖2-4：白噪聲信號自相關(guān)函數(shù)另一個理想模型就是有限帶寬白噪聲〔帶限白噪聲〕(2-125)(2-126)在物理上可以實現(xiàn)這種有限帶寬過程〔湍流，飛行器外表壓力波動〕。一個隨機(jī)過程假設(shè)它的功率譜密度僅在*一個中心頻率附近取意義的值，稱為窄帶隨機(jī)過程。其功率譜密度函數(shù)以及自相關(guān)函數(shù)示意圖見圖2-5，2-6。圖2-5：窄帶隨機(jī)信號功率譜密度圖2-6：窄帶隨機(jī)信號自相關(guān)函數(shù)2.5.4隨機(jī)過程的分布介紹如下幾種典型的隨機(jī)過程及其分布：獨(dú)立隨機(jī)過程假設(shè)有相互獨(dú)立，則稱為獨(dú)立隨機(jī)過程。獨(dú)立增量過程假設(shè)有隨機(jī)變量，相互獨(dú)立則稱為獨(dú)立增量過程。高斯〔gauss〕過程假設(shè)一個隨機(jī)過程，對于在任意個時刻上所派生出的個隨機(jī)變量是聯(lián)合Gauss分布的，則此隨機(jī)過程稱為Gauss過程。特點：由前述二維聯(lián)合高斯分布的概率密度函數(shù)表達(dá)可以看出，只要一階矩和二階矩〔方差，協(xié)方差〕，則整個過程統(tǒng)計特性就完全知道了。Gauss過程的線性變換仍然是Gauss過程，這樣對線性時不變系統(tǒng)，輸入〔鼓勵力〕是Gauss過程，輸出也是Gauss過程。許多自然現(xiàn)象都可以用高斯過程描述，大氣湍流，海浪，路面等，陣風(fēng)。這些特點為隨機(jī)振動的研究帶來了極大方便。2.6隨機(jī)過程的運(yùn)算2.6.1微分運(yùn)算平穩(wěn)，其均方可微的充要條件是(2-127)并在處連續(xù)，且有如下性質(zhì)：1.均方可微，為確定性函數(shù)，則可微，且有(2-128)2．求導(dǎo)與平均運(yùn)算可交換次序(2-129)(2-130)(2-131)特別地假設(shè)〔t〕是二階平穩(wěn)過程，有(2-132)(2-133)(2-134)2.6.2積分運(yùn)算，均方Riemann積分，存在的條件是：1.存在，則必唯一2.假設(shè)存在，則積分與平均運(yùn)算可交換次序3.假設(shè)為確定性函數(shù)，則假設(shè)存在，則積分與平均可變換次序，即(2-135)4.滿足分步積分公式(2-136)(2-137)為連續(xù)確定性函數(shù)。5.(2-138)2.6.3隨機(jī)振動位移、速度和加速度的相關(guān)函數(shù)和譜密度函數(shù)關(guān)系由上述關(guān)系可以得到隨機(jī)振動位移、速度和加速度的相關(guān)函數(shù)和譜密度函數(shù)關(guān)系。假設(shè)表示位移，是一個平穩(wěn)隨機(jī)過程，其相關(guān)函數(shù)和譜密度函數(shù)分別為，，則有的自相關(guān)函數(shù)和譜密度函數(shù)分別為：(2-139)由于，根據(jù)傅里葉變換的微分性質(zhì)有：由前述，所以有：(2-140)同理有(2-141)所以位移的相關(guān)函數(shù)，即可以知道速度和加速度的相關(guān)函數(shù)，位移的功率譜密度函數(shù)，即可以知道速度和加速度的功率譜密度函數(shù)。例題2-2：有一個隨機(jī)過程，式中是常數(shù)，是在內(nèi)均勻分布的隨機(jī)變量，試判別是否平穩(wěn)？解：該過程為平穩(wěn)隨機(jī)過程例2-3：檢驗上例的各態(tài)歷經(jīng)性解：對于指定的一個樣本為確定的值，所以有該隨機(jī)過程為各態(tài)歷經(jīng)的。例2-4：為隨機(jī)變量，求的，假設(shè)有，，考慮的平穩(wěn)性。解：1.2.該過程為非平穩(wěn)的第二章習(xí)題習(xí)題2-1：，是在內(nèi)均勻分布的隨機(jī)變量，試判別它的平穩(wěn)性。進(jìn)一步考慮其關(guān)于均值和自相關(guān)函數(shù)的遍歷性。習(xí)題2-2：考慮的平穩(wěn)性，為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)高斯分布的隨機(jī)變量。習(xí)題2-3：是隨機(jī)變量，且有，求第三章SDOF系統(tǒng)的隨機(jī)響應(yīng)3.1系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)和頻率響應(yīng)函數(shù)描述 對SDOF系統(tǒng)，其脈沖響應(yīng)函數(shù)為(3-1)其傅里葉變換定義為頻率響應(yīng)函數(shù)(3-2) 它們分別描述了系統(tǒng)在時域和頻域的動態(tài)特性，注意：這里的系統(tǒng)是指線性時不變系統(tǒng)，線性(疊加原理適用)時不變(系統(tǒng)本身的特征如質(zhì)量，剛度，阻尼為常數(shù)不隨時間而變化)。另外，從振動理論中我們還知道，對任意的外鼓勵的響應(yīng)可以看作在脈沖元作用下的響應(yīng)的和。表示一個脈沖的沖量的大小，由它引起的響應(yīng)，即為，然后在上求和即(3-3)在上式我們假設(shè)定義在上，假設(shè)是定義在上，則上式又可以寫為(3-4)在振動理論中，這個積分稱為杜哈美(Duhamel)積分，另外，由于是時刻系統(tǒng)在單位脈沖作用下產(chǎn)生的響應(yīng)，則在大于的時刻，該脈沖尚未作用，自然響應(yīng)就為零。即， 所以響應(yīng)還可以寫為(3-5)這在數(shù)學(xué)上顯然是一個卷積積分，即系統(tǒng)的響應(yīng)等于系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)函數(shù)與輸入的卷積。 另外，在(3-5)式中，我們令則有，所以即卷積可以互相交換(3-6)頻域是從另一個角度來分析系統(tǒng)信息的特性，從上式很容易看出，假設(shè)對其兩邊分別作傅里葉變換有(3-7)顯然在頻域它們之間的關(guān)系更為簡單，其中即為的傅立葉變換。另外，從方程的原始形式經(jīng)傅立葉變換也可得到的表達(dá)式〔3-2〕。3.2單自由度系統(tǒng)隨機(jī)響應(yīng)分析在零初始條件下，平穩(wěn)隨機(jī)鼓勵作用在SDOF構(gòu)造系統(tǒng)上，有：的，，求：，，，，，，。(1)響應(yīng)均值(3-8)(2)響應(yīng)自相關(guān)函數(shù)(3-9)(3)鼓勵與響應(yīng)的互相關(guān)函數(shù)(3-10) 鼓勵與響應(yīng)的互相關(guān)函數(shù)等于鼓勵的自相關(guān)與單位脈沖響應(yīng)函數(shù)的卷積。(4)響應(yīng)的均方值的鼓勵力相關(guān)函數(shù)表示(3-11)(5)響應(yīng)的自功率譜密度函數(shù)(3-12)(6)鼓勵與響應(yīng)的互譜(3-13)注意，通過鼓勵與響應(yīng)互譜以及鼓勵的自譜的測量，通過(3-13)式可以用實驗的方法估計，通過(3-12)式也可估計，但僅僅幅頻特性，所以(3-13)式更有用。(7)響應(yīng)的均方值的鼓勵力功率譜表示 對小阻尼線性構(gòu)造系統(tǒng)在共振點有一尖峰，對能量的奉獻(xiàn)只在尖峰左右的帶寬內(nèi)是主要的，為此可認(rèn)為該系統(tǒng)是個窄帶濾波器，響應(yīng)譜變成一個窄帶過程，主要集中在附近；有時工程上可近似地以代替簡化計算。(8)鼓勵和響應(yīng)的譜相干函數(shù) 假設(shè)，則可能是系統(tǒng)非線性，或者測量數(shù)據(jù)的噪聲影響。例3-1：SDOF系統(tǒng)受作用，是的理想白噪聲過程。求系統(tǒng)的響應(yīng)的自相關(guān)函數(shù)、自譜、均方值和鼓勵與響應(yīng)的互相關(guān)函數(shù)及互譜。解：代入上式有由于偶函數(shù)的自相關(guān)性對于的情形，可將上式中的用來代替。注：(a)(b)響應(yīng)的均方值 隨機(jī)鼓勵力雖然不像白噪聲那樣理想地在整個頻率軸上都有有意義的值，但通常都有較寬的頻帶，所以要避開系統(tǒng)的共振頻率很難，但可以增大阻尼減小振動，另一方面，為鼓勵起構(gòu)造的各階振動選用隨機(jī)鼓勵是一個好的選擇。響應(yīng)的自譜對于小阻尼系統(tǒng)，為理想寬帶，而變?yōu)檎瓗В韵到y(tǒng)相當(dāng)于一個濾波器，只將在固有頻率處的譜留下，其余的過濾掉。當(dāng)輸入的功率譜在系統(tǒng)固有頻率處有較大的值，則振動加劇，反之較平穩(wěn)。鼓勵與響應(yīng)的互相關(guān)在隨機(jī)振動試驗中，可以利用上式估計系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)，用分析儀發(fā)出一理想隨機(jī)信號()給激振器，然后將通過傳感器測到的振動信號與該隨機(jī)鼓勵力作相關(guān)，所得相關(guān)函數(shù)曲線除上即得。鼓勵與響應(yīng)的互譜例3-2仍取上述單自由度系統(tǒng)，但鼓勵為有限帶寬白噪聲，即有分析系統(tǒng)響應(yīng)的功率譜和均方值。解：不失一般性，令，則運(yùn)動方程可寫為則有響應(yīng)的均方值為其中當(dāng)時，上式第一項為討論:(a)當(dāng)時對應(yīng)理想白噪聲情況(b)帶限情況下相比理想白噪聲情況均方響應(yīng)值變小。以為橫坐標(biāo)，為縱坐標(biāo)，以阻尼比為參變量，可以畫出一系列曲線?？梢园l(fā)現(xiàn)，對小阻尼情況存在一個急劇變化的頻帶，假設(shè)當(dāng)鼓勵的頻帶寬到可以將這個急劇變化的頻帶覆蓋，即已經(jīng)比擬接近1了，則此時將該帶限白噪聲用理想白噪聲替代所引起的誤差就很小了。另一方面，一樣帶寬的鼓勵，用理想白噪聲近似，對小阻尼系統(tǒng)引起的誤差更小。例3-3：由譜密度函數(shù)估計頻響函數(shù)再由輸出自譜的關(guān)系可知這樣由輸入自譜、輸出自譜、輸入輸出互譜通過上述三個公式可以求頻響函數(shù)，這是在隨機(jī)振動試驗中常用的，由上述公式可以得到如下三種系統(tǒng)頻響函數(shù)試驗估計方法：其中后兩種對頻率響應(yīng)的估計，與第一種相比還多了相頻信息。例3-4相干函數(shù)的應(yīng)用由得上兩式兩邊分別相乘得按相干函數(shù)的定義有即對線性系統(tǒng)，理論上相干函數(shù)為1，假設(shè)*一系統(tǒng)的不等于1，則該系統(tǒng)就一定有非線性因素的影響，因此相干函數(shù)的值可以衡量系統(tǒng)的非線性程度。當(dāng)然此時還沒有考慮測試噪聲的影響，假設(shè)有測試噪聲，也定不等于1，因此有時也用它衡量測試噪聲的影響。第三章附錄：令則有將代入有第四章多自由度系統(tǒng)的隨機(jī)響應(yīng)分析4.1多自由度系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)、頻率響應(yīng)函數(shù)多自由度系統(tǒng)的運(yùn)動控制方程為：(4-1)是正定陣，C，K正定或半正定陣，C為比例阻尼陣，F(xiàn)(t)為外力向量。通過廣義特征值分析，或者稱模態(tài)分析得n個特征值以及對應(yīng)的n個特征向量，分別稱為多自由度系統(tǒng)的前n階固有頻率〔〕和固有振型〔〕，由n階振型向量可以構(gòu)成如下振型矩陣(4-2)它關(guān)于質(zhì)量陣，剛度陣K正交，利用它可做模態(tài)分解，即引入模態(tài)坐標(biāo)qr，并作變換(4-3)其中(4-4)模態(tài)分解后得到：(4-5)其中，由于(4-6)得(4-7)為了得到多自由度系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)函數(shù)，首先在任意的第j個自由度上施加單位脈沖力，此時有：(4-8)在該鼓勵作用下，系統(tǒng)〔4-5〕的響應(yīng)為：(4-9)由〔4-3〕得系統(tǒng)在第j個自由度上單位脈沖鼓勵作用下，全部自由度上的響應(yīng)為(4-10)其中第i個自由度的響應(yīng)為：(4-11)對全部n個自由度，依次施加單位脈沖鼓勵，便可以得到一個響應(yīng)矩陣，該矩陣就定義為多自由度系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)函數(shù)矩陣，它是一個方陣。從另外一個角度，就是從模態(tài)分解以后的方程(4-5)可知，該單自由度系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)函數(shù)為：(4-12)則根據(jù)杜哈梅積分有：(4-13)回帶到物理坐標(biāo)有：(4-14)即令(4-15)由于是振型矩陣的第列，注意到公式〔4-4〕，上式表達(dá)的矩陣的任意一個元素的表達(dá)式也為〔4-11〕。這樣由多自由度系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)函數(shù)矩陣，可得任意自由度上的響應(yīng)，計算公式的形式與單自由度一樣，只不過原變量成了矩陣與向量。與單位脈沖響應(yīng)函數(shù)矩陣對應(yīng),定義多自由度系統(tǒng)頻率響應(yīng)函數(shù)矩陣，其中任意一個元素為：(4-16)因為，即是的傅立葉變換。4.2單輸入問題的MDOF系統(tǒng)的隨機(jī)響應(yīng)對MDOF系統(tǒng)，在任意第個自由度施加隨機(jī)鼓勵力，得到第個自由度上的響應(yīng)為，關(guān)注他們之間的關(guān)系,由(4-14)和(4-15)可得：(4-17)所以有(4-18)(4-19)這樣,由上兩式可知，單輸入的多自由度問題的響應(yīng)計算公式與單自由度的響應(yīng)計算公式形式上完全一樣，因此隨機(jī)響應(yīng)分析公式的表達(dá)式形式就與單自由度問題的完全一樣，可直接利用，只不過把其中的換成、換成、換成，換成即可，既有：均值(4-20)自相關(guān)函數(shù)(4-21)自譜函數(shù)(4-22)互相關(guān)函數(shù)(4-23)(4-24)互譜函數(shù)(4-25)(4-26)由于這里取的是任一個自由度上的響應(yīng)，所以這些公式，也完全適用于其它所有自由度上響應(yīng)的計算問題。4.3多輸入問題的MDOF系統(tǒng)的隨機(jī)響應(yīng) 對MDOF系統(tǒng)，當(dāng)有兩個以上的自由度被同時施加力，稱為多輸入問題，此時就要考慮兩個輸入之間的相互關(guān)系。為簡要起見，以兩自由度問題為例，并設(shè)在兩個自由度上分別作用有，平穩(wěn)隨機(jī)鼓勵，任意第個自由度上的響應(yīng)為。單獨(dú)作用引起第自由度響應(yīng)為，由公式(4-18)的積分有(4-27)單獨(dú)作用引起第自由度響應(yīng)為，并有(4-28)二者同時作用，由線性系統(tǒng)的疊加原理，得(4-29)輸出的自相關(guān)函數(shù)(4-30)輸出的自譜(4-31)輸入輸出的互相關(guān)輸入，輸出，二者的互相關(guān)為(4-32)(4-33)輸入輸出的互譜為：(4-34)(4-35)分別定義輸入、輸出的自相關(guān)矩陣為:，(4-36)輸入輸出互相關(guān)矩陣為:，(4-37)對應(yīng)分別定義輸入、輸出的自功率譜矩陣為：(4-38)定義輸入輸出互譜矩陣為:(4-39)其中的，，，讀者可仿照上述步驟自行推導(dǎo)。同時注意到對一個兩自由度系統(tǒng)，其脈沖響應(yīng)函數(shù)矩陣和頻率響應(yīng)函數(shù)矩陣分別為：，(4-40)用矩陣來表示的系統(tǒng)響應(yīng)和鼓勵之間的關(guān)系如下：(4-41)(4-42)(4-43)(4-44)例4-1：下列圖動力減振器設(shè)計問題，作用在主質(zhì)量上為隨機(jī)鼓勵力，并假設(shè)為理想白噪聲，。設(shè)計上面的減震器參數(shù)以減小主質(zhì)量的隨機(jī)響應(yīng)的均方值。解：運(yùn)動控制方程為：(4-27)為分析方便，引入如下參數(shù)(4-28)方程變?yōu)椋?4-29)為了得到主質(zhì)量上的隨機(jī)響應(yīng)，必須首先求得系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)，系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)的求解方法，根據(jù)前述分析，大致有如下三種：1〕利用頻率響應(yīng)函數(shù)是系統(tǒng)在單位復(fù)鼓勵下的復(fù)響應(yīng)的定義設(shè)其響應(yīng)為：所以：即。據(jù)此，對MDOF系統(tǒng)采取同樣方法，對本例在第一自由度，即主質(zhì)量上施加單位復(fù)鼓勵，并設(shè)響應(yīng)分別為，然后將鼓勵和響應(yīng)一同帶入方程，求出即為，即為。2〕直接對運(yùn)動微分方程進(jìn)展傅里葉變換，利用頻率響應(yīng)函數(shù)與輸入輸出傅里葉變換關(guān)系的定義。3〕利用頻率響應(yīng)函數(shù)是系統(tǒng)動剛度矩陣的逆的定義直接求逆得到。對本例我們只考慮用第一種方法，設(shè)，，代入運(yùn)動方程有：由該方程可求解出進(jìn)一步主質(zhì)量上的均方響應(yīng)為：帶入有：在這個表達(dá)式中，以質(zhì)量比為固定參數(shù)，優(yōu)化與，實際上就是優(yōu)化和，使得主質(zhì)量響應(yīng)的均方值最小，為此對兩個參數(shù)求導(dǎo)得到兩個方程求解這個方程組得到：工程實際中，通常選擇或者，對上式處泰勒展開，并略去高階項后有以其原理設(shè)計的調(diào)諧質(zhì)量阻尼裝置〔TunedMassDamper〕TMD，早在100多年前就有應(yīng)用，近20年來，將TMD組合成多個構(gòu)成的用來控制或提高構(gòu)造物的振動。例如**青浦電視塔，在離地面137.5米以上一段懸掛八個質(zhì)量擺，噸，，天線端的位移減振效果達(dá)20.3%，加速度響應(yīng)值最大降低了36.4%。**電視塔也有類似的應(yīng)用。例4-2：如圖為模擬汽車在不平穩(wěn)路面行駛的模型，假設(shè)測得路面對汽車的輸入位移的力的加速度功率譜為，求質(zhì)量的輸出功率譜。解：以平衡位置為坐標(biāo)原點，列寫運(yùn)動控制方程為：引入相對位移則有，代入后有：引入如同例一的如下參數(shù)代入有：采用前述頻率響應(yīng)函數(shù)求解的第二種方法，對上述方程兩邊作傅里葉變換得以和為自變量，解方程組可得：其中由于輸入加速度與輸出加速度之間在頻域上滿足,因此，加速度頻率響應(yīng)函數(shù)與輸入輸出的加速度自功率譜密度之間，也有與位移頻率響應(yīng)函數(shù)與輸入輸出的位移自功率譜密度類似的關(guān)系式：可繼續(xù)求出的均方響應(yīng)，優(yōu)化設(shè)計參數(shù)。4.4MDOF系統(tǒng)隨機(jī)響應(yīng)分析的模態(tài)方法對所描述的多自由度系統(tǒng)，經(jīng)模態(tài)分析步驟可得式(4-13),將其寫成向量形式：(4-45)其中是模態(tài)坐標(biāo)下的脈沖響應(yīng)函數(shù)矩陣(4-46)這樣可以得到與式〔4-15〕等價的脈沖響應(yīng)函數(shù)矩陣(4-47)將上式變換到頻率域，有(4-48)(4-49)代入響應(yīng)的自功率譜密度矩陣公式(4-50)例4-3：對如圖示系統(tǒng)，經(jīng)受強(qiáng)震作用，強(qiáng)震階段的水平分量常視為零均值平穩(wěn)高斯隨機(jī)過程。其地面加速度功率譜，經(jīng)常使用卡耐-塔基米〔Kanai-Tajimi〕模型，其加速度功率譜密度函數(shù)為：其中a,b為與土層特性有關(guān)的量，S0為一常數(shù)。分析構(gòu)造的隨機(jī)響應(yīng)自功率譜密度函數(shù)矩陣，并計算上層構(gòu)造的均方響應(yīng)。解：系統(tǒng)運(yùn)動控制方程為其中為運(yùn)算方便取：，，方程兩邊都乘以2得將方程利用振型矩陣模態(tài)分解得其中可以得到模態(tài)坐標(biāo)下的頻率響應(yīng)函數(shù)矩陣鼓勵的自相關(guān)函數(shù)矩陣所以有鼓勵的自譜密度函數(shù)矩陣代入〔4-50〕有計算的位移響應(yīng)均方差該積分較為復(fù)雜，可用留數(shù)定理或者數(shù)值積分進(jìn)展計算。4.5隨機(jī)響應(yīng)分析的虛擬鼓勵方法線性系統(tǒng)受到自譜密度為的單點平穩(wěn)鼓勵，并假設(shè)作用在任意的第j個自由度上，則在任意的第i個自由度上的響應(yīng)的自譜計算按前述公式有〔4-51〕此外，我們還知道，當(dāng)鼓勵力為時穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為〔4-52〕構(gòu)造一個虛擬鼓勵〔pseudo-e*citation〕〔4-53〕是關(guān)于的實函數(shù)，與t無關(guān)，故可看作一個常數(shù)，則由〔4-52〕式可得在這個虛擬鼓勵作用下，響應(yīng)為〔4-54〕對〔4-54〕式求共扼〔4-55〕〔4-54〕與〔4-55〕相乘得〔4-56〕由〔4-51〕式可知，上式虛擬響應(yīng)與虛擬響應(yīng)共扼的乘積即為在作用下第i個自由度上響應(yīng)的功率譜密度函數(shù)，即：〔4-57〕這就給響應(yīng)的自譜計算提供另外一條道路，計算系統(tǒng)在式〔4-53〕的虛擬鼓勵作用下的響應(yīng)，將響應(yīng)的計算結(jié)果取其模值的平方，即為系統(tǒng)真實的待求響應(yīng)的功率譜密度函數(shù)。對照單輸入問題的分析公式有：〔4-58〕〔4-59〕〔4-60〕〔4-61〕用矩陣形式表示有：4-62〕〔4-63〕〔4-64〕對兩自由度問題有〔4-65〕，，，〔4-66〕〔4-67〕〔4-68〕〔4-69〕對多自由度問題響應(yīng)的自譜矩陣，鼓勵與響應(yīng)的互譜矩陣計算就簡化為虛擬響應(yīng)向量的共扼與其本身的及虛擬鼓勵力的點積，虛擬鼓勵力的共扼與虛擬響應(yīng)的點積。例4-4：對下述方程描述的單自由度系統(tǒng)，其中為白噪聲，且，用虛擬鼓勵方法計算系統(tǒng)隨機(jī)響應(yīng)自譜密度函數(shù)。解：構(gòu)造虛擬鼓勵，則用虛擬的鼓勵和響應(yīng)表示的運(yùn)動方程為：虛擬響應(yīng)為：例4-5：以構(gòu)造受地震產(chǎn)生的水平方向均勻一致的平穩(wěn)隨機(jī)鼓勵力為例，說明虛擬鼓勵方法的效果。解：假設(shè)構(gòu)造的跨度很小，原構(gòu)造所有地面節(jié)點均按照同一加速度運(yùn)動，不考慮其相位差。構(gòu)造離散化的控制方程為：為慣性力指示向量，通常在地面建立水平坐標(biāo)系，假設(shè)地震加速度方向僅沿系統(tǒng)的方向，則，的元素由0，1構(gòu)成，其中的0元素表示質(zhì)量單元，即集中的質(zhì)量單元相對于方向不產(chǎn)生慣性力。對于水平方向的地震，同樣也是由0，1構(gòu)成的向量，0，1的含義同中的0，1的含義。對于一般情況，地震水平地面加速度方向與軸成角，則有。 對于實際的工程問題，有限元離散化以后問題的規(guī)模通常都很大，即便使用大型商用有限元分析軟件，也只能相對準(zhǔn)確地求出其較低階的特征值與特征向量，另外也是由于實際構(gòu)造的振動也只有有限個低頻有主要的影響，因此，出于這個原因，對于實際問題的分析通常都采取模態(tài)截斷的方法進(jìn)展數(shù)值分析。即先求出構(gòu)造的前階特征對，，〔，為有限元離散后構(gòu)造的總自由度數(shù)〕。其中為截斷后的固有頻率矩陣，為截斷后的模態(tài)矩陣，所求的前階特征對滿足上述特征方程。令代入運(yùn)動控制方程有前乘通常是質(zhì)量歸一化的，