正項級數(shù)的判別法的探討

摘要:本文探究幾種判別法的實質(zhì)以及幾種判別法的強(qiáng)弱比較.

關(guān)鍵字：判別法收斂發(fā)散失效

Abstract:Thepaperexploresthetruthofsomecriterionofpositivetermseries

andthecompareofthecriterion'svalidity.

Keywords:criterion;convergence;divergence;lostvalidity.

引言:我們經(jīng)常用到的判別法有比較判別法,柯西判別法,達(dá)朗貝爾判別法，柯

西積分判別法,如復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)編《數(shù)學(xué)分析》第三版下冊就只介紹這兒種判

別法,且達(dá)朗貝爾判別法還沒有給出證明，而實際這兒種判別法遠(yuǎn)不夠，因為

有時用這兒種會失效,本文還介紹了拉貝判別法和高斯判別法,對于初學(xué)的本

科生來說,可能并不是非常了解這兒判別法的實質(zhì),也即是這說這些判別法的

由來以及這些判別法判別的范圍大小.

比較判別法國

若兩個正項級數(shù)E&1為和5X1Vn之間成立著關(guān)系：存在常數(shù)C>O使

如工1,2,…)

或者自某項以后(即存在N,當(dāng)n>N時)成立以上關(guān)系式，那么

(1)當(dāng)級數(shù)￡■1%收斂時，級數(shù)亦收斂

(2)當(dāng)級數(shù)￡71%發(fā)散時，級數(shù)￡備］.亦發(fā)散.

利用比較判別法，把要判定的級數(shù)與幾何級數(shù)比較，就可建立兩個很有用的判

別法:柯西判別法和達(dá)朗貝爾判別法.

柯西判別法國

設(shè)E靠1崛為正項級數(shù)，若從某一項起（即存在N,當(dāng)n>N時）成立著

骯i；gq<l（q為某確定的常數(shù)）,則級數(shù)收斂,若從某一項起成立著

々標(biāo)>1,則級數(shù)工占%發(fā)散.

達(dá)貝爾判別法國

設(shè)工富】縱為正項級數(shù)，若從某一項起成立著工MqVl（q確定的

un-i

數(shù),n>N）,則級數(shù)Id崛收斂.若從某一項起則級數(shù)E7iUn發(fā)

ttn-i

散.

這里作者并沒有給出證明，為證明達(dá)朗貝爾判別法得先引進(jìn)一個引理：

引理兇設(shè)正數(shù)列｛aj與｛%｝,如果當(dāng)叱%時，有不等式皿工憐那么當(dāng)收斂

2X出時則也理3%收斂.

下面給出簡單的證明

證明：當(dāng)nNn0時有

bn

〈b-

an-i%一1

左右兩邊分別相乘得

即+工〈玩+1

aob。

則an+l,消

由比較判別法可知當(dāng)數(shù)列9/收斂時，數(shù)列g(shù)j收斂.

當(dāng)數(shù)列但占發(fā)散時，數(shù)列｛bj發(fā)散.

由引理可以看出當(dāng)＜q＜1）時，即可得到達(dá)朗貝爾判別法

彳苛一丁7＜】

因此我們可以看出達(dá)貝爾判別法是怎么來的了.

柯西判別法與達(dá)朗貝爾判別法都是由幾何級數(shù)比較而來，究竟哪個實用范圍更

廣呢?先來看一個例子

例1

JRT4216d6412

由于如…如也=1,limn=003-=2.

a21n事物＞IY

則畫…優(yōu)不存在.

而---々（I

則由柯西判別法知￡備iZJUUf收斂.

實際在用達(dá)朗貝爾判別法證明收斂的數(shù)列｛aj用柯西判別法一定收斂,

用達(dá)證明不收斂的數(shù)列通項不為0,則一定發(fā)散.

證明：由達(dá)判別法能得到收斂，則

存在NeN,當(dāng)n>N有

■+2

aN+l

左右兩邊分別相乘得

nN

gp：an=aNq-

又由于limn-M）an=0,則aN為有界數(shù)

因此lim強(qiáng)能4垢q"、q<l,得證

n—8

而當(dāng)級數(shù)是E連，和2總時，達(dá)朗貝爾判別法無法確定，失效，這是因為柯

西判別法是與兒何級數(shù)比較而得.而這種形式的級數(shù)工備12（S>1）比兒何級數(shù)

收斂的速度慢.

為證明這個結(jié)論先看個例題

例二

8

證明裁列是否W/qn收敘

nsl

證明：

1皿時8六=1加*_8受*(1+￡fq=q<1

由達(dá)朗貝爾判別法判別可知級數(shù)收斂,通項必為0.

于是可得

Iimnsqn=0

IL—8

則

1叫一g里=0得證.

Raabe(拉貝)判別法⑶

若%>0(11=1,2…)及

limn(---l)=p

(i)當(dāng)p>l級數(shù)收斂

(ii)當(dāng)p<l時級數(shù)發(fā)散

(iii)當(dāng)P=1時，無法判定

拉貝判別法正是由￡；做比較而得

證明：令p>s>l,存在NeN,當(dāng)n>N有

二史手=。=1++。（）（高階無窮?。?/p>

則

lim（3——=+o（））>0

n一8SfllLG

則

<-

再由引理可得.

同理可得當(dāng)P<1時級數(shù)發(fā)散.

例3

PfT（p>0,q>0）

問p,q取什么值上級數(shù)收斂？

證明：

lim題曲=。3尸=1

n—8既1+itF+1

此時達(dá)貝爾判別法失效.

±=;+。（;）（高階無窮?。?/p>

/n+ln+l

—=-----（r----->尸a

an+in+pn

=n+P+l-P（］+.）q

n+pn

=（1+㈢（1+H。。）

n+pnn

=i+izm

n

所以當(dāng)q>p時，級數(shù)收斂

當(dāng)q<p時，級數(shù)發(fā)散

當(dāng)p=q時，無法判定,所以拉貝判別法失效，這就

需要判別范圍更精細(xì)的判別法

高斯判別法

設(shè)％>。，

-5j-=1+1+—^―+0）

an+1nnlnn\nInn/

則

1,若B>1,則￡占am收斂.

2,若削1,則E金發(fā)散.

3,若0=1,則￡￡無法判定.

證明；

由于0>1,取p>a>l,

設(shè)小…占品

存在NCN,當(dāng)n>N有

如_=.11（11+1））0

如以n'Inn'

=Q+：）（1+六十。島）尸

=（1+；）（1+后+。（意）

4+:+總+^盅

所以

金——虬=（生巴+Q（一一））>0

an4xbn+in.inn.nlnn

所以

a：i+i<bn+i

A

由引理可得：當(dāng)P>1級數(shù)收斂.

同理可得：當(dāng)P<1級數(shù)發(fā)散.

高斯判別法是與￡二】一比較而得的級數(shù).因為

lim-=0

…丁

則￡靠［冊比￡其】*收斂速變

所以高斯判別法比拉貝判別更精細(xì).

例4

高斯JU可級數(shù)，設(shè)a>0，B>0，Y>0,”>0

CT(5+l)-'(a+n■-1)自華+l)w(p+n-

F(a，B，y,%)=1+￥8

)?y+D…Cy+nT)

討論高斯幾何級數(shù)的斂散性.

;八十8勺『8?(?+1)-?(a+n-1)P(P+1)-(p+n-1)n

以3n=遇口=2n=1Y(Y+l)...(Y+a-l)#

則

lim皿=Um尹平絲r=“

n—8ann_81y+nj(n+l)

所以由達(dá)朗貝爾判別法

當(dāng)力<1時，級數(shù)收斂

當(dāng)%>1時，級數(shù)發(fā)散

當(dāng)力=1時，無法判定，達(dá)朗貝爾判別法失效.

用拉貝判別法

%1_(丸+1)-+冷

an+1(a+D)(n+B)

做]=(n+l)CR+r)]

an+i(?+n)(n-bp)

_?.￡}n+y-aF

(a^r0(n.4*P)

e、,?(r4-1-a-^)n2+(r-a/?)n

-1)=Ifwn----------........---------------

e?n—8(a+n)(n+|5)

a-p

所以

當(dāng)Y>a+歹時，級數(shù)收斂

當(dāng)Y<ct+/時，級數(shù)發(fā)散

當(dāng)Y=凌+R時，無法判定，拉貝判別法失效.

用高斯判別法

limnln.(也――1)…nlnn修+1廠一？可「血

ft-wa.+i71n-*ooL(a+n)(n+|?)

用

=limInnl-a-f)R?+(1-aTI

nr8L(?+n)(n+p)

=limInn

nr8.(CT+rO(n+p)

=liimInn

nr8.(?trO(n+p)J

(-aff)n_

==limInnQ

)1~8(a+n)A+P)

結(jié)束語:從達(dá)朗貝爾判別法，柯西根植判別法，拉貝判別法，高斯判別法的構(gòu)成的

實質(zhì)可以看出只要找到收斂速度更慢的級數(shù)，就可以做成一個更精細(xì)的判別

法.

中南大學(xué)2012年碩士生招生學(xué)科專業(yè)及考試科目

注：標(biāo)者為具有博士、碩士學(xué)位授予權(quán)的一級學(xué)科（一級學(xué)科博士、碩士點）

標(biāo)者為具有碩士學(xué)位授予權(quán)的一級學(xué)科(一級學(xué)科碩士點)

標(biāo)者為具有博士學(xué)位授予權(quán)的二級學(xué)科(專業(yè))(二級學(xué)科博士點)

標(biāo)者為國家授權(quán)我校自主設(shè)置具有博士、碩士學(xué)位授予權(quán)的學(xué)科(專業(yè))

標(biāo)者為國家重點學(xué)科

生

專業(yè)代碼、名稱及研究方向考試科目備注

岫

001馬克思主義學(xué)院(88836785,黎40

明。二級招生單位后括號內(nèi)是其聯(lián)系

電話和聯(lián)系人，下同。長沙區(qū)號為

0731o)

0302△政治學(xué)①101思想政治理論0302政治學(xué)按一

級學(xué)科招生，報考

01政治學(xué)理論(030201)②201英語一專業(yè)只能填寫為政

治學(xué)

02國際關(guān)系(030207)③722政治學(xué)基礎(chǔ)

④918世界政治與國際關(guān)

系

03科學(xué)社會主義與國際共產(chǎn)主義運(yùn)①101思想政治理論

動(030203)

②201英語一

04中共黨史(030204)

③722政治學(xué)基礎(chǔ)

④919中國化馬克思主義

基本問題

0305■馬克思主義理論①101思想政治理論0305馬克思主義

理論按一級學(xué)科招

01馬克思主義基本原理(030501)②201英語一生，報考專業(yè)只能

填寫為馬克思主義

③719馬克思主義理論綜

生

專業(yè)代碼、名稱及研究方向考試科目備注

疑

02馬克思主義中國化研究(030503)合知識理論

03中國近現(xiàn)代史基本問題研究④919中國化馬克思主義

(030506)基本問題

04思想政治教育(030505)①101思想政治理論

②201英語一

③719馬克思主義理論綜

合知識

④903思想政治教育基礎(chǔ)

知識

0602△中國史①101思想政治理論0602中國史按一

級學(xué)科招生，報考

01中國史②201英語一專業(yè)只能填寫為中

國史

③313歷史學(xué)基礎(chǔ)

140

002公共管理學(xué)院(88877703,魏羽

明；

MPA88836875,王曉佳)

0101■哲學(xué)①101思想政治理論0101哲學(xué)按一級

學(xué)科招生，報考專

01馬克思主義哲學(xué)(010101)②201英語一業(yè)只能填寫為哲學(xué)

02中國哲學(xué)(010102)③725馬克思主義哲學(xué)基

本原理

03外國哲學(xué)(010103)

④904中西哲學(xué)史

04邏輯學(xué)(010104)

05倫理學(xué)(010105)

生

專業(yè)代碼、名稱及研究方向考試科目備注

疑

06美學(xué)(010106)

07科學(xué)技術(shù)哲學(xué)(010108)

0303△社會學(xué)①101思想政治理論0303社會學(xué)按一

級學(xué)科招生，報考

01社會學(xué)(030301)②201英語一專業(yè)只能填寫為社

會學(xué)

02人口學(xué)(030302)③720社會學(xué)理論

03人類學(xué)(030303)④908社會研究方法

0352社會工作碩士(專業(yè)學(xué)位)①101思想政治理論

01社會工作②204英語二

③331社會工作原理

④437社會工作實務(wù)

1204△公共管理①101思想政治理論1204公共管理按

一級學(xué)科招生，報

01行政管理(120401)②201英語一考專業(yè)只能填寫為

公共管理

02教育經(jīng)濟(jì)與管理(120403)③721公共管理學(xué)基礎(chǔ)

03社會保障(120404)④905公共管理綜合考試

04土地資源管理(120405)

1252公共管理碩士(專業(yè)學(xué)位)①199管理類聯(lián)考綜合能

力

01公共管理

②204英語二

003法學(xué)院(88660220,劉萍)140

0301■法學(xué)①101思想政治理論

不接收同等學(xué)力考

生

專業(yè)代碼、名稱及研究方向考試科目備注

01法學(xué)理論（030101）②201英語一生。

02憲法學(xué)與行政法學(xué)（030103）③761法理學(xué)0301法學(xué)按一級

學(xué)科招生，報考專

03刑法學(xué)（030104）④906法學(xué)綜合（含民法業(yè)只能填寫為法學(xué)

總論、刑法總論、經(jīng)濟(jì)法

04民商法學(xué)（030105）總論）

05訴訟法學(xué)（030106）

06經(jīng)濟(jì)法學(xué)（030107）

07國際法學(xué)（030109）

08知識產(chǎn)權(quán)法學(xué)

035101法律碩士（非法學(xué)）（專業(yè)學(xué)①101思想政治理論知識產(chǎn)權(quán)方向歡迎

位）理工科專業(yè)畢業(yè)生

②201英語一或202俄語報考

01法律或203日語

③398法碩聯(lián)考專業(yè)基礎(chǔ)

（非法學(xué)）

④498法碩聯(lián)考綜合（非

法學(xué)）

035102法律碩士（法學(xué)）（專業(yè)學(xué)位）①101思想政治理論

01法律②201英語一或202俄語

或203日語

③397法碩聯(lián)考專業(yè)基礎(chǔ)

（法學(xué)）

④497法碩聯(lián)考綜合（法

學(xué)）

生

專業(yè)代碼、名稱及研究方向考試科目備注

疑

006高等教育研究所（88879608,謝

25

明）

0401△教育學(xué)①101思想政治理論0401教育學(xué)按一

級學(xué)科招生，報考

01教育學(xué)原理（040101）②201英語一專業(yè)只能填寫為教

育學(xué)。

02課程與教學(xué)論（040102）③311教育學(xué)專業(yè)基礎(chǔ)綜

合

03高等教育學(xué)（040106）

045101教育管理（教育碩士專業(yè)學(xué)①101思想政治理論

位）

②204英語二

01教育管理

③333教育綜合

④902教育專業(yè)基礎(chǔ)

045108學(xué)科教學(xué)（英語）（教育碩士①101思想政治理論

專業(yè)學(xué)位）

②204英語二

01英語教學(xué)

③333教育綜合

④902教育專業(yè)基礎(chǔ)

045114現(xiàn)代教育技術(shù)（教育碩士專①101思想政治理論045114教育碩士

業(yè)學(xué)位）專業(yè)學(xué)位（現(xiàn)代教

②204英語二育技術(shù)專業(yè)領(lǐng)域）

01現(xiàn)代教育技術(shù)由現(xiàn)代教育技術(shù)中

③333教育綜合心負(fù)責(zé)培養(yǎng)

④902教育專業(yè)基礎(chǔ)

007現(xiàn)代教育技術(shù)中心（88660123,

10

趙輝）

078401教育技術(shù)學(xué)①101思想政治理論該專業(yè)使用理學(xué)門

類的分?jǐn)?shù)線

01教育技術(shù)學(xué)②201英語一

生

專業(yè)代碼、名稱及研究方向考試科目備注

疑

③763高等數(shù)學(xué)方法與應(yīng)

用

④917計算機(jī)應(yīng)用基礎(chǔ)

009體育教研部(88876141,屈建華)5

040303體育教育訓(xùn)練學(xué)①101思想政治理論

01體育教育訓(xùn)練學(xué)②201英語一

③713體育綜合理論

010文學(xué)院(88877302,歐小芳)70

010106美學(xué)①101思想政治理論

01美學(xué)②201英語一

③718美學(xué)原理

④888文學(xué)綜合

0501△中國語言文學(xué)①101思想政治理論0501中國語言文

學(xué)按一級學(xué)科招

01文藝學(xué)(050101)②201英語一生，報考專業(yè)只能

填寫為中國語言文

③717文學(xué)原理學(xué)

④888文學(xué)綜合

02語言學(xué)及應(yīng)用語言學(xué)(050102)①101思想政治理論

03漢語言文字學(xué)(050103)②201英語一

③716古代漢語與現(xiàn)代漢

語

生

專業(yè)代碼、名稱及研究方向考試科目備注

④887語言學(xué)綜合

04中國古典文獻(xiàn)學(xué)(050104)①101思想政治理論

05中國古代文學(xué)(050105)②201英語一

③715古代文學(xué)與古典文

獻(xiàn)學(xué)

④888文學(xué)綜合

06中國現(xiàn)當(dāng)代文學(xué)(050106)①101思想政治理論

②201英語一

③742中國現(xiàn)當(dāng)代文學(xué)

④888文學(xué)綜合

07比較文學(xué)與世界文學(xué)(050108)①101思想政治理論

②201英語一

③714外國文學(xué)史

④888文學(xué)綜合

0503△新聞傳播學(xué)①101思想政治理論0503新聞傳播學(xué)

按一級學(xué)科招生，

01新聞學(xué)(050301)②201英語一報考專業(yè)只能填寫

為新聞傳播學(xué)

02傳播學(xué)(050302)③711新聞與傳播學(xué)理論

④885文化產(chǎn)業(yè)概論

0453漢語國際教育碩士(專業(yè)學(xué)位)①101思想政治理論

生

專業(yè)代碼、名稱及研究方向考試科目備注

疑

01漢語國際教育②201英語一

③354漢語基礎(chǔ)

④445漢語國際教育基礎(chǔ)

各專業(yè)均不接收同

011外國語學(xué)院（88876103,劉眾）110

等學(xué)力考生

040102課程與教學(xué)論①101思想政治理論

01課程與教學(xué)論②201英語一

③311教育學(xué)專業(yè)基礎(chǔ)綜

合

050108比較文學(xué)與世界文學(xué)①101思想政治理論

01比較文學(xué)與世界文學(xué)②201英語一或202俄語

或203日語或252德語

（自命題）或253法語（自

命題）

③755外國文學(xué)史

④988比較文學(xué)

0502△外國語言文學(xué)①101思想政治理論0502外國語言文

學(xué)按一級學(xué)科招

01英語語言文學(xué)（050201）②251日語（自命題）或生，報考專業(yè)只能

252德語（自命題）或253填寫為外國語言文

法語（自命題）或254俄學(xué)

語（自命題）

③724基礎(chǔ)英語

④989英美文學(xué)史及作品

批評

02法語語言文學(xué)（050203）①101思想政治理論

生

專業(yè)代碼、名稱及研究方向考試科目備注

疑

②255英語（自命題）

③752基礎(chǔ)法語

④881法語綜合考試

03日語語言文學(xué)（050205）①101思想政治理論

②201英語一

③753基礎(chǔ)日語

④882日語綜合考試

04外國語言學(xué)及應(yīng)用語言學(xué)①101思想政治理論

（050211）

②251日語（自命題）或

252德語（自命題）或253

法語（自命題）或254俄

語（自命題）

③724基礎(chǔ)英語

④880英語綜合考試

055101英語筆譯（翻譯碩士專業(yè)學(xué)①101思想政治理論

位）

②211翻譯碩士英語

01英語筆譯

③357英語翻譯基礎(chǔ)

055102英語口譯（翻譯碩士專業(yè)學(xué)

位）@448漢語寫作與百科知

識

01英語口譯

013建筑與藝術(shù)學(xué)院（88830104,唐報考設(shè)計學(xué)、美術(shù)學(xué)、

利民）藝術(shù)碩士的考生請注意：

100

1、網(wǎng)上報名時請選擇中

南大學(xué)報名點并到中南

生

專業(yè)代碼、名稱及研究方向考試科目備注

大學(xué)報名點現(xiàn)場確認(rèn)和

考試；2、設(shè)計學(xué)、藝術(shù)

碩士不接收同等學(xué)力、

“少數(shù)民族骨干計劃”考

生，美術(shù)學(xué)不接收同等學(xué)

力考生；3、考852造型

基礎(chǔ)或851設(shè)計基礎(chǔ)時請

考生自帶紙張、畫板等繪

圖工具。

0813△建筑學(xué)①101思想政治理論0813建筑學(xué)按一

級學(xué)科招生，報考

01建筑學(xué)②201英語一專業(yè)只能填寫為建

筑學(xué)

③733建筑理論或756城

市理論或757景觀設(shè)計理

論

④990建筑歷史或980城

市歷史或982中外園林史

0833△城鄉(xiāng)規(guī)劃學(xué)①101思想政治理論0833城鄉(xiāng)規(guī)劃學(xué)

按一級學(xué)科招生，

01城鄉(xiāng)規(guī)劃學(xué)②201英語一報考專業(yè)只能填寫

為城鄉(xiāng)規(guī)劃學(xué)

③756城市理論或733建

筑理論或757景觀設(shè)計理

論

④980城市歷史或990建

筑歷史或982中外園林史

0834△風(fēng)景園林學(xué)①101思想政治理論0834風(fēng)景園林學(xué)

按一級學(xué)科招生，

01風(fēng)景園林學(xué)②201英語一報考專業(yè)只能填寫

為風(fēng)景園林學(xué)

③757景觀設(shè)計理論或

756城市理論或733建筑

理論

生

專業(yè)代碼、名稱及研究方向考試科目備注

④982中外園林史或980

城市歷史或990建筑歷史

1301△藝術(shù)學(xué)理論①101思想政治理論1301藝術(shù)學(xué)理論

按一級學(xué)科招生，

01藝術(shù)學(xué)理論②201英語一報考專業(yè)只能填寫

為藝術(shù)學(xué)理論

02音樂理論③743藝術(shù)學(xué)基礎(chǔ)

④850藝術(shù)概論

1305△設(shè)計學(xué)①101思想政治理論1305設(shè)計學(xué)按一

級學(xué)科招生，報考

01設(shè)計學(xué)②201英語一專業(yè)只能填寫為設(shè)

計學(xué)

③749設(shè)計史及評論

④851設(shè)計基礎(chǔ)（3小時）

130423美術(shù)學(xué)①101思想政治理論國家批準(zhǔn)我校在原

藝術(shù)學(xué)一級學(xué)科學(xué)

01美術(shù)學(xué)②201英語一位授權(quán)點對應(yīng)調(diào)整

后保留美術(shù)學(xué)二級

③748中外美術(shù)史學(xué)科的碩士學(xué)位授

權(quán)

④852造型基礎(chǔ)（3小時）

135108藝術(shù)設(shè)計（藝術(shù)碩士專業(yè)學(xué)①101思想政治理論

位）

②204英語二

01藝術(shù)設(shè)計

③749設(shè)計史及評論

@851設(shè)計基礎(chǔ)（3小時）

085213建筑與土木工程（工程碩士①101思想政治理論

生

專業(yè)代碼、名稱及研究方向考試科目備注

疑

專業(yè)學(xué)位)②204英語二

01建筑與土木工程③302數(shù)學(xué)二

④990建筑歷史或980城

市歷史或982中外園林史

016商學(xué)院(研究生教育管理中心

88836434,何穎芳;MBA

管理中心88836711,楊450

秋娟；專業(yè)學(xué)位碩士辦

公室82539672)

020104西方經(jīng)濟(jì)學(xué)①101思想政治理論

01西方經(jīng)濟(jì)學(xué)②201英語一

③303數(shù)學(xué)三

④965西方經(jīng)濟(jì)學(xué)

0202△應(yīng)用經(jīng)濟(jì)學(xué)①101思想政治理論0202應(yīng)用經(jīng)濟(jì)學(xué)

按一級學(xué)科招生，

01區(qū)域經(jīng)濟(jì)學(xué)(020202)②201英語一報考專業(yè)只能填寫

為應(yīng)用經(jīng)濟(jì)學(xué)

02財政學(xué)(020203)③303數(shù)學(xué)三

03金融學(xué)(020204)④965西方經(jīng)濟(jì)學(xué)

04產(chǎn)業(yè)經(jīng)濟(jì)學(xué)(020205)

05國際貿(mào)易學(xué)(020206)

06勞動經(jīng)濟(jì)學(xué)(020207)

1201■?管理科學(xué)與工程①101思想政治理論1201管理科學(xué)與

工程按一級學(xué)科招

01管理科學(xué)與工程(120101)②201英語一生，報考專業(yè)只能

填寫為管理科學(xué)與

生

專業(yè)代碼、名稱及研究方向考試科目備注

③303數(shù)學(xué)三□程

④966運(yùn)籌學(xué)(B)或967管

理學(xué)

1202■工商管理①101思想政治理論1202工商管理按

一級學(xué)科招生，報

01會計學(xué)(120201)②201英語一考專業(yè)只能填寫為

工商管理

02企業(yè)管理(120202)③303數(shù)學(xué)三

03旅游管理(120203)④967管理學(xué)

04技術(shù)經(jīng)濟(jì)及管理(120204)①101思想政治理論

②201英語一

③303數(shù)學(xué)三

④965西方經(jīng)濟(jì)學(xué)

085239項目管理(工程碩士專業(yè)學(xué)①101思想政治理論

位)

②204英語二

01項目管理

③303數(shù)學(xué)三

④950工程經(jīng)濟(jì)學(xué)

0251金融碩士(專業(yè)學(xué)位)①101思想政治理論

01商業(yè)金融②204英語二

③303數(shù)學(xué)三

④431金融學(xué)綜合

生

專業(yè)代碼、名稱及研究方向考試科目備注

疑

0254國際商務(wù)碩士（專業(yè)學(xué)位）①101思想政治理論

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