華南理工大學(xué)網(wǎng)絡(luò)教育學(xué)院《高等數(shù)學(xué)（上）》輔導(dǎo)一、求函數(shù)值例題：1、若f(x)x2，(x)ex，則f((x))．解：f((x))f(ex)ee2x2x2、若f(x1)2x1，則f(x)解：令x1t，則xt1所以f(t)2(t1)12t3即f(x)2x3．二、常見的等價無窮小及等價無窮小替換原理常見的等價無窮?。簒0時,x~sinx~tanx~arcsinx~arctanxx~ln(1x)~ex-1111cosx~x2,1x1~x22第1頁共23頁無窮小替換原理：在求極限過程中，無窮小的因子可以用相應(yīng)的等價無窮小替換例題：1、limsin33xx2x0解：當(dāng)x0，sin3x~3x，原式=lim(3x)3lim27x0x2x0x0sin3x2、limx0x解：原式=lim3xx03x1-cosx3、lim？x0x2解：當(dāng)x0，1-cos~1xx221x21原式=lim2x0x22第2頁共23頁4、limln(13x)？xx0解：當(dāng)x0，ln(1+3x)~3x原式=.lim3x3.xx05、lime2x1？xx0解：當(dāng)x0，e2x1~2x原式=.lim2x2.xx0三、多項(xiàng)式之比的極限xx3x2x0，limx211，lim3x2xxlim3xx32xx四、導(dǎo)數(shù)的幾何意義（填空題）f(x)：表示曲線yf(x)在點(diǎn)M(x,f(x))處的切線斜率000曲線..yf(x)..在點(diǎn)M(x,f(x))處的切線方程為：00yf(x)f(x)(xx)000曲線yf(x)在點(diǎn)M(x,f(x))處的法線方程為：00第3頁共23頁1f(x)yf(x)0(xx)00例題：4x1、曲線y4x在點(diǎn)M(2,3)的切線的斜率．(4x)'(4x)(4x)(4x)解：yx2(4x)2x28(4x)22x22、曲線ycosx在點(diǎn)M(0,1)處的切線方程．ex(cosx)'excosx(ex)解：x0y(ex)2x0sinxexcosxex(e)x21x0cosx所以曲線y在點(diǎn)M(0,1)處的切線方程為：exy1(x0)，即xy1013、曲線y在點(diǎn)M(1,1)處的切線方程．x23解：y2235x33x1x1第4頁共23頁所以曲線y1在點(diǎn)處的切線方程為：M(1,1)x23y12(x1)3，即2x3y50五、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算、復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、微分復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t：yf(u),ug(x)yf[g(x)]:dydydudxdudx或y(x)f(u)g(x).微分：dyf(x)dx例題：1、設(shè)yx21，則y'？解：y'1x1x1x1222x2122、設(shè)ysinx2，則y'？解：y'cosx2x2xcosx'223、設(shè)y2sinx，則dy？解：y'2sinxln2sinx2sinxcosxln2'第5頁共23頁則dy2cosxln2dxsinx4、設(shè)ysinex，則？dy解：y'cosexeexcosex'x所以dyexcosexdx5、設(shè)yex2，則dy？（答案：2xex2dx）六、運(yùn)用導(dǎo)數(shù)判定單調(diào)性、求極值例題：1、求yxlnx的單調(diào)區(qū)間和極值．解：定義域x(0,)令ylnx10，求出駐點(diǎn)xe1(e1,)x(0,e1)e1y-0+y單調(diào)減極小值點(diǎn)單調(diào)增函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,e1]，單調(diào)遞增區(qū)間為(e1,)11．極小值為y()ee第6頁共23頁2、求yxex的單調(diào)區(qū)間和極值．解：定義域x(,)0，求出駐點(diǎn)x1令yexxe(1x)exx(,1)+(1,)-1xy0y單調(diào)增極大值點(diǎn)單調(diào)減，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為[1,)單調(diào)遞增區(qū)間為(,1)，極大值為y(1)e1．3、求函數(shù).f(x)ex2.的單調(diào)區(qū)間和極值．解：定義域x(,)令f(x)2xex2，得x0(,0)(0,)-0xy+0y單調(diào)增極大值點(diǎn)單調(diào)減單調(diào)遞增區(qū)間：(,0)，單調(diào)遞減區(qū)間：(0,)，極大值為f(0)1．4、求函數(shù)f(x)1x3x的極值．答案：極小值為y(1)323，第7頁共23頁極大值為y(1)23七、隱函數(shù)求導(dǎo)例題：1、求由方程exsinyxy0所確定的隱函數(shù)yy(x)的導(dǎo)2數(shù)dy．dx解：方程兩邊關(guān)于求導(dǎo)，得：xexcosyy(y2xyy)02y2exycosy2xy即2、求由方程ycos(xy)所確定的隱函數(shù)yy(x)的導(dǎo)數(shù)dy．dx解：方程兩邊同時關(guān)于x求導(dǎo)，得：ysin(xy)(1y)即y1sin(sin(xxyy))第8頁共23頁3、求由方程ysin(xy)所確定的隱函數(shù)yy(x)的導(dǎo)數(shù)dydxdycos(xy)．答案：dx1cos(xy)4、求由方程xylnxlny0所確定的隱函數(shù)yy(x)的導(dǎo)dydyydxx數(shù)．答案：dx八、洛必達(dá)法則求極限，注意結(jié)合等價無窮小替換原理例題：111、求極限limx0ex1sinxsinx(ex1)解：原式limx0(ex1)sinx當(dāng)x0時，sinx~x,ex1~x.limsinx(ex1).x2x0limcosxex2xx0limsinxex2x012第9頁共23頁xsinx0tan3x02、求極限limx0xsinxx3解：原式=當(dāng)x0時，tanx~xlimx0lim1cosx3x2x01x21=lim2當(dāng)x0時，1cosx~x2x03x2216exx100（答案：1）3、limx0求x22九、原函數(shù)、不定積分的概念及其性質(zhì)知識點(diǎn)：設(shè)F(x)f(x)，則稱F(x)是f(x)的一個原函數(shù)，F(xiàn)(x)C是f(x)的全體原函數(shù)，且有：f(x)dxF(x)C例題：第10頁共23頁1、()是函數(shù)3xx3的原函數(shù)．B．1x43x2D．1x41x242A．3x23C．x4x242解：因?yàn)?x43x3xx3242所以1x4432x2是3xx3的原函數(shù)．2、()是函數(shù)xcosx2的原函數(shù)．C．12sinx2D．1sinx22A．2sinx2B．2sinx2解：因?yàn)閟inx1(cosx2)2xxcosx21222所以1是xcosx2的原函數(shù)．sinx223、x是()的原函數(shù)1A．12xB．C．lnxD．x32x1x解：因?yàn)?x1所以x是的原函數(shù)．2x第11頁共23頁4、()是函數(shù)1的原函數(shù)．xA．1B．1D．ln|x|C．lnxxx22解：因?yàn)閘n|x|1x所以ln|x|是1的原函數(shù)．x十、湊微分法求不定積分（或定積分）簡單湊微分問題：，，,edxsin4xdxcos5xdxlnxdlnx2x一般的湊微分問題：dx，x23x2dx，x1x2sinx1cosxdx，lnxdxx例題：1、xdx1x2解：注意到(1x)2x2dx2xC1原式=11參考公式d1x21x22x11xC22第12頁共23頁2、x23x2dx解：注意到(23x)6x2原式=1623x2d(23x2)參考公式xdxx2C233=19(2-3x)C233、sinxdx1cosx解：注意到(1cosx)sinx參考公式1dxln|x|Cx11cosxd(1cosx)原式==ln|1cosx|C4、edx5x解：原式=e5xd(5x)參考公式exdxeCx=e5xC5、cos5xdx第13頁共23頁參考公式cosxdxsinxC解：原式1cos5xd(5x)51sin5xC56、sin3xdx參考公式sinxdxcosxC解：原式1sin3xd(3x)31cos3xC3十一、不定積分的第二類換元法——去根號（或定積分）知識點(diǎn)：利用換元直接去掉根號：ex1，ex1，x，1x，1x等例題：1、求不定積分1dxex1解：令ex1t，則ext21xln(t21)2tt21dxdtdt原式=dt212ttt211t21第14頁共23頁11dtt1dtt1ln|t1|ln|t1|Cln|ex11|ln|ex11|C12、dx．01+x4解：令xt，則xt2dx2tdt當(dāng)x0時，t0；當(dāng)x4時，t2原式=2tdt22t11dt1201+t1+t0122(dtdt)2001+t2(2ln|t1|)202(2ln3)3、1xx1dx0解：令x1t，則xt21，dx2tdt當(dāng)x0時，t1；當(dāng)x1時，t2原積分2(t21)t2tdt1第15頁共23頁22(t4t2)dt11155322tt314(21)15十二、不定積分的分部積分法（或定積分）諸如xcosxdx，，xedxxexxsinxdx，dx，xxlnxdx，可采用分部積分法分部積分公式：u(x)dv(x)u(x)v(x)v(x)du(x)例題：1、求不定積分xsinxdx．xsinxdxxd(cosx)解xcosx(cosx)dxxcosxcosxdxxcosxsinxC2、求不定積分xexdx解xexdexxdx第16頁共23頁xexexdxxexexC3、求不定積分xlnxdx1xdxln()解lnxxdx221x2lnxx2dlnx1221x2lnxxdx1221x2lnx1x2C24十三、定積分的概念及其性質(zhì)知識點(diǎn)：定積分的幾何意義，奇偶對稱性等例題：1、定積分xedx等于a3x2．a(chǎn)解：因?yàn)閤3ex2是的奇函數(shù)，所以原式=0x2、定積分x2sin3xdx等于．a(chǎn)ax解：因?yàn)閤2sin3x是的奇函數(shù)，所以原式=0第17頁共23頁x2sinx1x23、定積分．dx等于xsinx2解：因?yàn)槭堑钠婧瘮?shù)，所以原式=0x1x2十四、變上限積分函數(shù)求導(dǎo)變上限積分函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式'(x)()()'(x)ftdtfxaF(x)(C)x3f(t)dt,則F'(x)______aF(x)f(x3)(x3)'解'＝3x2f(x3)例題：上連續(xù)，F(xiàn)(x)41、設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]x3f(t)dtF(x)，則a（C）．A．f(x)B．f(x3)C．3x2f(x3)D．3x2f(x)2、設(shè)f(x)x2arctantdt，則f(x)2xarctanx2．13、設(shè)f(x)xsint3dt，則f(x)sinx3．0第18頁共23頁十五、湊微分法求定積分（或不定積分）思想與不定積分類似例題：31、1xx1dx20(x1)3x解：注意到32123原式xdx1(1)參考公式xdxx2C133330=2(x31)31902(221)9十六、定積分的第二類換元法——去根號（或不定積分，思想與不定積分類似例題：11、dx．1+x40解：令xt，則xt2dx2tdt當(dāng)x0時，t0；當(dāng)x4時，t22t1112tdt22dt1+t原式=1+t00第19頁共23頁122(dtdt)2001+t2(2ln|t1|)202(2ln3)2、1xx1dx0解：令x1t，則xt21，dx2tdt當(dāng)x0時，t1；當(dāng)x1時，t2原積分2(t21)t2tdt122(t4t2)dt11155322t