一對一教材·高二數(shù)學一對一教材·高二數(shù)學第五講正態(tài)分布【課前診斷】成績（滿分10）：完成情況：優(yōu)/中/差1..若p為非負實數(shù)，隨機變量ξ的分布列為ξ012Peq\f(1,2)－ppeq\f(1,2)則E(ξ)的最大值為 ()．A．1 B.eq\f(3,2) C.eq\f(2,3) D．22.已知隨機變量X的分布列，求：X－2－1012Peq\f(1,4)eq\f(1,3)eq\f(1,5)meq\f(1,20)(1)；(2)若，求．

【知識點一：正態(tài)曲線】一、正態(tài)曲線定義總體密度曲線:樣本容量越大，所分組數(shù)越多，各組的頻率就越接近于總體在相應各組取值的概率．設想樣本容量無限增大，分組的組距無限縮小，那么頻率分布直方圖就會無限接近于一條光滑曲線,這條曲線叫做總體密度曲線．它反映了總體在各個范圍內取值的概率．根據(jù)這條曲線，可求出總體在區(qū)間(a，b)內取值的概率等于總體密度曲線，直線x=a，x=b及x軸所圍圖形的面積．觀察總體密度曲線的形狀，它具有“兩頭低，中間高，左右對稱”的特征，具有這種特征的總體密度曲線一般可用下面函數(shù)的圖象來表示或近似表示：式中的實數(shù)是參數(shù)，分別表示總體的平均數(shù)與標準差，的圖象為正態(tài)分布密度曲線,簡稱正態(tài)曲線．二、正態(tài)曲線的性質（1）曲線在軸的上方，與軸不相交（2）曲線關于直線對稱（3）當時，曲線帶到峰值（4）曲線與軸之間的面積為1（5）當一定時，曲線的位置由確定，曲線隨著的變化而沿軸平移.當時，曲線上升（增函數(shù)）；當時，曲線下降（減函數(shù)）.并且當曲線向左、右兩邊無限延伸時，以軸為漸近線，向它無限靠近.（6）當一定時，曲線的形狀由確定.越大，曲線越“矮胖”，總體分布越分散；越小．曲線越“瘦高”．總體分布越集中：

【典型例題】例1.如圖所示是一個正態(tài)曲線，試根據(jù)該圖象寫出其正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的解析式，求出總體隨機變量的期望和方差．例2.設，，這兩個正態(tài)分布密度曲線如圖所示．下列結論中正確的是A．B．C．對任意正數(shù)，D．對任意正數(shù)，練1.如圖是正態(tài)分布，（）相應的曲線，那么的大小關系是()A． B．C． D．練2.設兩個正態(tài)分布和的密度函數(shù)圖像如圖所示，則有（Ａ）（Ｂ）（C）（Ｄ）

【知識點二：正態(tài)分布】一、正態(tài)分布定義一般地，如果對于任何實數(shù)，隨機變量滿足則稱的分布為正態(tài)分布（normaldistribution)．正態(tài)分布完全由參數(shù)和確定，因此正態(tài)分布常記作．如果隨機變量服從正態(tài)分布，則記為.二、原則對于正態(tài)總體取值的概率：在區(qū)間內取值的概率分別為68.26%、95.44%、99.74%因此我們時常只在區(qū)間內研究正態(tài)總體分布情況，而忽略其中很小的一部分在實際應用中，通常認為服從于正態(tài)分布的隨機變量只取之間的值，并簡稱之為原則。

【典型例題】例1．已知隨機變量ξ服從正態(tài)分布N（2，σ2），且P（ξ<4）=0.8，則P（0<ξ<2）= A.0.6 B.0.4 C.0.3 D.0.2練1.已知隨機變量X服從正態(tài)分布，且，則實數(shù)a的值為（A）1 （B） （C）2 （D）4練2．設隨機變量X服從正態(tài)分布N(2,9)，若P(X>c＋1)＝P(X<c－1)，則c＝________.

例2.若X～N(5,1)，求P(5<X<7)．練1.設X~N（50，100），求P（60<X<70）.練2.在某項測量中，測量結果服從正態(tài)分布N(1,4)，求正態(tài)總體X在(－1,1)內取值的概率．

例3.在某次數(shù)學考試中，考生的成績ξ服從正態(tài)分布N（90，100）.（1）試求考試成績ξ位于區(qū)間（70，110）內的概率；（2）若這次考試共有2000名考生，試估計考試成績在（80，100）內的考生大約有多少人.練1.據(jù)調查統(tǒng)計，某市高二學生中男生的身高X(單位：cm)服從正態(tài)分布N(174,9)．若該市共有高二男生3000人，試估計該市高二男生身高在(174,180]范圍內的人數(shù)．解決此類問題一定要靈活把握3σ原則，將所求概率向P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)進行轉化，然后利用特定值求出相應的概率．同時要充分利用好曲線的對稱性和曲線與x軸之間的面積為1這一特殊性質

練2．某人從某城市的南郊乘公交車前往北區(qū)火車站，由于交通擁擠，所需時間(單位：分)服從X～N(50,102)，則他在時間段(30,70)內趕到火車站的概率為________．練3．燈泡廠生產(chǎn)的白熾燈泡的壽命為X(單位：小時)，已知X～N(1000,302)，要使燈泡的平均壽命為1000小時的概率約為99.7%，則燈泡的最低壽命應控制在多少小時以上？方法總結：(1)在正態(tài)分布N(μ，σ2)中，參數(shù)μ是反映隨機變量取值的平均水平的特征數(shù)，即總體隨機變量的均值，它可以用樣本的均值去估計，其取值是任意的實數(shù)．參數(shù)σ是反映隨機變量總體波動大小的特征數(shù)，即總體隨機變量的標準差，它可以用樣本的標準差去估計，其取值范圍是正數(shù)，即σ＞0。(2)因為P(μ－3σ＜X＜μ＋3σ)＝0.9974，所以正態(tài)總體X幾乎總取值于區(qū)間(μ－3σ，μ＋3σ)之內，而在此區(qū)間以外取值的概率只有0.0026，這是一個小概率事件，通常認為這種情況在一次試驗中幾乎不可能發(fā)生．這是統(tǒng)計中常用的假設檢驗基本思想。

【知識點三：標準正態(tài)分布】當時，正態(tài)總體稱為標準正態(tài)總體，其相應的函數(shù)表示式是其相應的曲線稱為標準正態(tài)曲線.標準正態(tài)總體在正態(tài)總體的研究中占有重要的地位任何正態(tài)分布的概率問題均可轉化成標準正態(tài)分布的概率問題.【典型例題】例1．已知隨機變量Z～N（0，1），且P（Z＜2）＝a，則P（﹣2＜Z＜2）＝A．2a B．2a﹣1 C．1﹣2a D．2（1﹣a）例2．在某項測試中，測量結果ξ服從正態(tài)分布N（0，σ2）（σ＞0），若P（0＜ξ＜1）＝0.4，則P（﹣1＜ξ＜0）＝A．0.8 B．0.6 C．0.4 D．0.2練1．已知隨機變量ξ～N（0，σ2），且P（ξ≥1）＝0.3，則P（﹣1≤ξ≤0）＝A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5練2．函數(shù)f（x）＝e（e為自然對數(shù)的底數(shù)），則不等式f（x）≤f（2x﹣1）解集為A．[1，+∞） B．（﹣∞，1] C．（﹣∞，]∪[1，+∞） D．[，1]

【小試牛刀】1．設，，這兩個正態(tài)分布密度曲線如圖所示．下列結論中正確的是A．B．C．對任意正數(shù)，D．對任意正數(shù)，2．已知某批零件的長度誤差（單位：毫米）服從正態(tài)分布，從中隨機取一件，其長度誤差落在區(qū)間內的概率為（附：若隨機變量服從正態(tài)分布，則P(μ-σ<A．4.56%B．13.59%C．27.18%D．31.74%3.已知隨機變量服從正態(tài)分布，且，則A． B．C．D．【鞏固練習——基礎篇】1.正態(tài)曲線關于y軸對稱，當且僅當它所對應的正態(tài)總體的均值為() A．1 B．－1 C．0 D．不確定2.已知隨機變量．若P(X>2)＝0.023，則P(－2≤X≤2)＝() A．0.477 B．0.628 C．0.954 D．0.9773.設隨機變量X服從正態(tài)分布，若，則等于() A． B. C. D.4.己知正態(tài)分布落在區(qū)間內的概率為0.5，那么相應的正態(tài)曲線在x＝________時達到最高點．

【鞏固練習——提高篇】1.設隨機變量，則Y＝3X－1服從的總體分布可記為________．2.已知一個正態(tài)分布密度曲線對應的函數(shù)是一個偶函數(shù)，且該函數(shù)的最大值為.(1)求該正態(tài)分布密度曲線對應的函數(shù)解析式；(2)求正態(tài)總體在(－4,4]上的概率．3、某糖廠用自動打包機打包，每包重量X(kg)服從正態(tài)分布．一公司從該糖廠進貨1500包，試估計重量在下列范圍內的糖包數(shù)量．(1)(100－1.2,100＋1.2)；(2)(100－3×1.2,100＋3×1.2)．

4．為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，檢驗員每天從該生產(chǎn)線上隨機抽取16個零件，并測量其尺寸(單位：cm)．根據(jù)長期生產(chǎn)經(jīng)驗，可以認為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布．(1)假設生產(chǎn)狀態(tài)正常，記表示一天內抽取的16個零件中其尺寸在之外的零件數(shù)，求及的數(shù)學期望；(2)一天內抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在之外的零件，就認為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當天的生產(chǎn)過程進行檢查．(ⅰ)試說明上述監(jiān)控生產(chǎn)過程方法的合理性；(ⅱ)下面是檢驗員在一天內抽取的16個零件的尺寸：9．9510．129．969．9610．019．929．9810．0410．269．9110．1310．029．2210．0