珠算文化項(xiàng)目二珠算的發(fā)展

一、唐代及以前的珠算發(fā)展二、宋元時(shí)期珠算發(fā)展三、明清時(shí)期珠算發(fā)展四、近現(xiàn)代的珠算發(fā)展珠算的發(fā)展珠算的發(fā)展——唐代及以前的珠算發(fā)展

一、唐代及以前的珠算發(fā)展（一）古代的計(jì)算工具原始社會(huì)

末期夏代后來數(shù)的概念私有制的建立記數(shù)方法和簡(jiǎn)單的計(jì)算技能使用未經(jīng)加工的自然物進(jìn)行計(jì)算出現(xiàn)了專門用于計(jì)算的工具——算籌和算盤珠算的發(fā)展——唐代及以前的珠算發(fā)展

1．算籌“算籌在中國(guó)古代是用來記數(shù)、列式和進(jìn)行各種數(shù)與式演算的一種工具，又稱籌、策、算子等。根據(jù)史書的記載和考古材料的發(fā)現(xiàn)，古代的算籌實(shí)際上是一根同樣長(zhǎng)短和粗細(xì)的小棍子，一般長(zhǎng)約13cm，徑粗約0.2cm，多用竹子制成，也有用木頭、獸骨、象牙、金屬等材料制成的，大約二百七十幾枚為一束，放在一個(gè)布袋里，系在腰部隨身攜帶。需要記數(shù)和計(jì)算的時(shí)候，就把它們?nèi)〕鰜?，放在桌上、炕上或地上都能擺弄?！薄盎I”也叫“策”、“算籌”，俗稱“算子”。開始用圓形的籌，后來為了表示正、負(fù)數(shù)，有三棱形和四棱形的籌，也有用紅、黑兩種顏色的籌來表示正數(shù)和負(fù)數(shù)的。珠算的發(fā)展——唐代及以前的珠算發(fā)展

“用算籌為工具的運(yùn)算方法稱為籌算。在加減法基礎(chǔ)上，我國(guó)很早就有了乘法。九九表是乘法的基礎(chǔ)，我國(guó)古代這種表從“九九八十一”到“二二如四”，共36句。因?yàn)檫@張表從九九起頭，所以稱它為九九表。珠算的發(fā)展——唐代及以前的珠算發(fā)展

2．算盤珠算的發(fā)展——唐代及以前的珠算發(fā)展

“珠算（“珠算術(shù)”的簡(jiǎn)稱)是一種以算盤為工具進(jìn)行計(jì)算的方法，是我國(guó)古代籌算發(fā)展的產(chǎn)物。具體說，珠算乃由籌算算籌的小型化和擺弄位置的固定化演變而來”。從定義可以看出，人們一直以來用珠算其實(shí)是用算盤作為計(jì)算工具來進(jìn)行的。（二）唐代及以前的計(jì)算方法珠算的發(fā)展——唐代及以前的珠算發(fā)展

計(jì)算方法算盤乘除法算籌加減法重因身外加身外減損乘1．籌算的計(jì)算方法珠算的發(fā)展——唐代及以前的珠算發(fā)展

關(guān)于用籌記數(shù)的方法，《孫子算經(jīng)》(公元400年前后)上說“凡算之法，先識(shí)其位，一縱十橫，百立千僵，千十相望，萬百相當(dāng)”。用算籌表數(shù)有縱橫兩種方法，記數(shù)用縱橫相間的原則，個(gè)位用縱式，十位們用橫式，百位、萬位用縱式，千位、十萬位用橫式?；I算的加減法在古書中沒有記錄，不過在相乘時(shí)用到加法，相除時(shí)用到減法。這樣，從籌算的乘除法就可以了解到加減法的法則。它的方法是從高位算起，不用口訣。某位相加滿十時(shí)向左位“進(jìn)”一籌，相減不夠時(shí)，在左位“退”一籌，珠算的加減法繼承了籌算的加減法，除有運(yùn)算口訣外，都與籌算一樣。2.珠算的計(jì)算方法為適應(yīng)社會(huì)對(duì)算學(xué)的這種需求，中晚唐時(shí)期出現(xiàn)了一些實(shí)用的算術(shù)書籍。“現(xiàn)傳本《夏侯陽算經(jīng)》3卷，據(jù)算學(xué)史家考證，認(rèn)為是唐太宗時(shí)代的一部算書，它的編寫大約在公元770年前后。在這本算書內(nèi)，提出了許多算法，可以在一個(gè)橫行里進(jìn)行演算，主要有以下幾種：珠算的發(fā)展——唐代及以前的珠算發(fā)展

②

③

④①

重因身外加損乘身外減(1)重因珠算的發(fā)展——唐代及以前的珠算發(fā)展

“因”指一位數(shù)乘法。遇到多化數(shù)乘法，分解乘數(shù)，可以化成位數(shù)乘法。此種力法，宋朝算學(xué)中叫做“重因”?！断暮蜿査憬?jīng)》卷下“說諸分”章第二十一題，將35乘化為5乘7乘，第二十九題將42乘化為6乘7乘。還有化多位數(shù)乘為9個(gè)位乘的。如卷上“課租庸調(diào)“章將1.5乘化為3乘2除，2.45乘化為兩次7乘lO除和2除。卷下“說諸分“章第三十五題，將1.35乘化為3乘8乘和20陳等。(2)身外加珠算的發(fā)展——唐代及以前的珠算發(fā)展

卷下第19題：“今有絹二千四百五十四匹，每匹值錢一貫七百文，問計(jì)錢如何。…‘術(shù)日：先置絹數(shù)，七添之，退位一等，即得，”這就是說，先列匹數(shù)，表示它的10倍，再加上它的7倍，再以10除，即得共值錢數(shù)。又如乘數(shù)為14時(shí)，可用“身外添四”法；乘數(shù)為144時(shí)，可用“身外添四四”法。乘數(shù)為102時(shí)，可用“隔位加二”法。凡乘數(shù)首位數(shù)為1時(shí)，皆可采用此法。在宋朝算術(shù)書中叫做“加法”，后來也叫“定身加”。(3)身外減珠算的發(fā)展——唐代及以前的珠算發(fā)展

卷下“說諸分”27題，用12除，即用“身外減二”計(jì)算。凡是除數(shù)首數(shù)為l的均可用此法，宋代算術(shù)書內(nèi)叫“減法”。以后也叫“定身減?！?4)損乘珠算的發(fā)展——唐代及以前的珠算發(fā)展

卷下第三十八題：“今有糙米三千四百六十斛五斗七升三合四勺，每斗春保熟米九升，問熟米幾何?”此即計(jì)算34645.734x9，書中“又術(shù)：但從下內(nèi)減一，亦得”。這就是說，從每位的下位減去各位數(shù)的一倍即得結(jié)果，因34645.734×9=34645.73×(10.1)=346457.3—34645.73正是錯(cuò)一位相減而已。此種方法，南宋楊輝叫“損乘”，實(shí)為現(xiàn)今補(bǔ)數(shù)乘法之前身?！倍?、宋元時(shí)期珠算發(fā)展（一）宋元時(shí)期珠算發(fā)展的概況雖然現(xiàn)在的珠算，無論在算法和口訣上，相對(duì)地說還算完善，但這些成就并非一蹴而就的，而是上千年的不斷改進(jìn)和創(chuàng)造的結(jié)果。珠算的發(fā)展——宋元時(shí)期珠算發(fā)展珠算的發(fā)展——宋元時(shí)期珠算發(fā)展宋元珠算發(fā)展“在口訣的改進(jìn)和創(chuàng)造方面，如南宋楊輝(生卒年不詳)<乘除通變本末》(1274年)第二卷<乘除通變算寶》中的“求一乘”和“求一除”口訣及“九歸捷法”口訣，同時(shí)他又給出除數(shù)為兩位數(shù)時(shí)的特殊除法口訣。到了元朝，朱世杰(生卒年不詳)在其《算學(xué)啟蒙》(1299年)卷上又把楊輝的“九歸捷法”簡(jiǎn)化為“一歸如一進(jìn)，見一進(jìn)成十，二一添作五，逢二進(jìn)成十……九歸隨身下，逢九進(jìn)成十”等36句。這與現(xiàn)在的“九歸”已差不離了?！贝送?，還有一些文獻(xiàn)資料能幫助我們加深對(duì)一些算法的理解?！叭纭端问贰ぢ蓺v志》載有‘復(fù)有徐仁美(北宋人，生卒年不詳，略早于沈括——筆者注)作增成玄一法九十三間以立新術(shù)’的話，

（二）宋元時(shí)期珠算算法的演變籌算乘除法，在唐代就已進(jìn)行改革，出現(xiàn)了重因、定身加、定身減、求一各法。到宋代更加出現(xiàn)了許多新的算法。珠算的發(fā)展——宋元時(shí)期珠算發(fā)展3．乘除簡(jiǎn)捷算法的發(fā)展2．普通乘除法的改革1．增成法的

出現(xiàn)4．歸除法的

完成1．增成法的出現(xiàn)

沈括(1031—1095)在《夢(mèng)溪筆談》中記載了幾種算法。他說：“算術(shù)多門，如求一、上驅(qū)、搭因、重因之類，皆不離乘除，唯增成一法稍異，其術(shù)都不用乘除，但補(bǔ)虧就盈而己。例如，欲九除各增一便是，八除者增二便是。但一位一因之，若位數(shù)少，則頗簡(jiǎn)捷，位數(shù)多，則愈繁，不若乘除之有常。"然算術(shù)不患多學(xué)，見簡(jiǎn)即用，見繁即變，不膠“法，乃為通術(shù)也”。珠算的發(fā)展——宋元時(shí)期珠算發(fā)展

2．普通乘除法的改革珠算的發(fā)展——宋元時(shí)期珠算發(fā)展（1）乘法古代籌算乘法用三重張位，乘時(shí)還要移動(dòng)法數(shù)，計(jì)算繁復(fù)。至南宋，算學(xué)家進(jìn)行了一些算法改革，楊輝在其《算法通變本末》(1274)中提出的“單因”和“相乘”就是對(duì)古算法的改革。（2）除法在楊輝的書中，乘法由三行式改為二行式，但除法卻沒有相應(yīng)的二行式出現(xiàn)。但楊輝時(shí)代，由于用小數(shù)計(jì)算而提出定位問題，故他的除法與古法的置商有所不同?！毒耪滤阈g(shù)》、《孫子算經(jīng)》中的除法都是整數(shù)除法，若整數(shù)下有奇零部分，通常用分?jǐn)?shù)計(jì)算。而整數(shù)除法，如前述置商，其整數(shù)位數(shù)就可確定，不需其它的定位方法。唐中葉以后，因商業(yè)發(fā)達(dá)而產(chǎn)生十進(jìn)小數(shù)。進(jìn)行小數(shù)的乘除法運(yùn)算，就要牽涉到積、商的定位問題、這里的商除法雖仍沿古算第三行式運(yùn)算，而商的位置卻有了不同的規(guī)定在南宋楊輝的著作中可以看到這種新的商除法。3．乘除簡(jiǎn)捷算法的發(fā)展簡(jiǎn)捷乘、除法在唐代既已產(chǎn)生，到了宋代楊輝又提出各種方法，除前述重因、身外加、身外減、損乘外，尚有身前因、求一、歸總還零各項(xiàng)。分述如下：珠算的發(fā)展——宋元時(shí)期珠算發(fā)展求一??身前因正負(fù)數(shù)除法的思想。?4．歸除法的完成歸除法在歷史上對(duì)珠算的發(fā)展起了巨大的促進(jìn)作用。歸除法的歷史發(fā)展，整整延續(xù)了宋元兩代，有400多年，可分4個(gè)階段：珠算的發(fā)展——宋元時(shí)期珠算發(fā)展???增成法階段?歸法階段歸除階段近代歸除階段（一）明清時(shí)期珠算發(fā)展概況珠算的發(fā)展——明清時(shí)期的珠算發(fā)展

明代工、商業(yè)和手工業(yè)發(fā)展很快，已經(jīng)形成了許多封建社會(huì)末期特征的手工業(yè)中心，對(duì)外貿(mào)易也十分繁榮。商業(yè)的發(fā)展，需要復(fù)雜的計(jì)算。由此，也促進(jìn)了珠算的普及和推廣，成為珠算鼎盛的時(shí)代。珠算的發(fā)展——明清時(shí)期的珠算發(fā)展

明代是珠算廣泛普及的時(shí)代，改變了宋元多講籌算的情況。算盤己成為人們?nèi)粘Ｉ畈豢扇鄙俚挠?jì)算工具。在明代，“中國(guó)的算盤和珠算書傳入朝鮮、日本和泰國(guó)。到了清代，西洋筆算。納白爾籌算和尺算等傳入我國(guó)，但只是在少數(shù)人中間應(yīng)用，廣大群眾仍應(yīng)用珠算。（二）明清時(shí)期珠算算法的演變明代是珠算發(fā)展的全盛時(shí)代，珠算算法達(dá)到完善的地步。清代繼承明代成就，且有新的貢獻(xiàn)。現(xiàn)分別從以下十個(gè)方面加以敘述：珠算的發(fā)展——明清時(shí)期的珠算發(fā)展

1.加減口訣的完成2.注重加減法的練習(xí)3.商歸法的出現(xiàn)4.飛歸法的使用5.流法的使用6.湊倍乘除法的發(fā)展7.“損乘”在乘除法中的演變8.各種后乘法的出現(xiàn)9.懸珠法的產(chǎn)生：10.定位法的發(fā)展1.加減口訣的完成

歸除口訣于元代完成，但尚無加減口訣，到了明代，出現(xiàn)了加減口訣，這樣就形成了以口訣為指導(dǎo)計(jì)算的特殊的珠算系統(tǒng)。加減口訣首見于吳敬的《九章詳注比類算法大全》。珠算的發(fā)展——明清時(shí)期的珠算發(fā)展

2.注重加減法的練習(xí)加減法是珠算算法的基礎(chǔ)，明清時(shí)代珠算家注重加減法的練習(xí)。吳敬首先提出“先十法”，以求提高加減速度?！侗P珠算法》首先著錄“九盤清”，以后各家算書，皆以此作為加減練習(xí)題。清初沈士桂《簡(jiǎn)捷易明算法》介紹了一種“堆垛銀數(shù)”題，專為練習(xí)加減法所用。珠算的發(fā)展——明清時(shí)期的珠算發(fā)展

3.商歸法的出現(xiàn)傳統(tǒng)商除法是隔位商除法，明代吳敬和清代潘逢禧提倡一種商除法，其立商檔位與歸除法一致，而所用方法為商除，現(xiàn)在通稱商歸法，實(shí)際是一種挨位商除法。近年來為珠算界所重視。珠算的發(fā)展——明清時(shí)期的珠算發(fā)展

4.飛歸法的使用對(duì)于兩位數(shù)除法，楊輝編有口訣，叫“混然歸法”。王文素發(fā)展楊輝思想，編出六十七歸、七十三歸、八十七歸和九十三歸四種飛歸口訣，叫做“二位歸法”。占代畝法，24方步為l畝，由積步求畝，要用24除?！端銓W(xué)寶鑒》有“二十四訣”和“田畝飛歸口訣”，就是二十四飛歸口訣，以后《數(shù)度衍》亦有二十四飛歸口訣。清代還出現(xiàn)“飛歸口訣”，將二位除數(shù)(11至99)的全部飛歸訣匯編而成。珠算的發(fā)展——明清時(shí)期的珠算發(fā)展

5.流法的使用流法現(xiàn)稱“表算法”。當(dāng)進(jìn)行大數(shù)字乘除，且實(shí)數(shù)或法數(shù)固定時(shí)使用此法，比較方便。這種方法始見于清初方中通的《數(shù)度衍》，繼見于沈士桂的《簡(jiǎn)捷易明算法》。方中通和沈士桂的“乘流”，都是先計(jì)算出法數(shù)的1至9倍，然后從實(shí)數(shù)末位起，逐位化成倍數(shù)。而兩者的“除流”，方法卻不一樣。方氏“除流”，首先求法數(shù)的倒數(shù)，再求出倒數(shù)的l至9倍。從實(shí)數(shù)末位起，一一改為相應(yīng)的倒數(shù)倍數(shù)相加，所得結(jié)果，即為商數(shù)。而沈氏的“除流”，卻是先計(jì)算法數(shù)的1至9倍，然后用商除計(jì)算，減去的是該法數(shù)的商數(shù)倍。此倍數(shù)由現(xiàn)成的倍數(shù)表查得，清代出現(xiàn)流法，是由于計(jì)算機(jī)各省府的地稅銀數(shù)的需要，這種方法在現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)計(jì)算中也可使用。珠算的發(fā)展——明清時(shí)期的珠算發(fā)展

6.湊倍乘除法的發(fā)展湊倍乘除法的是一種簡(jiǎn)易乘除法，原名“金蟬脫殼”．最早著錄這種算法的是吳敬《九章比類算法大全》，稱為“乘除易會(huì)算訣”；《盤珠算法》始見“金蟬脫殼”之名，只用于除法，尚有“二字奇法”，乘法用“退”，除法用“進(jìn)”，純用l倍計(jì)算，比吳敬的方法更原始?？律羞w的“金蟬乘”用法數(shù)的一倍和二倍，與吳敬的方法一樣；“金蟬除”有“進(jìn)一”、“進(jìn)二”、“進(jìn)五”3種立商，比吳敬只用l、5倍有所改進(jìn)。珠算的發(fā)展——明清時(shí)期的珠算發(fā)展

7.“損乘”在乘除法中的演變宋代楊輝提出“損乘”，而明代王文素將楊輝的“損乘”發(fā)展為“眾九為乘”和“眾九相乘”，用“欠數(shù)”(即損數(shù))計(jì)算，其算法較為簡(jiǎn)捷，但仍屬損乘范圍。以后，清初方正珠的《乘除新法》中，把王文素提出的“欠數(shù)”稱為變數(shù)(即現(xiàn)在的補(bǔ)數(shù))，比以前有了更完整的敘述。珠算的發(fā)展——明清時(shí)期的珠算發(fā)展

8.各種后乘法的出現(xiàn)乘法發(fā)展到元代，變成以后乘法為主，所見者唯“留頭乘”1法，到了明代出現(xiàn)了各種后乘法。至清代，李長(zhǎng)茂在《算海說詳》中，對(duì)4種后乘法一一加以介紹。潘逢禧《算學(xué)發(fā)蒙》中，除對(duì)4種后乘法進(jìn)行說明外，還加了圖解，是明、清兩代著作中，對(duì)后乘法闡述最為詳明的著作。。珠算的發(fā)展——明清時(shí)期的珠算發(fā)展

9.懸珠法的產(chǎn)生：許桂林《算牖》(1811)中，第一次明文記載。他說：“如八九八乘九八九，其乘也，須將算盤格上二子，上一子為十，下一子為五，方能敷用，謂之“懸珠”。其還原也，九歸八九除，亦有懸珠”。清代吳兆珍《算法指掌大全》(1818)內(nèi)也有懸珠法記載。珠算的發(fā)展——