第2講場論基礎(chǔ)（2）2-1證明修正矢量Green定量[B(A)A(B)]dvv[A(B)B(A)]dsS證明：[B(A)A(B)]dvv{[(A)B](A)(B)[(B)A](B)(A)}dvv{[(A)B](A)(B)[(B)A](B)(A)}dvv{[(A)B][(B)A]}dvv{[(A)B(B)A]}dvv[A(B)B(A)]dsS[A(B)B(A)]dsS（主要公式：(fg)(f)gf(g)；fdvfds）vS證畢.1/302-2證明(fg)fggf證明：一種理解：(fg)(fg)(gf)ccfggfccfggf嚴(yán)格證明（直角坐標(biāo)系）：???gxgygzg，xfxfyfzf???設(shè)xyzyz)=(左邊：(fgfgfgfg)xxyyzz=(?xgy?gzgx??)(?xfyfzf?)y右邊：fggfxyzz+(x?gy?gz?g)(x?fy?fz?f)xyzxyz=gfgfgffgfgfgxxyyzzxxyyzz=(fg)(fg)(fg)xxyyzz=(fgfgfg)=左邊xxyyzz證畢.?i2-3證明mpmsdsfdlflmmsls證明：如右圖，設(shè)場f在曲線和曲面上是良性的。ls把S分成n個小塊，設(shè)界第m塊的面積為s，邊m為l，設(shè)m點在s上。由旋度的原始定義，pmml2/30dlfdlff(p)i?limslmsO(s)mlmmns0(p)mmmm因此有：f(p)i?sdlfO(s)smnmmmlm疊加所有的小塊，則?nf(p)isndlfnO(s)smnmmmm1m1lm1m上式右邊的第一項由于疊加過程中相鄰小塊的公共邊界上的積分相互抵消，因此只剩下不是公共邊界曲線的積分，即：lndlfdlfm1llmn當(dāng),s0，則：mf(p).isdsf?nlimnmnma0m1sm另外，由于nO(s)sO(s)sO(s)nnsO(s)Smmmmmmaxmmmaxm1m1m1當(dāng)n,O(s)0，故maxmlimO(s)s0nmmna0m1m因此，dsfdlf。sl證畢.3/30第4講Maxwell方程（2）4-2證明邊界條件：0?)和(nDD12nEE?12s證明：(1).利用dsEtBdvSn,11svBn(EE)SKhShht,212媒質(zhì)12由于B及K有限函數(shù)，當(dāng)h0時，Kh0，媒質(zhì)2媒質(zhì)界面BtSh0。則有：n(EE)012(2).Ddsdvsvn(DD)SKhSh12Kh0，Sh。則有：當(dāng)h0時，sn(DD)12s4-3討論Maxwell方程中四個邊界條件的獨立性。解：比擬于微分方程，猜想有兩種獨立方程形式：nHHJnHHJs12s12?()0nEE?()012以及nEE12nJJ＝－Jn?(DD)12sst12ss下面證明第一種方案：(1).證明磁場無法向分量邊界條件：[n?(EE)]n?(EE)(EE)n?01212124/30BBttn?0(EE)()。2上式中，，112因此有：BB2)n?0(1tt即：(BB)n?0t12(BB)n?Constant.12都成立，對于特例BB也成立，則常數(shù)為0。12由于對于任意的，上式BB21?()0.因此nBB12(2).當(dāng)然還可以倒出電流連續(xù)性邊界條件：由于：nHHJ12s所以nHH＝JJ＝nHHnHH12ss1212DD2nJ1Jtt12DDnJJn*1t2t12（利用了)nJJ?(nDD）t12s12sJdssJn'dl因為JlimlimsJsssssss＝－J所以nJJst12sss，就可以得到t注：對于*式，應(yīng)用電流連續(xù)性方程nJJ＝－J12ss電場的法向不連續(xù)的邊界條件。5/30第3講本構(gòu)關(guān)系和波動方程3-1已知鐵氧體磁導(dǎo)率X量為：jk0jk000z其中是,k,正實數(shù)，試采用坐標(biāo)變換得對角化，求坐標(biāo)變換矩陣和對z角矩陣。jk000解：求特征值：Ijk00zk0kk22ZZZk1k于是有：23ZIX0（Xx,x,x）T123Xj解得1,,0T1當(dāng)k時，1當(dāng)k時，解得X,1,0jT22X解得0,0,1T3當(dāng)時，z3故有變換矩陣：1j0Pj100016/30

k0k0000對角化后的矩陣為：P1P0z3-2對于良導(dǎo)體，無源區(qū)域的Maxwell方程為：HEEjHH0E0試導(dǎo)出波動方程，并給出波傳播的速度v和波阻抗的表達(dá)式。解：由于H=EjH且HH2H2H－H＝0Hj故：2EjE0同理：2所以波動方程為：H－jH＝02EjE02由波動方程知：k2j解得kj2(1j)2jkj22r所以：波速：2vpkr2波阻抗：k27/30第5講電磁場的能量與動量5-1試推導(dǎo)頻域Poynting定理。解：在時域，一個周期內(nèi)Poynting矢量的時間平均值為：11STSdtReEH*2T01由此引入頻域Poynting矢量：SEH*，*H2EHS11H*212EE*2jB*EHJjD**而，1B1EJ*故SjHjD**221J*EjHBED12**21211ED*J*Ej2H*B4412J*Ej2wwme其中：wH*B，w1ED1*44me證畢.5-2相同頻率ω的兩個點電荷源，置于相同的各向同性的線性媒質(zhì)中，電源1在空間產(chǎn)生的電磁場為E,H；而電源2產(chǎn)生的E,H，試證明1122E1H2E2H10證明：滿足的場方程為：8/30EjBHJjDDEBHJEEHEHHE1121222jB1H2JjDE12jH1H2EjEE122jH1H2E1E2jE1E2EHEHHE2212111jB2H1JjDE211jH2H1EjEE21jH1H2E1E2jE1E2EHEH1221所以：E1H2E2H10證畢.5-3無限均勻?qū)щ娒劫|(zhì)中放一電量Q為的點電荷，試求這電荷隨時間的變化規(guī)律，并寫出空間中任一點的磁場強度和能密度。解：利用積分場定理求解。Dds高斯定理：dvQtvsv由于DE，Qt1所以：EdsDdsss而JE，9/30Qt代入上式有：Jdss又有電流連續(xù)性方程：QtJdstsQttQt所以（QtQ）t0＝t0解上述方程的：－tQtQe下面求D:研究一個以Q的初始位置為球心的球，則在球面上D的大小一樣，方向指向背離球心半徑方向。DdsD4r2Qts－t于是：Qe?0D＝rt4r2－tQe?0E＝rt4r2BtE，代入BH由于Ht11Qe－tEr4r20有所以：HCont.t0時刻，0。而在H所以：H0232r4211E21Qe－tQ2e－2twED電場能量密度：2224re210/301磁場能量密度：2wHB0m21Hn02Hn2En2：FnEn2000第6講波動方程與唯一性定理6-1試證明右圖所示的有耗多媒質(zhì)區(qū)域的頻域電磁場唯一性定理：如果（1）區(qū)域內(nèi)的源已知；（2）區(qū)域外邊界上切向電場或切向磁場已知（3）區(qū)域內(nèi)媒質(zhì)交界面上切向電場和切向磁場連續(xù)則區(qū)域內(nèi)電磁場唯一確定。證明：為便于說明，證明兩種有耗媒質(zhì)的情況，然后可將其推廣到多媒質(zhì)情況。如圖中所示，整個體積V分成兩個區(qū)域，v和v中電導(dǎo)率，磁導(dǎo)率和介12電常數(shù)分別為：,,，,,。設(shè)v中存在兩個電場和兩個磁場1112221E1,H1EH和,'1'1，v中存在兩個電場和兩個磁場EH,和,。E'H'22222記差場分別為：E1E1E，E2E2E，H1H1H'1'2'1，H2HH'22E1j滿足：H1jH1差場1E11E2jH22E2H2j2利用Poynting定理的積分形式：11/30EHnds1Hnds*1i*E11s1siHndsEEHnds*2i*2222s2sij**222E1dvj2(1)H1H2E2dv112V1V2由區(qū)域外邊界上切向電場或切向磁場已知，有：EnHHnH1*nE*0*E11111EHnH*2nEEnH0**22222Hnds20*Hnds0，*1EE21s1s2由區(qū)域內(nèi)媒質(zhì)交界面上切向電場和切向磁場連續(xù)，有：HndsEHnds*2i*E112issi因此（i）式的左邊等于10。故：j**2222Edv20H1E1dvjH21122V1V2上式中實部和虛部都為零，有：''222220'HEdvv2'HEdv11221122v1E1dv''1''1''2"2222E2dv0H1H2vv12耗媒質(zhì)，''0，''0，''0，''0。112對于有2H10,E20,H2于是：0,0.E1唯一性定理得證。對于多媒質(zhì)情況，由于內(nèi)部媒質(zhì)交接處積分總是抵消，表面上積分也為零，可知仍然有唯一性定理。6-2試討論Poisson方程解的唯一性問題。2解：設(shè)此方程有兩解，分別為：和12考慮差值函數(shù)。1212/30則：滿足方程：02應(yīng)用Green第一恒等式：－dvnds2vs,則有：上式中，令,dv－nds2vs可見，只要滿足：(1)邊界上的給定；sn(2)或邊界s上的給定；n(3)或邊界上一部分的給定，另一部分的給定；s上述三個條件中的任何一個，都有0，則：，被唯一確定，Poisson方程有唯一解。12第7講輔助位函數(shù)7-1試證明在Coulomb規(guī)X下2t2AJt2Jr,t'式中：Jdv'4rrt'v證明：對于電流源J，由Helmholtz定理得：JJJlt式中J，J分別為分別表示J的無旋部分和無散部分，即：ltJr,t'Jdv'(1)4rrl'vJJr,t'dv'(2)4rrt'v13/30根據(jù)矢量恒等式：Jr,t'11Jr,tJr,t''rrrrrr'''因為：Jr,t0，以及：'11Jr,tJr,t'''rr'rr'Jr,t'1''Jr,t'rrrr''所以，由（1）式Jr,t'Jr,t'''dv'Jdv'、rrl4rr4r,t''vvJr,tnds''dv'4rr'4rr'tsvr,tdv''t4rr'vr,tt'（r,tdv'）4rr'v2t將上式和JJJ代入到：2AJ，tlt22AJt得到：2t2證畢.7-2試導(dǎo)出導(dǎo)電率為的媒質(zhì)中矢位A和標(biāo)位的波動方程。解：波動方程：14/302t22AJA………(1)t22A………(2)ttt2At因為：JE，EAt所以：J2AAA故有：2ttt22tAA(3)既有：2tt2可變?yōu)椋?2)式兩邊加t2tAt………(4)2tt2如果令：A＝0，t則(3)和(4)式可化解為：22tA＝0t222tt2以上兩式即為波動方程。7-3試證明：在Coulomb規(guī)X下，無源區(qū)域中的電磁場量E,B可用兩個標(biāo)量函數(shù)表示。證明：無源區(qū)域：J0，0。15/30r,t'dv'0利用上一講得到的結(jié)論，在Coulomb規(guī)X下，,rt4rr'vBAAAEttA0由此可見，電磁場量,可用A的兩個獨立分量表示，即兩個標(biāo)量函數(shù)EB表示。7-4在柱坐標(biāo)系下，設(shè)EEe，HHejzjzx,yx,y試從Maxwell方程導(dǎo)出各向同性媒質(zhì)無源區(qū)域中，頻域電磁場橫向分量E，H由縱向分量E，H表示的表示式。ttzz解：滿足的電磁場方程：H＝j(luò)EE＝-jHH＝0E＝0微分算子表示成橫向和縱向形式：zzt對Maxwell方程的兩個旋度方程取橫向分量得到：H＝zHzH=zHt+zH=jEzt1ztttzttzE2+zE=-jHttzE＝zEzE=ztzztttztz叉乘得到：上面（1）式都用zzz+zz2Hz2H=jzEzttzzt16/30利用abcbacbac2Hz22Hz22Ht2H有：zzzzzztttz2z2HHzzHzHzzzzzzzzzzztttt2z2利用z－j，－，得到：2E2H－jHjztzttz將（2）式代入到上式有：2H－jHjzEjHtttztzHjH＋jzEt22tztz令k2k22，有：cHjH＋jzEztktk2t2zcc同理有：EjE－jzHtktk2ctz2zc因此，頻域電磁場橫向分量E，H由縱向分量E，H表示的表示式。ttzz證畢.第11講等效原理與感應(yīng)定理11-1試?yán)玫刃г恚嬎阌覉D所示的通向接地導(dǎo)電平面的矩形波導(dǎo)開口端的輻射場（假定開口端Ex為TE波的電場）。10解：按照圖中所給的坐標(biāo)定義，TE在端口上的10。EEcoszbsx0根據(jù)等效原理，求導(dǎo)體平面右半空間的輻射場時，可以用導(dǎo)體將波導(dǎo)開口封閉，再加上面磁流來等效，再應(yīng)用鏡像法，使之等效為無限大自由空間的輻射問題，等效的面磁流為原來的兩倍，原問題就變?yōu)榍笤摰刃娲帕鞯妮椛鋯栴}，因為開口端的E為TEx波的電場，則10最后等效的面磁流為：?M2yE2yxEzE2coszzcossx0bs0b在x,0,z處的小磁流在點r,,產(chǎn)生的輻射場為（設(shè)R為小磁流到P點的ss距離）2dHjsinesinejkRjkRMdxdzjEcoszdxdz0RRbsssssRxx22yzz2ss設(shè)r為原點到P的距離，在球坐標(biāo)系中，xrsincos,yrsinsin,zrcos所以：Rrsincosxrsinsinrcosz222ss考慮到x,yr，利用展開上式并只保留主要項，得：ssRrxsincoszcosss所以在P點的輻射場為：eHjEsinjkRcoszdxdz0bRssssjEsincoszdxdzejkrejkxsincoszcosss0rxsincoszcosbssssssjEsinejkrejkxsincoszcoscoszdxdz0ssrbssssjEsinedx2coszejkra2ebdzs0jkxsincosjkzcosssrbsasb22下面分別計算兩個積分18/30a2ejkxsincosaedxsjkxsincos2saasjksincos22jka2sincosjka2sincoseeksincosjksincosbbbcoszesdzsedsinzjkzcossjkzcos22bsbsbb22bb2bbesinzsjkcossinzedzsjkzcosjkzcos2sbbssb2b22bcoskcosjkcossinzebbdzsbjkzcos22bsbs22bcoskcosjkcosjkcoscoszebbbdzsbjkzcos22bsbs2所以：2bcoskbcos2bcoskbcos22bcoszesdzsjkzcoss2b22bkcos2bb1kcos2最后得到：2sinka2sincos2bcoskbcosHjEsinejkr20bkcos2ksincos2rcoskbcosj2bEejkr2asinkcossin0r2coskbcos2219/30第16講互補原理和互易定理16-1利用互補原理，由對稱振子天線的輻射場求圖16-4所示的縫隙天線的輻射場，縫隙內(nèi)電場為EVmsinkly2Wx解：圖中兩種天線構(gòu)成了電屏與互補電屏的關(guān)系。設(shè)對偶振子的輻射場為Ed，Hd，縫隙天線的輻射場為Ee，He。由于沒有z<0區(qū)域的源，故Ei0，Hi0應(yīng)用互補原理，有EeHdEi01HeEeHi0故：EeHd1HeEd縫隙天線內(nèi)的電場對偶于對稱振子表面的切向磁場：msinkly1V1HEW2xx20/30由于振子兩側(cè)磁場的切向分量大小相等，方向相反，這樣有：IWJ2WHVsinklyIsinkly222sxmm由上述電流對稱振子產(chǎn)生的場為：IcosklcoscosklEdjmejkr2rsinsincosklcoscosklVjejkrmrcosklcoscosklHdjIejkrm2rsinsincosklcoscosklejkrVjmr由此得到縫隙天線的輻射場為：cosklcoscosklVEeHdjejkrmsinrsincosklcoscoskljkrEVeHedjmrJJ216-2證明：如果源和均在體積v內(nèi)，則互易定理為：1(EH)(EH)nds01221s證明：由于源J和J均在體積內(nèi)時，設(shè)外的空間v為無源空間，則v中無vv1211源，所以由互易定理有：E1H2E2H1n'ds0（1）ss0n'為包圍v的外曲面法線方向。1由于外的空間vv的外曲面包括：s：半徑rs的球面，和：包圍v1021/30的曲面。則有：E1H2E2H1ndsE1H2E2H1ndsE1H2E2H1nds'0ss0s0s的球面，在面s上，有E0因為s為半徑rnH00EH2E2H1ndsE1E2E2E1ds010ss00所以：E1H2E2H1nds0s16-3證明：無限靠近理想磁體表面的面磁流不產(chǎn)生電磁場。證明：設(shè)有一理想磁體，在無限靠近導(dǎo)體表面上有面磁流J，在空間有一任意ms磁流源Jm2，J在空間各處產(chǎn)生的電磁場為E1，H1，J在空間各處產(chǎn)msm2生的電磁場為E2，H2，根據(jù)互易定理，有：JHdvJHdv2m21msvv由于理想磁體表面磁場只有法向分量，而J為切向磁流，故：JH20msms于是：JHdv0m21v又由于Jm2為任意的，所以H10。所以：無限靠近理想表面的面磁流不產(chǎn)生電磁場。第11講導(dǎo)體鏡像原理11-1一點電荷q放置在夾角為600的導(dǎo)體拐角中，電荷距拐角尖點的距離為r,與拐角0的最小夾角為。試?yán)苗R像原理求解點電荷在拐角中產(chǎn)生的電位。如果拐22/30角的夾角改為500,問能否應(yīng)用鏡像原理？為什么？1800解：因為60o，滿足，其中，n3，可以利用鏡像原理，將產(chǎn)生2n15n個鏡像電荷，設(shè)拐角的一邊為x軸正方向，則其鏡像電荷角度分別為-q：2244q,,,,,q33具體電荷坐標(biāo)分別為：33-q34232rcos,rsin,rcos,rsin,rcos,rsin-qq2323444rcos,rsin,rcos,rsin,rcos3,rsin333點電荷在拐角產(chǎn)生的電位可以等效為六個電荷在自由空間產(chǎn)生的和電位。由電位公式：-qqq-qq124xxyy22-q00qqq5得到和電位為：可以-q12i0422xxiyyix和y分別為是具體電荷的坐標(biāo)。ii1800不滿足（為整數(shù)），如上圖所示，當(dāng)夾角500時，所以鏡像電荷nn將產(chǎn)生無窮多個，并且將有鏡像電荷會落在拐角內(nèi)，改變了拐角內(nèi)電荷的分布，所以無法應(yīng)用鏡像原理。11-2如圖所示，接地?zé)o限大導(dǎo)體平板上突起一半徑為a的半球形，在xd處有一點電荷。試?yán)苗R像原理求解該電荷產(chǎn)生的電位。q解：為保證ya的無限大平面滿足邊界條件，可考慮在接地?zé)o限大的導(dǎo)體作用23/30下，點產(chǎn)生一個鏡像電荷，據(jù)平面板的鏡像原理可知：qq'q'q,x'd。為保證半球滿足邊界條件，可將半球形看成一個完整球形，則兩個點電荷又分別產(chǎn)生一個鏡像電荷，根據(jù)球形腔的鏡像原理，可以得到它們的電荷大小和位置分別為：q"q，x"a，q"'aq，xaa22"'dddd所以：產(chǎn)生的電位為：qaqqaqxd2y24xd2y21211212422a22a24dxy24dxy20dd驗證其是否滿足邊界條件：qaqqaqx0,yad2y2d2y21211214422a2a2224d4dy2y2ddqaqqaqxd2a2x2xd2a2x2x2y2a2x011211244a22222a24dxa2x24dxa2x2ddqqqq0111142xda442xda24a2xddd22a2xdd22d222222211-3如圖11-10所示，一密度為的無限長均勻分布的線電荷，平行放置在半徑為R的接地導(dǎo)體圓柱外xa。試嘗試用鏡像原理求解該問題。C為系統(tǒng)的零電勢點，設(shè)N點為鏡像電荷所在點，密度為'，則P點電解：設(shè)點位為：2r'aR2r2lnln1Rdp24/30ra2R22aRcos，ra2d22adcos12其中，為OP與OM的夾角，r為PM的長度，r為PN的長度，d為ON12的長度，因為圓柱接地，所以：raRr20，則：ln'ln1RdpR2則：'，da2所以：電位為：lnar2Rr1第12講介質(zhì)鏡像原理12-1試?yán)苗R像原理求解如圖所示的線電荷在三層介質(zhì)中產(chǎn)生的電位。x0h0r1y00r2解：利用介質(zhì)鏡像原理，先確定0xh（區(qū)域2）得鏡像問題，區(qū)域2有兩個邊界，對它們分別應(yīng)用鏡像原理可以得到如下圖（示的鏡像電荷分布：1）所25/30x2r2)2(1)2(5hr1r1r111r1r1r2r1213hhr1r1r2r111r1r1r2r121r10r1r1oy2-h-3h-5h1r1r2r1r1r1r221()2r1r1r2r111r1r1r2r12r2)3(1)2(r1r1r111r1r1r2r1圖(1)由這些規(guī)律可以推出區(qū)域2電位的表達(dá)式：1kr1r2r2r1(1)1k00rr1r111lnlnr22r2r1x(2k1)hy2x(2k1)hy22r1在區(qū)域3中，其中有2為邊界，因為區(qū)域2無電荷，故不對區(qū)域3一條與區(qū)域產(chǎn)生影響，區(qū)域1的影響可以看（1）圖中區(qū)域1對區(qū)域2的影響，依照介質(zhì)鏡1像原理，在這些電荷上乘以因子2，如圖（2）所示：r3r326/30x2