第四章實(shí)數(shù)的連續(xù)性前面內(nèi)容已經(jīng)承認(rèn)了數(shù)列極限的單調(diào)有界定理、柯西收斂準(zhǔn)則，但并沒有給出證明。單調(diào)有界定理的幾何意義是容易理解的。事實(shí)上，這兩個(gè)定理是等價(jià)的，它們是公理，是整個(gè)數(shù)學(xué)分析建立的基礎(chǔ)。本章介紹了與它們等價(jià)的閉區(qū)間套定理、有限覆蓋定理、聚點(diǎn)定理、致密性定理、確界定理，這些定理與單調(diào)有界定理、柯西收斂準(zhǔn)則統(tǒng)稱為實(shí)數(shù)的完備性(或連續(xù)性)定理；還介紹了一致連續(xù)概念，并證明了閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)的有界性、最值性、零點(diǎn)定理和一致連續(xù)性。其中確界概念和一致連續(xù)的概念值得注意。上(下)確界是最大(小)值概念的推廣。最值要求屬于集合本身，最值必為確界，反之不然；函數(shù)在一集合上一致連續(xù)必連續(xù)，反之不然。典型例題例1設(shè)f(x),g(x)在集合X上有界，證明inf[f(x)+g(x)]<inff(x)+supg(x)。xeX xeX xeX證 inf[f(x)+g(x)]<f(x)+g(x)xeX<f(x)+supg(x) (xeX)xeX由g(x)在X上有界知：supg(x)<s，從而xeXinf[f(x)+g(x)]-supg(x)<f(x) (xeX)TOC\o"1-5"\h\zxeX xeX由此得： inf[f(x)+g(x)]-supg(x)<inff(x)xeX xeX xeX命題得證。例2設(shè)f(x)在(-?+s)連續(xù)，且存在A,BeR,使lm()v二伽(fx二B,xT-8 xT+8證明：f(x)在(-?+8)—致連續(xù)。證 Vs>0，由limfx(二A ,flximB知:存在x<0,x>0使12

f點(diǎn))-f(n)|<￡(v^,n<x或vg,n>x),由fgC[x-1,x+1]知：存在1>s>0,1212使lf(g)一f(n)|<8(vg,ng[x1-1,x2+1]:g-n<3),對(duì)vg,ng(s, ):g-n|<3,⑴當(dāng)g,n<?；?，n>x2時(shí)|f(g)-f(n)|<8⑵當(dāng)g或ng[x,x]時(shí)，有g(shù),ne[x-1,x+1],從而f(g)-f(n)|<8。綜上，f(x)1212在(-2,+8)—致連續(xù)。例3設(shè)f(x)定義在[a,b]上,Vxg[a,b],極限limf(x)都存在，證明f(x)在0 xTx0[a,b]有界。證由函數(shù)極限的局部有界性，Vxg[a,b]mU(x,3)與M>0，使對(duì)xxVtgU(x3D[a,b]有|f(t)|<M。定義H={u(x,3)|xg[a,b]}，則H是[a,b]x x x的一個(gè)開覆蓋，于是存在［a,b］的有限覆蓋H=,H=,3)11<i<n}uHixi取M=maxM，則|f(x)<M(xg[a,b])。1<i<nxi例4用確界定理證明單調(diào)有界定理。證不妨設(shè)數(shù)列｛x｝單調(diào)遞增有上界，由確界定理知：｛x｝存在上確界x。因此,nn對(duì)Vs>0,3NgN,使x-8<x，從而對(duì)Vn>N，有x-8<x<x<x，即N Nnlimx=x。nxs例5用柯西收斂準(zhǔn)則證明確界定理。證設(shè)Eu□，E有上界（下界），由確界定義，容易知道其唯一性。下面僅證上確界的存在性，下確界的存在性類似可證。Va>0，存在整數(shù)K，滿足Ka是E的上界，但（K-1私不是E的上界,

a a a記九=Ka。設(shè)｛a｝是一列收斂于0的正數(shù)列，則Va，對(duì)應(yīng)一個(gè)九a，使九aaa n n n n

是E的上界，但九-a不是E的上界。十〉0，存在Ne□,Vm,n>N，有a nna,a<8。由確界定理知：存在a",a"eE，使X>a">X-a，

nm a amnm九>a">九>a">X-a。于是九一九<maxXa,a anmnaanmX=limX，下面證明X是E的上界。nm<￡,從而匕｝收斂，記

ana=nntwX=X知:antwnVaeE，有a=nntwX=X知:antwnnV8>0,3a，使a<8,X-8<X。但對(duì)X，存在aeE，使a>X-a，從而n n a a ann n na>X-a>X-28。于是X是E的上確界。ann注：由例4，例5結(jié)合教材上的內(nèi)容知：實(shí)數(shù)連續(xù)性定理是相互等價(jià)的。例6設(shè)f(x)在［a,b］連續(xù)，分別用確界定理、閉區(qū)間套定理、柯西收斂準(zhǔn)則、致密性定理、聚點(diǎn)定理證明f在［a,b］有界。證(一)用確界定理令S二｛xIf在［a,x］有界，xe［a,b］｝，則由f在a點(diǎn)左連續(xù)知S非空，由確界定理知，S有上確界，記作g?，F(xiàn)用反證法證明g=b。不然g<b，由連續(xù)函數(shù)的局部有界定理知：存在8>0，使f在U(g,8)內(nèi)有界，從而存在x>g，使00xeS，與g是上確界矛盾。下證f在［a,b］有界。由f在b點(diǎn)右連續(xù)，存在8>0，0使f在［b-8,b］上有界，再由b=supS知f在［a,b--］上有界。于是f在［a,b］上2有界。用閉區(qū)間套定理用反證法，設(shè)f在［a,b］上無界，二等分區(qū)間［a,b］，則存在一子區(qū)間［a,b］，使f在［a,b］無界。再二等分［a,b］，則同樣可得一子區(qū)間［a,b］，使f在［a,b］11112222無界，…如此無限下去得一閉區(qū)間套｛［a,b］｝，f在［a,b］無界。注意到nn nnb-ab一a= t0(ntw)，存在ge［a,b］(ne□)。由f在g連續(xù)知：存nn 2n nn +在8>0，使f在U(g,8)內(nèi)有界，而當(dāng)n充分大時(shí)，［a,b］uU(g,8)，這與f在nn［a,b］無界矛盾。nn用柯西收斂準(zhǔn)則用反證法。設(shè)f(x)在［a,b］上無界，則存在一數(shù)列｛x｝u［a,b］,滿足nlimfX卜。二等分區(qū)間［a,b］，則存在一子區(qū)間［a,b］，使f在［a,b］無界,n 11 11取xG［a,b］滿足If(x)>1；再等分區(qū)間［a,b］，則存在一子區(qū)間［a,b］，使f在11111122［a,b］無界，取xg［a,b］滿足|f(x)|>2；…如此下去得到一子區(qū)間列｛［a,b］｝2 2 222 2 nnTOC\o"1-5"\h\z和一數(shù)列｛x｝滿足xg［a,b］，|f(x)>n。顯然對(duì)Vn>m,x,xG［a,b］，再n n nn n nm mm注意到b-a=b_a，我們有x-x|<-_a。由此得｛x｝是［a,b］上的柯西列，mm2m nm 2m n故存在xg［a,b］，使Imx=x。由f的連續(xù)性知：limf(x)=f(x)，與|f(x)>nn n nnT8 ns(ng□)矛盾。+用致密性定理用反證法。設(shè)f(x)在［a,b］無界，則存在一數(shù)列｛x｝u［a,b］，使f(x)|>n。n n應(yīng)用致密性定理知：｛x｝存在子列(｝收斂于［a,b］中的一點(diǎn)x。再由f在x的nnk連續(xù)性得：limf(x)二f(x)，與|f(x)|>n(ng□)矛盾。k*nk n +用聚點(diǎn)定理用反證法。設(shè)f(x)在［a,b］無界，則存在叮g［a,b］，使|f(x)>1。由f的無界性可知：存在x?g［a,b］，使|f(x^)>max｛f(x】)|,2｝，…如此無限下去得到一數(shù)列｛x｝，滿足|f(x)>m｛fx|n｝。)由此知|f(x)>n，n n+1 n nx豐x(nzm,n,mg□)。于是｛x｝是一無限集，應(yīng)用聚點(diǎn)定理知：｛x｝至少有n m + n n一聚點(diǎn)xg［a,b］。由f的連續(xù)性知：存在6>0，使f(x)在U(x,5)Q［a,b］中有00界。再由x是聚點(diǎn)知：u(x0,5)Q［a,b］中有無限多個(gè)｛x｝的項(xiàng)，注意到|f(x)|>n(ng□)，知f在U(x,5)Q［a,b］上無界，產(chǎn)生矛盾。+0注：應(yīng)用有限覆蓋定理給出的證明見教材§4.2。練習(xí)題1設(shè)f(x),g(x)在集合x上有界，證明supf(x)+infg(x)<sup[f(x)+g(x)]<supf(x