實變函數(shù)測試題與答案73504_第1頁
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PAGE9實變函數(shù)測試題與答案73504實變函數(shù)測試題一，填空題設(shè),,則.,因為存在兩個集合之間的一一映射為.設(shè)是中函數(shù)的圖形上的點所組成的集合，則，.若集合滿足,則為集.若是直線上開集的一個構(gòu)成區(qū)間,則滿足:,.設(shè)使閉區(qū)間中的全體無理數(shù)集,則.若,則說在上.設(shè),,若,則稱是的聚點.設(shè)是上幾乎處處有限的可測函數(shù)列,是上幾乎處處有限的可測函數(shù),若,有,則稱在上依測度收斂于.設(shè),,則的子列,使得.二,判斷題.正確的證明,錯誤的舉反例.若可測,且,則.設(shè)為點集,,則是的外點.點集的閉集.任意多個閉集的并集是閉集.若,滿足,則為無限集合.三,計算證明題1.證明:2.設(shè)是空間中以有理點(即坐標(biāo)都是有理數(shù))為中心,有理數(shù)為半徑的球的全體,證明為可數(shù)集.3.設(shè),且為可測集,.根據(jù)題意,若有,證明是可測集.設(shè)是集,.求.設(shè)函數(shù)在集中點上取值為,而在的余集中長為的構(gòu)成區(qū)間上取值為,,求.求極限:.實變函數(shù)試題解答一填空題.;.閉集..幾乎處處收斂于或收斂于.對有.于.二判斷題.例如,,,則且,但..例如,,但0不是的外點..由于..例如,在中,,是一系列的閉集,但是不是閉集..因為若為有界集合,則存在有限區(qū)間,,使得,則于.三,計算證明題.1.證明如下:中任何一個元素可以由球心,半徑為唯一確定,,,跑遍所有的正有理數(shù),跑遍所有的有理數(shù).因為有理數(shù)集于正有理數(shù)集為可數(shù)集都是可數(shù)集,故為可數(shù)集.令,則且為可測集,于是對于,都有,故,令,得到,故可測.從而可測.已知,令,則.將積分區(qū)間分為兩兩不相交的集合:,,,其中為集,是的余集中一切長為的構(gòu)成區(qū)間(共有個)之并.由積分的可數(shù)可加性,并且注意到題中的,可得因為在上連續(xù),存在且與的值相等.易知由于在

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