第三節(jié)隨機(jī)的概 在相同的條件下，大量重復(fù)進(jìn)行同一試驗(yàn)時(shí)，隨機(jī)A發(fā)生的頻率＝n會(huì)在某個(gè)常數(shù)附近擺動(dòng)，則把這個(gè)常數(shù)記作P(A)，稱 A的概率，A如果A發(fā)生，則B一定發(fā)生，這時(shí)稱B包含A(或稱A包含于事B?A(若B?A，且A?B，則稱A與B等若某發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)A或B發(fā)生，則稱此為A與B的并(或和A∪B(若某發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)A發(fā)生且發(fā)生，則稱此為A與B的交事A∩B(若A∩B為不可能，則稱AB若A∩B為不可能，A∪B為必然那么稱A與B互為對(duì)A∩B＝?＝U(U為全集任何A的概率都在[0，1]內(nèi)，即0≤P(A)≤1，不可能的概率0，必然Ω的概率為如果A，B互斥，則A與它的對(duì)立A的概率滿足P(A)＋P(A)＝1．[常用結(jié)論如果A1，A2，…，An兩兩互斥，則稱這n個(gè)互斥，其概率有如一、思考辨析((1)發(fā)生的頻率與概率是相同的 在大量重復(fù)試驗(yàn)中，概率是頻率的穩(wěn)定值 (1)×(2)√(3)× 二、改一個(gè)人打靶時(shí)連續(xù)射擊兩次，“至少有一次中靶”的對(duì)立 [“至少有一次中靶”的對(duì)立是“兩次都不中靶20234542則樣本數(shù)據(jù)落在區(qū)間[10，40)的頻率為 [由表知[10，40)所以樣本數(shù)據(jù)落在區(qū)間[10，40)的頻率為9如果從不包括大、的52張牌中隨機(jī)抽取一張，取到黑桃的 率是4，取到梅花的概率是4，則取到紅色牌的概率 [P＝1－1＋1 1234這一地區(qū)男嬰出生的概率約 0．517 [男嬰出生的頻率依次約是：0.5200，0.5173，0.5173，0.5170.5173，0.517考點(diǎn) 關(guān)系的判判斷互斥、對(duì)立的2種方法②A的對(duì)立所含的結(jié)果組成的集合，是全集中由A所含的結(jié)1.從裝有兩個(gè)白球和兩個(gè)黃球的口袋中任取2個(gè)球，以下給出了四 111111其中互斥而不對(duì)立的共有 A．0 B．1C．2 D．3 [①中“1個(gè)白球”與“1個(gè)黃球”可以同時(shí)發(fā)生，有1個(gè)白球和1個(gè)黃球，①中的兩個(gè)不是互斥．②中“至少有1個(gè)球”說(shuō)明可以是1個(gè)白球和1個(gè)黃球或2個(gè)黃球，則兩個(gè)不互斥．③“1個(gè)白球”與“1個(gè)黃球”，11個(gè)黃球，因此件是互斥，但不是對(duì)立，故選B.]2．在5 卡中，有3張移動(dòng)卡和2張卡，從中任取2張，“2是移動(dòng)卡”的概率是3，那么概率是7的是( ”“卡”兩個(gè)，它是“2是移動(dòng)卡”的對(duì)立判斷含有“至多、至少”等的關(guān)系，可先借助枚舉法分考點(diǎn) 隨機(jī)的頻率與概1.概率與頻率的關(guān)系2．隨機(jī)概率的求(2017·卷Ⅲ)某超市計(jì)劃按月訂購(gòu)一種酸奶，每天進(jìn)貨量相同，462元的價(jià)位：℃)25500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間[20，25)30020200瓶．為了274(1)300(2)Y(單位：元)．當(dāng)六月份這種酸奶450YY大于零的概率．[解 (1)這種酸奶一天的需求量不超過(guò)300瓶，當(dāng)且僅當(dāng)最高氣溫低25，由表格數(shù)據(jù)知，25300(2)450瓶時(shí)

＝0.6，25，若最高氣溫位于區(qū)間[20，25)，20，所以，YY20，由表格數(shù)據(jù)知，20的頻率 ＝0.8，因此Y大于零的概率的估計(jì)值為Y與氣溫變化的關(guān)系[教師備選例題A，B兩種移1000100人，發(fā)現(xiàn)A，B5AB的20002000273241A，BB12000B的學(xué)生中隨機(jī)1人，發(fā)現(xiàn)他本月的支付金額大于2000元．結(jié)合(2)的結(jié)果，B2000元的人數(shù)有變化？說(shuō)[解 (1)由題知，樣本中僅使用A的學(xué)生有27＋3＝30人B24＋1＝25人A，B5人A，B100－30－25－5＝40人．A，B兩種支付方式都使用的人數(shù)為40記C為“從樣本僅使用B的學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，該學(xué)生上個(gè)月2000元”，P(C)＝1記E為“從樣本僅使用B的學(xué)生中隨機(jī)1人，該學(xué)生本月的支付金額大于2000元”．B的學(xué)生中，2000元的人數(shù)沒(méi)有變則由(2)知1：可以認(rèn)為有變化．一旦發(fā)生，2000元的人數(shù)發(fā)生了變化，2：無(wú)法確定有沒(méi)有變化．E是隨機(jī)，P(E)比較小，一般不容易發(fā)生，但還是有可能發(fā)生的所以無(wú)法確定有沒(méi)有變化1.我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)書(shū)九章》有“米谷粒分”題：糧倉(cāng)開(kāi)倉(cāng)收1534254粒內(nèi)夾谷28粒，則這批米內(nèi)夾谷約為 A．134 B．169C．338 D．1365 28

×1534≈169(石2．(2016·卷Ⅱ)某險(xiǎn)種的基本保費(fèi)為a(單位：元)，繼續(xù)該險(xiǎn)種的01234保a隨機(jī)了該險(xiǎn)種的200名續(xù)保人在一年內(nèi)的出險(xiǎn)情況，得到如下統(tǒng)01234記A為：“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)不高于基本保費(fèi)”，求P(A)的估記B為：“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)但不高于基本保費(fèi)160%P(B)的估計(jì)值；[解 (1)A發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)小于2.由所給數(shù)據(jù)知，一2的頻率為200＝0.55，P(A)(2)B發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)大于1且小于4.由所給數(shù)據(jù)知，14的頻率為200＝0.3，P(B)(3)a的200名續(xù)保人的平均保費(fèi)為0.85a×0.30＋a×0.25＋1.25a×0.15＋1.5a×0.15＋1.75a×0.10＋2a×0.05＝1.1925a.因此，1.192考點(diǎn)3 復(fù)雜的概率的2種求法率求和計(jì)算間接求法，先求此的對(duì)立的概率，再用P(A)＝1－P(A)求(1)(2018·卷Ⅲ)若某群體中的成員只用現(xiàn)金支付的概率為0.45，既用現(xiàn)金支付也用非現(xiàn)金支付的概率為0.15，則不用現(xiàn)金支付的概率為( (2)某商場(chǎng)有獎(jiǎng)銷售中，購(gòu)滿100元商品得1券，多購(gòu)多得.1000券為一個(gè)單位，設(shè)特等獎(jiǎng)1個(gè)，一等獎(jiǎng)10個(gè)，二等獎(jiǎng)50個(gè)．設(shè)1券中特等獎(jiǎng)、一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)的分別為A，B，C，求：②1券的概率③1券不中特等獎(jiǎng)且不中一等獎(jiǎng)的概率 [(2)[解 ①P(A)＝ ，P(B)＝10＝1，P(C)＝50＝11

1

1 A，B，C的概率分別為 1 1 1 ②1券包含中特等獎(jiǎng)、一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)．設(shè)“1券”這個(gè)為M，則M＝A∪B∪C.∵A，B，C兩兩互斥 1 ＝11故 券 概率約為611③設(shè)“1券不中特等獎(jiǎng)且不中一等獎(jiǎng)”為N，則N與“1 ＋1＝9891 11故 券不中特等獎(jiǎng)且不中一等獎(jiǎng)的概率為9891求解本題的關(guān)鍵是正確判斷各之間的關(guān)系，以及把所求用[教師備選例題125個(gè)紅球，4個(gè)黑球，2個(gè)白球，1個(gè)綠球．從1球，求：(1)1(2)1[解 記A1＝{任取1球?yàn)榧t球}，A2＝{任取1球?yàn)楹谇駻3＝{1球?yàn)榘浊騷，A4＝{1球?yàn)榫G球則P(A1)＝5，P(A2)＝4 P(A3)＝2 P(A4)＝1，根據(jù)題意知， 件A1，A2，A3，A4彼此互斥，由互斥的概率，(1)1P(A1＋A2)＝P(A1)＋P(A2)＝5＋4 (2)1＝5＋4＋2 法二：(利用對(duì)立求概率)(1)由法一知，取出1球?yàn)榧t球或黑球的對(duì)立為取出1球?yàn)榘浊蚧蚓G球，即A1＋A2的對(duì)立為A3＋A4，所以取出1球P(A1＋A2)＝1－P(A3＋A4)＝1－P(A3)－P(A4)＝1－2－ ＝3＝(2)因?yàn)锳1＋A2＋A3的對(duì)立為A4，所以1 經(jīng)統(tǒng)計(jì)，在某儲(chǔ)蓄所一個(gè)營(yíng)業(yè)窗口等候的人數(shù)相應(yīng)的概率如下：01234求：(1)2