第四章§4.6

函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)考試要求1.結(jié)合具體實(shí)例，了解y＝Asin(ωx＋φ)的實(shí)際意義；能借助圖象理解參數(shù)ω，φ，A

的意義，了解參數(shù)的變化對(duì)函數(shù)圖象的影響.2.會(huì)用三角函數(shù)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題，體會(huì)可以利用三角函數(shù)構(gòu)建刻畫(huà)事物周期變

化的數(shù)學(xué)模型.落實(shí)主干知識(shí)課時(shí)精練探究核心題型內(nèi)容索引LUOSHIZHUGANZHISHI落實(shí)主干知識(shí)1.簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的有關(guān)概念y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x≥0振幅周期頻率相位初相AT＝____f＝

ωx＋φφ2.用“五點(diǎn)法”畫(huà)y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)一個(gè)周期內(nèi)的簡(jiǎn)圖時(shí)，要找五個(gè)特征點(diǎn)ωx＋φ0π2πx_____________________________________y＝Asin(ωx＋φ)0A0－A03.函數(shù)y＝sinx的圖象經(jīng)變換得到y(tǒng)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的圖象的兩種途徑|φ|AA常用結(jié)論1.函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)＋k圖象平移的規(guī)律：“左加右減，上加下減”.2.由y＝sinωx到y(tǒng)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ>0)的變換：向左平移

個(gè)單位長(zhǎng)度而非φ個(gè)單位長(zhǎng)度.3.函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)圖象的對(duì)稱(chēng)軸由ωx＋φ＝kπ＋

，k∈Z確定；對(duì)稱(chēng)中心由ωx＋φ＝kπ，k∈Z確定其橫坐標(biāo).√×(3)函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A≠0)的最大值為A，最小值為－A.(

)(4)如果y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期為T(mén)，那么函數(shù)圖象的相鄰兩個(gè)對(duì)稱(chēng)中心之間的距離為

.(

)×√√√A.縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的3倍，橫坐標(biāo)不變B.橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的3倍，縱坐標(biāo)不變3.如圖，某地一天從6～14時(shí)的溫度變化曲線近似滿足函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)＋b，A>0,0<φ<π，則這段曲線的函數(shù)解析式為_(kāi)_______________________________.從題圖中可以看出，從6～14時(shí)的圖象是函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)＋b的半個(gè)周期，TANJIUHEXINTIXING探究核心題型題型一函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象及變換√√將函數(shù)y＝sin2x的圖象向左平移φ個(gè)單位長(zhǎng)度后，教師備選√所得圖象的函數(shù)解析式為思維升華(1)由y＝sinωx的圖象到y(tǒng)＝sin(ωx＋φ)的圖象的變換：向左平移

(ω>0，φ>0)個(gè)單位長(zhǎng)度而非φ個(gè)單位長(zhǎng)度.(2)如果平移前后兩個(gè)圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)的名稱(chēng)不一致，那么應(yīng)先利用誘導(dǎo)公式化為同名函數(shù)，ω為負(fù)時(shí)應(yīng)先變成正值.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是A.①

B.①③

C.②③

D.①②③跟蹤訓(xùn)練1

(1)(2020·天津)已知函數(shù)f(x)＝sin.給出下列結(jié)論：①f(x)的最小正周期為2π；√A.3 B.6C.9 D.12√則ω＝12k(k∈N*)，故當(dāng)k＝1時(shí)，ω取得最小值12.√題型二由圖象確定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式故f(x)＝2cos(ωx＋φ)－1，將函數(shù)f(x)的圖象上點(diǎn)的橫坐標(biāo)拉伸為原來(lái)的3倍后，教師備選√先根據(jù)函數(shù)圖象求函數(shù)g(x)＝Asin(ωx＋φ)的解析式，由振幅可得A＝1，所以g(x)＝sin(2x＋φ)，再將橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍可得2.已知函數(shù)f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<π)為奇函數(shù)，該函數(shù)的部分圖象如圖所示，△EFG(點(diǎn)G是圖象的最高點(diǎn))是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，則f(1)＝________.又因?yàn)閒(x)＝Acos(ωx＋φ)為奇函數(shù)，思維升華確定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)的步驟和方法思維升華(3)求φ，常用方法如下：把圖象上的一個(gè)已知點(diǎn)代入(此時(shí)要注意該點(diǎn)在上升區(qū)間上還是在下降區(qū)間上)或把圖象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)代入.√所以1<|ω|<2.因?yàn)?<|ω|<2，(2)(2022·張家口市第一中學(xué)模擬)已知函數(shù)f(x)＝2sin(ωx＋φ)的部分圖象如圖所示，則ω＝____，為了得到偶函數(shù)y＝g(x)的圖象，至少要將函數(shù)y＝f(x)的圖象向右平移___個(gè)單位長(zhǎng)度.6由圖象可知，函數(shù)f(x)的最小正周期為T(mén)＝2×[6－(－2)]＝16，由于函數(shù)f(x)的圖象過(guò)點(diǎn)(－2,0)且在x＝－2附近單調(diào)遞增，假設(shè)將函數(shù)f(x)的圖象向右平移t個(gè)單位長(zhǎng)度可得到偶函數(shù)g(x)的圖象，解得t＝－2－8k(k∈Z)，∵t>0，當(dāng)k＝－1時(shí)，t取最小值6.命題點(diǎn)1

圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用題型三三角函數(shù)圖象、性質(zhì)的綜合應(yīng)用√所以f(x)＝2sin(2x＋φ)，又函數(shù)g(x)為偶函數(shù)，排除A，C，命題點(diǎn)2函數(shù)零點(diǎn)(方程根)問(wèn)題例4

已知關(guān)于x的方程2sin2x－

sin2x＋m－1＝0在

上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是____________.(－2，－1)故m的取值范圍是(－2，－1).延伸探究

本例中，若將“有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根”改成“有實(shí)根”，則m的取值范圍是________.∴－2≤m<1，∴m的取值范圍是[－2,1).[－2,1)命題點(diǎn)3三角函數(shù)模型例5

如圖，一個(gè)大風(fēng)車(chē)的半徑為8m，12min旋轉(zhuǎn)一周，它的最低點(diǎn)P0離地面2m，風(fēng)車(chē)翼片的一個(gè)端點(diǎn)P從P0開(kāi)始按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，則點(diǎn)P離地面的距離h(m)與時(shí)間t(min)之間的函數(shù)關(guān)系式是√設(shè)h＝Asin(ωt＋φ)＋B，由題意可得hmax＝18，hmin＝2，T＝12，當(dāng)t＝0時(shí)，8sinφ＋10＝2，得sinφ＝－1，其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是A.①②③

B.①④C.①②④

D.②③④①點(diǎn)P第一次到達(dá)最高點(diǎn)需要20秒；②當(dāng)水輪轉(zhuǎn)動(dòng)155秒時(shí)，點(diǎn)P距離水面2米；③當(dāng)水輪轉(zhuǎn)動(dòng)50秒時(shí)，點(diǎn)P在水面下方，距離水面2米；(2022·福州模擬)如圖所示，一半徑為4米的水輪，水輪圓心O距離水面2米，已知水輪每60秒逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)一圈，當(dāng)水輪上點(diǎn)P從水中浮現(xiàn)時(shí)(圖中點(diǎn)P0)開(kāi)始計(jì)時(shí)，給出下列結(jié)論：√教師備選設(shè)點(diǎn)P距離水面的高度h(米)和時(shí)間t(秒)的函數(shù)解析式為解得t＝20，故①正確；解得h＝2，故②正確；解得h＝－2，故③正確.思維升華(1)研究y＝Asin(ωx＋φ)的性質(zhì)時(shí)可將ωx＋φ視為一個(gè)整體，利用換元法和數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行解題.(2)方程根的個(gè)數(shù)可轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù).(3)三角函數(shù)模型的應(yīng)用體現(xiàn)在兩方面：一是已知函數(shù)模型求解數(shù)學(xué)問(wèn)題；二是把實(shí)際問(wèn)題抽象轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問(wèn)題，利用三角函數(shù)的有關(guān)知識(shí)解決問(wèn)題.跟蹤訓(xùn)練3

(1)(2022·青島模擬)已知函數(shù)f(x)＝cos2xcosφ－sin2xsinφ

的圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心為

，則下列說(shuō)法不正確的是√∵f(x)＝cos2xcosφ－sin2xsinφ故D正確.一個(gè)水斗從點(diǎn)A(3，

)出發(fā)，沿圓周按逆時(shí)針?lè)较騽蛩傩D(zhuǎn)，且旋轉(zhuǎn)一周用時(shí)120秒.經(jīng)過(guò)t秒后，水斗旋轉(zhuǎn)到P點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，其縱坐標(biāo)滿足y＝f(t)＝Rsin(ωt＋φ)，則下列敘述正確的是(2)(2022·西南大學(xué)附中模擬)水車(chē)在古代是進(jìn)行灌溉引水的工具，亦稱(chēng)“水轉(zhuǎn)筒車(chē)”，是一種以水流作動(dòng)力，取水灌田的工具.據(jù)史料記載，水車(chē)發(fā)明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的歷史，是人類(lèi)的一項(xiàng)古老的發(fā)明，也是人類(lèi)利用自然和改造自然的象征，如圖是一個(gè)半徑為R的水車(chē)，A.水斗作周期運(yùn)動(dòng)的初相為

B.在水斗開(kāi)始旋轉(zhuǎn)的60秒(含)中，其高

度不斷增加C.在水斗開(kāi)始旋轉(zhuǎn)的60秒(含)中，其

最高點(diǎn)離平衡位置的縱向距離是

D.當(dāng)水斗旋轉(zhuǎn)100秒時(shí)，其和初始點(diǎn)A

的距離為6√所以函數(shù)f(t)先增后減，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)t∈(0,60]時(shí)，所以點(diǎn)P到x軸的距離的最大值為6，故C錯(cuò)誤；所以|PA|＝|－3－3|＝6，故D正確.KESHIJINGLIAN課時(shí)精練基礎(chǔ)保分練√12345678910111213141516√1234567891011121314151612345678910111213141516√12345678910111213141516因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期為π，12345678910111213141516所以f(x)＝sin(2x＋φ)，12345678910111213141516√123456789101112131415164.(2022·天津五十七中月考)函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分圖象如圖所示，將f(x)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來(lái)的4倍(縱坐標(biāo)不變)，再把所得的圖象沿x軸向左平移

個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)g(x)的圖象，則函數(shù)g(x)的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間為12345678910111213141516將f(x)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來(lái)的4倍(縱坐標(biāo)不變)，1234567891011121314151612345678910111213141516√1234567891011121314151612345678910111213141516若x1≠x2，且f(x1)＝f(x2)＝0，12345678910111213141516√123456789101112131415161234567891011121314151612345678910111213141516根據(jù)正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)易知，123456789101112131415167.(2022·北京豐臺(tái)區(qū)模擬)將函數(shù)f(x)＝cos2x的圖象向左平移φ(φ>0)個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)g(x)的圖象.若函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則φ的一個(gè)取值為_(kāi)____.(答案不唯一)1234567891011121314151612345678910111213141516將函數(shù)f(x)＝cos2x的圖象向左平移φ(φ>0)個(gè)單位長(zhǎng)度，可得g(x)＝cos(2x＋2φ)，由函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，可得g(0)＝cos2φ＝0，8.(2022·濟(jì)南模擬)已知曲線C1：y＝cosx，C2：y＝sin，則為了得到曲線C1，首先要把C2上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的____倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右至少平移____個(gè)單位長(zhǎng)度.(本題所填數(shù)字要求為正數(shù))12345678910111213141516212345678910111213141516∴先將曲線C2上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，1234567891011121314151612345678910111213141516因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的最小正周期是π，所以ω＝2.f(x)取得最大值2，所以A＝2，1234567891011121314151612345678910111213141516(2)作出f(x)在[0，π]上的圖象(要列表)；2x＋π2πx0πf(x)120－20112345678910111213141516因?yàn)閤∈[0，π]，列表如下，12345678910111213141516描點(diǎn)、連線得圖象.12345678910111213141516(3)函數(shù)y＝f(x)的圖象可由函數(shù)y＝sinx的圖象經(jīng)過(guò)怎樣的變換得到？123456789101112131415161234567891011121314151612345678910111213141516f(x)＝m·n所以函數(shù)的最大值為1，最小正周期為12345678910111213141516123456789101112131415161234567891011121314151612345678910111213141516技能提升練√11.函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b的圖象如圖，則f(x)的解析式和S＝f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2020)＋f(2021)＋f(2022)＋f(2023)的值分別為1234567891011121314151612345678910111213141516∴cosφ＝1.∴φ＝2kπ，k∈Z，取k＝0得φ＝0.∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)又2024＝4×506，∴S＝4×506＝2024.12345678910111213141516√12345678910111213141516故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；12345678910111213141516故選項(xiàng)B正確；1234567891011121314151612345678910111213141516因?yàn)閤∈[0，π]，1234567891011121314151612345678910111213141516g(x)為奇函數(shù)，1234567891011121314151612345678910111213141516600012345678910111213141516作出函數(shù)簡(jiǎn)圖如圖.三角函數(shù)模型為y＝Asin(ωx＋φ)＋B，T