§8.1假設(shè)檢驗(yàn)的基本概念若對(duì)參數(shù)有所了解但有懷疑猜測(cè)需要證實(shí)之時(shí)用假設(shè)檢驗(yàn)的方法來(lái)處理若對(duì)參數(shù)一無(wú)所知用參數(shù)估計(jì)的方法處理第一頁(yè)，共二十九頁(yè)。

假設(shè)檢驗(yàn)是指施加于一個(gè)或多個(gè)總體的概率分布或參數(shù)的假設(shè).所作假設(shè)可以是正確的,也可以是錯(cuò)誤的.

為判斷所作的假設(shè)是否正確,從總體中抽取樣本,根據(jù)樣本的取值,按一定原則進(jìn)行檢驗(yàn),然后作出接受或拒絕所作假設(shè)的決定.何為假設(shè)檢驗(yàn)?第二頁(yè)，共二十九頁(yè)。假設(shè)檢驗(yàn)所以可行,其理論背景為實(shí)際推斷原理,即“小概率原理”假設(shè)檢驗(yàn)的內(nèi)容參數(shù)檢驗(yàn)非參數(shù)檢驗(yàn)總體均值,均值差的檢驗(yàn)總體方差,方差比的檢驗(yàn)分布擬合檢驗(yàn)符號(hào)檢驗(yàn)秩和檢驗(yàn)假設(shè)檢驗(yàn)的理論依據(jù)第三頁(yè)，共二十九頁(yè)。

引例1

某產(chǎn)品出廠檢驗(yàn)規(guī)定:次品率p不超過(guò)4%才能出廠.現(xiàn)從一萬(wàn)件產(chǎn)品中任意抽查12件發(fā)現(xiàn)3件次品,問(wèn)該批產(chǎn)品能否出廠？若抽查結(jié)果發(fā)現(xiàn)1件次品,問(wèn)能否出廠？解

假設(shè)這是小概率事件,一般在一次試驗(yàn)中是不會(huì)發(fā)生的,現(xiàn)一次試驗(yàn)竟然發(fā)生,故認(rèn)為原假設(shè)不成立,即該批產(chǎn)品次品率,則該批產(chǎn)品不能出廠.引例1第四頁(yè)，共二十九頁(yè)。這不是小概率事件,沒(méi)理由拒絕原假設(shè),從而接受原假設(shè),即該批產(chǎn)品可以出廠.若不用假設(shè)檢驗(yàn),按理不能出廠.注1直接算注2本檢驗(yàn)方法是概率意義下的反證法，故拒絕原假設(shè)是有說(shuō)服力的,而接受原假設(shè)是沒(méi)有說(shuō)服力的.因此應(yīng)把希望否定的假設(shè)作為原假設(shè).第五頁(yè)，共二十九頁(yè)。對(duì)總體提出假設(shè)要求利用樣本觀察值對(duì)提供的信息作出接受(可出廠),還是接受(不準(zhǔn)出廠)的判斷.出廠檢驗(yàn)問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型第六頁(yè)，共二十九頁(yè)。

某廠生產(chǎn)的螺釘,按標(biāo)準(zhǔn)強(qiáng)度為68/mm2,而實(shí)際生產(chǎn)的強(qiáng)度X服N(,3.62).若E(X)==68,則認(rèn)為這批螺釘符合要求,否則認(rèn)為不符合要求.為此提出如下假設(shè):H0:=68稱為原假設(shè)或零假設(shè)

原假設(shè)的對(duì)立面:H1:

68稱為備擇假設(shè)引例2假設(shè)檢驗(yàn)的任務(wù)必須在原假設(shè)與備擇假設(shè)之間作一選擇第七頁(yè)，共二十九頁(yè)。若原假設(shè)正確,則因而

,即偏離68不應(yīng)該太遠(yuǎn),故取較大值是小概率事件.可以確定一個(gè)常數(shù)c使得因此,取,則現(xiàn)從整批螺釘中取容量為36的樣本,其均值為

,問(wèn)原假設(shè)是否正確?第八頁(yè)，共二十九頁(yè)。由為檢驗(yàn)的接受域(實(shí)際上沒(méi)理由拒絕),現(xiàn)落入接受域,則接受原假設(shè)即區(qū)間(,66.824

)與(69.18,+)為檢驗(yàn)的拒絕域稱的取值區(qū)間(66.824,69.18)H0:=68第九頁(yè)，共二十九頁(yè)。由引例2可見(jiàn),在給定的前提下,接受還是拒絕原假設(shè)完全取決于樣本值,因此所作檢驗(yàn)可能導(dǎo)致以下兩類錯(cuò)誤的產(chǎn)生：第一類錯(cuò)誤棄真錯(cuò)誤第二類錯(cuò)誤取偽錯(cuò)誤第十頁(yè)，共二十九頁(yè)。正確正確假設(shè)檢驗(yàn)的兩類錯(cuò)誤犯第一類錯(cuò)誤的概率通常記為犯第二類錯(cuò)誤的概率通常記為H0

為真H0

為假真實(shí)情況所作判斷接受H0拒絕H0第一類錯(cuò)誤(棄真)第二類錯(cuò)誤(取偽)第十一頁(yè)，共二十九頁(yè)。

任何檢驗(yàn)方法都不能完全排除犯錯(cuò)

假設(shè)檢驗(yàn)的指導(dǎo)思想是控制犯第一類誤的可能性.理想的檢驗(yàn)方法應(yīng)使犯兩類錯(cuò)誤的概率都很小,但在樣本容量給定的情形下,不可能使兩者都很小,降低一個(gè),往往使另一個(gè)增大.錯(cuò)誤的概率不超過(guò),然后,若有必要,通過(guò)增大樣本容量的方法來(lái)減少.第十二頁(yè)，共二十九頁(yè)。P(拒絕H0|H0為真)若H0為真,則

所以,拒絕H0的概率為,又稱為顯著性水平,越大,犯第一類錯(cuò)誤的概率越大,即越顯著.引例2中，犯第一類錯(cuò)誤的概率第十三頁(yè)，共二十九頁(yè)。H0不真,即68,可能小于68,也可能大于68,的大小取決于的真值的大小.下面計(jì)算犯第二類錯(cuò)誤的概率

設(shè)=P(接受H0|H0不真)14第十四頁(yè)，共二十九頁(yè)。/2/2H0真H0不真第十五頁(yè)，共二十九頁(yè)。一般,作假設(shè)檢驗(yàn)時(shí),先控制犯第一類錯(cuò)誤的概率,在此基礎(chǔ)上使盡量地小.要降低一般要增大樣本容量.當(dāng)H0不真時(shí),參數(shù)值越接近真值,越大.備擇假設(shè)可以是單側(cè),也可以雙側(cè).

H0:=68；

H1:

>68注1o注2o引例2中的備擇假設(shè)是雙側(cè)的.若根據(jù)以往生產(chǎn)情況,0=68.現(xiàn)采用了新工藝,關(guān)心的是新工藝能否提高螺釘強(qiáng)度,越大越好.此時(shí)可作如下的右邊假設(shè)檢驗(yàn):第十六頁(yè)，共二十九頁(yè)。關(guān)于原假設(shè)與備擇假設(shè)的選取H0與H1地位應(yīng)平等,但在控制犯第一類錯(cuò)誤的概率的原則下,使得采取拒絕H0的決策變得較慎重,即H0

得到特別的保護(hù).因而,通常把有把握的、有經(jīng)驗(yàn)的結(jié)論作為原假設(shè),或者盡可能使后果嚴(yán)重的錯(cuò)誤成為第一類錯(cuò)誤.注3o第十七頁(yè)，共二十九頁(yè)。假設(shè)檢驗(yàn)步驟(三部曲)

其中

根據(jù)實(shí)際問(wèn)題所關(guān)心的內(nèi)容,建立H0與H1

在H0為真時(shí),選擇合適的統(tǒng)計(jì)量V,由H1確給定顯著性水平,其對(duì)應(yīng)的拒絕域雙側(cè)檢驗(yàn)左邊檢驗(yàn)定拒絕域形式

根據(jù)樣本值計(jì)算,并作出相應(yīng)的判斷.右邊檢驗(yàn)第十八頁(yè)，共二十九頁(yè)?！?.2一個(gè)正態(tài)總體的假設(shè)檢驗(yàn)設(shè)總體為x~N(m,s2).關(guān)于總體參數(shù)m,s2的假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題,本節(jié)介紹下列三種:(1)已知方差s2,檢驗(yàn)假設(shè)H0:m=m0;(2)未知方差s2,檢驗(yàn)假設(shè)H0:m=m0;(3)未知期望m,檢驗(yàn)假設(shè)H0:s2=s02;其中H0中的s02,m0都是已知數(shù).19第十九頁(yè)，共二十九頁(yè)。方差已知對(duì)期望值m的檢驗(yàn)步驟:

(3)根據(jù)檢驗(yàn)水平a,查表確定臨界值,使(1)提出待檢假設(shè)H0:m=m0(m0已知);

(2)選取樣本(X1,...,Xn)的統(tǒng)計(jì)量,如H0成立,則即(4)根據(jù)樣本觀察值計(jì)算統(tǒng)計(jì)量Z的值z(mì)并與臨界值比較(5)若|z|>

則否定H0,否則接收H0.20第二十頁(yè)，共二十九頁(yè)。例1根據(jù)長(zhǎng)期經(jīng)驗(yàn)和資料的分析,某磚瓦廠生產(chǎn)磚的"抗斷強(qiáng)度"x服從正態(tài)分布,方差s2=1.21.從該廠產(chǎn)品中隨機(jī)抽取6塊,測(cè)得抗斷強(qiáng)度如下(單位:kg/cm2):

32.56,29.66,31.64,30.00,31.87,31.03

檢驗(yàn)這批磚的平均抗斷強(qiáng)度為32.50kg/cm2是否成立(a=0.05)?21第二十一頁(yè)，共二十九頁(yè)。解設(shè)H0:m=32.50.如果H0正確,則樣本(X1,...,X6)來(lái)自正態(tài)總體N(32.50,1.12),令因此否定H0,即不能認(rèn)為這批產(chǎn)品的平均抗斷強(qiáng)度是32.50kg/cm2.96.105.36/1.150.3213.31||21)(,)|(|96.1,05.0)1,0(~6/1.150.32>?-=-=F=>==-=zZzzZPzNXZ的樣本值為計(jì)算求出即使查表得對(duì)給定的aaaa/2a/2a/222第二十二頁(yè)，共二十九頁(yè)。例2假定某廠生產(chǎn)一種鋼索,它的斷裂強(qiáng)度x(kg/m2)服從正態(tài)分布N(m,402).從中選取一個(gè)容量為9的樣本,得=780kg/m2.能否據(jù)此樣本認(rèn)為這批鋼索的斷裂強(qiáng)度為800kg/cm2(a=0.05)

可以接受H0,認(rèn)為斷裂強(qiáng)度為800kg/cm223第二十三頁(yè)，共二十九頁(yè)。方差未知對(duì)期望值m的檢驗(yàn)步驟:

(3)根據(jù)檢驗(yàn)水平a,查表確定臨界值ta/2,使P(|T|>ta/2)=a;(4)根據(jù)樣本觀察值計(jì)算統(tǒng)計(jì)量T的值t并與臨界值ta/2比較;(5)若|t|>ta/2則否定H0,否則接收H0.(1)提出待檢假設(shè)H0:m=m0(m0已知);

(2)選取樣本(X1,...,Xn)的統(tǒng)計(jì)量,如H0成立,則24第二十四頁(yè)，共二十九頁(yè)。例3從1975年的新生兒(女)中隨機(jī)地抽取20個(gè),測(cè)得其平均體重為3160克,樣本標(biāo)準(zhǔn)差為300克.而根據(jù)過(guò)去統(tǒng)計(jì)資料,新生兒(女)平均本重為3140克.問(wèn)現(xiàn)在與過(guò)去的新生兒(女)體重有無(wú)顯著差異(假設(shè)新生兒體重服從正態(tài)分布)?(a=0.01)若把所有1975年新生兒(女)體重體現(xiàn)為一個(gè)正態(tài)總體N(m,s2),問(wèn)題就是判斷m=Ex=3140是否成立?25第二十五頁(yè)，共二十九頁(yè)。解待檢假設(shè)H0:m=3140.由于s2未知,自然想到用S2代表s2.則如果H0成立,則26第二十六頁(yè)，共二十九頁(yè)。未知期望對(duì)正態(tài)總體方差的假設(shè)檢驗(yàn)步驟:

(3)由給定的檢驗(yàn)水平a查表求ca2,cb2滿足:(4)計(jì)算c2的值與ca2,cb2比較;(5)若c2>cb2或c2<ca2拒絕H0否則接收H0;(1)建立待檢假設(shè)H0:s2=s02;

(2)如H0成立,則

27第二十七頁(yè)，共二十九頁(yè)。例4某煉鐵廠的鐵水含碳量x在正常情況下服從正態(tài)分布.現(xiàn)對(duì)操作工藝進(jìn)行了某些改進(jìn),從中抽取5爐鐵水測(cè)得含碳量數(shù)據(jù)如下:

4.412,4.052,4.357,4.287,4.683

據(jù)此是否可以認(rèn)為新工藝煉出的鐵水含碳量的方差仍為0.1082(a=0.05).

解：建立待檢假設(shè)H0:s2=0.1082;在H0成立時(shí),樣本來(lái)自總體N(m,0.1082),這時(shí)28第二十八頁(yè)，共二十九頁(yè)。內(nèi)容總結(jié)§8.1假設(shè)檢驗(yàn)的基本概念?？傮w均值,均值差的檢驗(yàn)。總體方差,方差比的檢驗(yàn)。抽查12件發(fā)現(xiàn)3件次品,問(wèn)該批