課程研究項目圓柱坐標式機器人運動學分析學生姓名：課程名稱：機器人學指導教師：2017年12月目錄1導論 -3-1導論1.1研究背景機器人是二十世紀人類最偉大的發(fā)明之一，人類對于機器人的研究由來已久。上世紀70年代之后，計算機技術(shù)、控制技術(shù)、傳感技術(shù)和人工智能技術(shù)迅速發(fā)展，機器人技術(shù)也隨之進入高速發(fā)展階段，成為綜合了計算機、控制論、機構(gòu)學、信息和傳感技術(shù)、人工智能、仿生學等多門學科而形成的高新技術(shù)。其本質(zhì)是感知、決策、行動和交互四大技術(shù)的綜合，是當代研究十分活躍，應用日益廣泛的領(lǐng)域。機器人應用水平是一個國家工業(yè)自動化水平的重要標志。工業(yè)機器人是在自動化生產(chǎn)過程中使用的一種具有抓取和移動工件功能的自動化裝置，它是在機械化、自動化生產(chǎn)過程中發(fā)展起來的一種新型裝置。近年來，隨著電子技術(shù)特別是電子計算機的廣泛應用，機器人的研制和生產(chǎn)已成為高技術(shù)領(lǐng)域內(nèi)迅速發(fā)展起來的一門新興技術(shù)，它更加促進了機械手的發(fā)展，使得機械手能更好地實現(xiàn)與機械化和自動化有機結(jié)合。機械手能代替人類完成危險、重復枯燥的工作，減輕人類勞動強度，提高勞動生產(chǎn)率。機械手越來越廣泛地得到了應用，在機械行業(yè)中它可用于零部件組裝

，加工工件的搬運、裝卸，特別是在自動化數(shù)控機床、組合機床上使用更普遍。目前，機械手已發(fā)展成為柔性制造系統(tǒng)fms和柔性制造單元fmc中一個重要組成部分。把機床設(shè)備和機械手共同構(gòu)成一個柔性加工系統(tǒng)或柔性制造單元，它適應于中、小批量生產(chǎn)，可以節(jié)省龐大的工件輸送裝置，結(jié)構(gòu)緊湊，而且適應性很強。當工件變更時，柔性生產(chǎn)系統(tǒng)很容易改變，有利于企業(yè)不斷更新適銷對路的品種，提高產(chǎn)品質(zhì)量，更好地適應市場競爭的需要。我國工業(yè)機器人研究和應用開始于20世紀70年代。近些年來在中國制造2025的推動下，通過研制、生產(chǎn)、應用等多個層面的不斷探索，在技術(shù)攻關(guān)和設(shè)計水平上有了長足的進步。總的來看，已經(jīng)掌握了工業(yè)機器人的設(shè)計、制造、應用過程中的多項關(guān)鍵技術(shù)，能夠生產(chǎn)出部分機器人關(guān)鍵元器件，開發(fā)出弧焊、點焊、碼垛、裝配、搬運、注塑、沖壓、噴漆等工業(yè)機器人。一些相關(guān)科研機構(gòu)和企業(yè)已掌握了工業(yè)機器人操作機的優(yōu)化設(shè)計制造技術(shù)；工業(yè)機器人控制、驅(qū)動系統(tǒng)的硬件設(shè)計技術(shù)；機器人軟件的設(shè)計和編程技術(shù)、運動學和軌跡規(guī)劃技術(shù)等，某些關(guān)鍵技術(shù)已達到或接近了國際先進水平，中國工業(yè)機器人在世界工業(yè)機器人領(lǐng)域已占有一席之地盡管過去5年我國工業(yè)機器人銷量增長迅速，但從使用密度(每萬名工人擁有機器人數(shù))和應用比例指標看，我國與國外成熟市場相比仍處于較低水平。國家統(tǒng)計局數(shù)據(jù)顯示，2017年5月，中國工業(yè)機器人產(chǎn)量為10057(臺/套)，同比增速達47%;今年前五個月，工業(yè)機器人產(chǎn)量累計達44360(臺/套)，同比增長50.4%。2016年，中國工業(yè)機器人產(chǎn)量達7.24萬臺，同比增長34.3%，遠高于14%的世界平均增速。所以學習掌握并發(fā)展機器人技術(shù)是我國工業(yè)發(fā)展的一大趨勢，圓柱坐標式機器人作為最早發(fā)展起來的一類機器人，有著良好的技術(shù)基礎(chǔ)，它結(jié)構(gòu)簡單，應用廣泛，在此作為研究對象對其運動進行分析。圖1.1圓柱坐標式機器人1.2主要研究內(nèi)容通過查閱國內(nèi)外關(guān)于串聯(lián)機器人正反解分析方法文獻，通過比較分析，找到一種適合描述圓柱坐標式機器人末端姿態(tài)的歐拉角方法；建立機器人機構(gòu)的連桿坐標系并列出連桿參數(shù)，利用Maple或其他數(shù)學軟件減小矩陣相乘的計算量，并求解機器人機構(gòu)的位置正解和求出工作空間；求解機器人機構(gòu)的位置反解，深入研究位置反解的多解性與唯一性問題；基于Solidworks建立圓柱坐標式機器人的三維實體模型，并導入Adams軟件中建立其仿真模型，實現(xiàn)運動學仿真，從而對上述運動學分析的正確性進行驗證。圖1.2報告結(jié)構(gòu)圖

2圓柱坐標式機器人的位置分析2.1機器人位置分析綜述機器人運動學是研究機器人學的一個重要領(lǐng)域，是機器人設(shè)計和控制的基礎(chǔ)。機器人運動學的重點是研究末端的位姿和運動，其中求解機器人位置正反解是機器人設(shè)計中重要且基礎(chǔ)的內(nèi)容。運動學正解問題是根據(jù)機器人的連桿參數(shù)和各關(guān)節(jié)的轉(zhuǎn)角或位移推算出機器人末端執(zhí)行器的位姿；而運動學反解問題則恰好相反，是已知機器人末端位姿計算出各個關(guān)節(jié)各自的轉(zhuǎn)角或位移。機器人運動學的正解問題是，給定連桿參數(shù)和各個關(guān)節(jié)的變量，通過機器人運動方程得到機器人末端執(zhí)行器的位姿，它的解是唯一的，所以正解問題求解起來相對簡單。但是實際上往往需要求解機器人學的反解問題，即已知機械臂的末端位姿，求解機器人各個關(guān)節(jié)變量。而機器人逆運動學往往具有多重解，也可能不存在解，另外，對于運動學逆問題來說，僅僅用某種方法求得其解是不夠的。因此，機器人逆運動學比正運動學問題復雜得多，并且隨著機器人自由度的增加，對于逆運動學問題的求解越來越復雜。由于機器人逆解的準確性以及求解速度的快慢會直接影響機器人的實時控制，因此國內(nèi)外研究機器人逆解的求解算法比較多。自有機器人以來,國內(nèi)外的專家學者對此也進行了不斷的研究,目前已經(jīng)有大量專門的或者通用的位置正反解求解方法問世。機器人運動學正解最常用的方法就是D-H矩陣法。建立各連桿D-H坐標，計算各連桿相對于前一桿的齊次變換矩陣，然后依次連乘就可得到末端執(zhí)行器相對與參考坐標系的位置和姿態(tài)。機器人運動學反解求法很多，對于不同結(jié)構(gòu)機器人有不同的適用方法。但大致分為兩大類：解析方法和數(shù)值方法。解析方法簡單直觀，運算速度快，但是只有滿足以下幾何條件的機器人結(jié)構(gòu)其逆運動學才有解析解：即后3個關(guān)節(jié)軸相交于一點或有3個關(guān)節(jié)軸相互平行。Paul等人和Ardayfio分別給出了一些工業(yè)機器人機構(gòu)的解析解，采用反變換法[1]；Doty分析了24類6自由度正交機器人結(jié)構(gòu)，指出其中5類有解析解，其余各類結(jié)構(gòu)是否有解析解則要進行進一步研究[2]。對于不存在解析解的機器人結(jié)構(gòu),只能采用數(shù)值方法進行逆解.Huang等人以雅可比矩陣為基礎(chǔ)建立了求解關(guān)節(jié)變量的迭代算法,該算法要進行多次矩陣求逆,并且容易發(fā)散[3]。于是一些學者對迭代算法進行了改進:Goldenberg等人根據(jù)非線性優(yōu)化的思想,采用一種改進的牛頓法迭代算法[4]；Angeles則基于閉包方程旋轉(zhuǎn)部分的不變性提出了一種迭代算法[5]；Lenaroio采用的是共軛梯度法[5]。這些方法都是非線性優(yōu)化中常用的算法,實際應用中仍存在運算量大，收斂速度慢的缺點。數(shù)值方法基本是建立在多元變量迭代的基礎(chǔ)上，算法的快速性和準確性很難滿足實際應用的需要。為此，劉達提出一種解析與數(shù)值計算相結(jié)合的方法，解決了機器人逆運動學算法的實時性和準確性問題[6]。劉永超等人在分析以往逆解方法的基礎(chǔ)上,提出了用遺傳算法求解機器人運動學逆解的方法，給出了用于優(yōu)化求解的適合度函數(shù)，并提出用二次編碼法提高解的精度[7]。張偉首次實現(xiàn)自組織神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)求解機器人姿態(tài)逆解，通過深入分析基于Kohonen網(wǎng)絡(luò)原理和Widrow-Hof誤差修正的M.R.S自組織神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)及機器人運動學特性，創(chuàng)新了自組織神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓練算法并建立了一類工業(yè)機器人位姿逆解的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法[8]。隨著計算機技術(shù)的發(fā)展，如何使用計算機快速計算機器人運動學反解也是眾多學者研究的方向之一。王戰(zhàn)中等人提出了基于反變換法用MATLABGUI編程來自動求解機器人的多組逆解，并采用最短行程的原則自動尋找機器人的最優(yōu)解[9]。謝黎明等人講ADAMS仿真軟件用于機器人運動學的正反解驗證，是一種具有普遍意義的手段[10]。而陳志洋直接使用ADAMS求解POWERCUBE機器人的反解，求解過程中提出了模型轉(zhuǎn)化思想和驅(qū)動倒置思想[11]。丁佳洛利用一般點驅(qū)動設(shè)定機器人末端的運動軌跡,得出驅(qū)動軸的運動曲線，然后利用ADAMS/Processor對所測量得到的曲線進行擬合，從而得到運動學反解[12]。機器人工作空間是機器人運行控制過程中的一個重要指標，是操作機構(gòu)設(shè)計需要研究的基本問題之一。工作空間是機器人研究的重要內(nèi)容之一，它的重要性是不言而喻的，通過工作空間的研究可以對機器人的整個系統(tǒng)的工作范圍，可以得出操作空間中機器人能夠達到的位置，即關(guān)節(jié)空間在操作空間的映射的值域，更加貼切理論與實踐的距離。文獻[13]中主要描述的是三維工作空間分析方法。受限根據(jù)基座的不同控制策略，推到了基座位姿固定、自由飛行與自由漂浮三種模式的運動學方程，然后分析相應的工作空間?；蛔斯潭〞r，采用幾何分析法；基座自由飛行時，借助虛擬機械臂分析其受限工作空間；而自由漂浮時，結(jié)合角動量守恒方程，提出計算路徑相關(guān)工作空間和路徑無關(guān)工作空間的分析方法。文獻[14]描述的是空間機器人工作空間求解問題。提出一種將數(shù)值仿真與圖解法相結(jié)合的方法。數(shù)值仿真采用蒙特卡洛方法，同時引入碰撞檢測方法和切片發(fā)，仿真的曲線通過圖解法確定。該方法利用的數(shù)值仿真的方法，應用簡單，使用各種機器人結(jié)構(gòu)，又可以通過圖解法直觀準確的得到工作空間邊界。文獻[15]采用蒙特克羅方法。根據(jù)機器人關(guān)節(jié)空間映射到工作空間（操作空間）的運動學映射關(guān)系得到機器人的工作空間。對于平面機構(gòu)的工作空間依照按列劃分的方法得到邊界曲線以及對應的面積表達式。對于三維工作空間，在每層劃分得到每一層邊界曲線的基礎(chǔ)上，采用包絡(luò)原理得到空間曲面的形狀的體積表達式。2.2建立連桿坐標系首先在solidworks中作圓柱坐標式機器人的三維模型，如圖1所示。圖2.1圓柱坐標式機器人的三維模型然后按照圖1所示模型位置建立坐標系，如圖2所示。圖2.2各連桿坐標系相應的連桿參數(shù)列于表1中表1-1圓柱坐標式機器人的D-H參數(shù)構(gòu)建iαi-1ai-1diθi變量范圍10°00θ1（0~360°）20°0d2180°（30~270mm）3-90°a2（70mm）d390°（190~340mm）4-90°a3（68mm）0θ4(-90°)（0~-180°）590°0d5（105mm）θ5(90°)（0~360°）2.3運動學正解利用連桿變換通式（2.1）：ii-1T由上述的D-H參數(shù)表可以求得各連桿之間的變換矩陣如下所示：（1）連桿1運動坐標系與參考坐標系之間的齊次變換矩陣10T=c（2）連桿2運動坐標系與連桿1運動坐標系之間的齊次變換矩陣21T=-1000（3）連桿3運動坐標系與連桿2運動坐標系之間的齊次變換矩陣32T=00-10-1（4）連桿4運動坐標系與連桿3運動坐標系之間的齊次變換矩陣43T=sθ40cθ4（5）末端執(zhí)行器運動坐標系與連桿4運動坐標系之間的齊次變換矩陣54T=-sθ50sθ50c最后求出六個連桿變換之積為50T=10T250T=nxn矩陣中元素分別為：noapnoay=-cθ1sθ4pnoap則該機械臂的運動方程為：50T=10T2.4運動學反解利用Paul提出的反變換法進行求解。首先用逆變換10T-110T-1θ15其中10T-1θ1=cθ可得等式右側(cè)為51T=s等式左側(cè)為cθ1-sθ利用矩陣方程2.11兩端元素對應相等進行位姿反解（1）求解θ4從3行3列可以看出：cθ4=az則θ4可以求出為：θ4=±arccosaz（2）求解θ1從1行3列可以看出：cθ1ax+sθ1令ax=ρsinφ,則變?yōu)閟inθ1+φ=0解得θ1=π-φ或θ但是由于d2的運動范圍的限制，實際只有θ1=（3）求解θ5從1行3列可以看出：sθ4sθ5=n其中θ4已經(jīng)求出。則θ5=arcsin(nz/sθ（4）求解d3從2行4列可以看出：sθ4d5-d3則d3=sθ1px（5）求解d2從3行4列可以看出：-cθ4d5-a則d2=pz+cθ從機器人的結(jié)構(gòu)和上述反解的過程可以看出圓柱坐標式機器人的運動反解可能存在2個解。從上面的求解過程可以看出，θ4其中存在正負號，可能得到2個解。但上面求得結(jié)果只是理論上的結(jié)果，由于每個關(guān)節(jié)工作范圍的限制，機器人有可能無法達到反解的關(guān)節(jié)空間，所以機器人在軌跡規(guī)劃時，應按照一定的規(guī)則進行，即如果存在多個解的情況下，一般按照最短行程規(guī)則選擇一組解。2.5工作空間求解MATLAB中用蒙特卡洛法對機械臂的工作空間進行仿真。matlab代碼如下所示whilei<10000a_2=70;a_3=68;d_5=105;q_1=randi([-1000010000])*pi/10000;d_2=randi([30270]);d_3=randi([190340]);q_4=randi([-50005000])*pi/10000;x=-sin(q_1)*sin(q_4)*d_5-cos(q_1)*a_2+sin(q_1)*d_3;y=cos(q_1)*sin(q_4)*d_5-sin(q_1)*a_2-cos(q_1)*d_3;z=-cos(q_4)*a_5-cos(q_4)*a_4-a_3+d_2;scatter3(x,y,z,3,c);gridon;holdon;i=i+1;endc=-z*255/700;scatter3(x,y,z,3,c);10000個點時工作空間如下圖所示圖2.3工作空間圖2.4工作空間xy面圖2.5工作空間yz面40000個點工作空間如下圖所示圖2.6工作空間圖2.7工作空間xy面圖2.8工作空間yz面可以看出圓柱坐標式機器人的工作空間為空心圓柱體。2.6本章小結(jié)本章參考了大量的文獻資料之后分析了圓柱坐標式機器人的位置正反解。首先，使用Solidworks軟件建立了圓柱坐標式機器人的三維實體模型，之后完成了圓柱坐標式機器人的連桿參數(shù)的確定，通過D-H法建立了連桿坐標系，再結(jié)合給出的各關(guān)節(jié)變量，求出各關(guān)節(jié)的變換矩陣來求得運動學正解。接著就是通過反變換法，求得了運動學反解。

3圓柱坐標式機器人的雅克比3.1雅克比求解綜述機器人雅可比矩陣是指從關(guān)節(jié)空間向操作空間運動速度傳遞的廣義傳動比，可用于分析機器人的運動學、動力學以及機器人的奇異性與靈活度，是描述機器人特征的重要參數(shù)之一。機器人的運動學分析是性能分析和動力學分析的基礎(chǔ)，所以對于一個新型機構(gòu)來說，運動學分析是機構(gòu)分析的前提和基礎(chǔ)，是進行機器人機構(gòu)設(shè)計的首要任務(wù)。雅可比矩陣在機器人的運動學分析中具有重要地位，機器人的分離速度控制、靜力分析、靈活性和可操作度分析等都要用到機器人的雅可比矩陣。因此，機器人雅可比矩陣的準確、快速求解顯得尤為重要。目前，已有多種求解機器人雅克比矩陣的方法，其中最常用的方法有如下幾種：運動學方程對時間t求導；直接構(gòu)造法，包括微分變換法和矢量積法；遞推法，包括速度傳播遞推法和靜力傳播遞推法；旋量理論求解法。文獻[16]利用矢量積法求得雅克比矩陣，并將其分塊，得雅克比行列式為零時對應的關(guān)于關(guān)節(jié)角表達式，利用關(guān)節(jié)角表達式得其臂部內(nèi)部奇異和腕部內(nèi)部奇異，由關(guān)節(jié)角的極限范圍得邊界奇異。最后仿真得出奇異位姿所對應的關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角及其關(guān)系式，為示教、軌跡規(guī)劃及其動力學分析提供了可靠的依據(jù)。文獻[17]用微分變換法建立6R串聯(lián)機器人的通用雅可比矩陣。在構(gòu)建和求解其雅可比矩陣的基礎(chǔ)上，開發(fā)一個6R串聯(lián)機器人雅可比計算器。并以UP6機器人為例，通過速度仿真實現(xiàn)了UP6機器人數(shù)學模型和仿真模型的相互驗證，為在操作空間直觀地規(guī)劃機器人作業(yè)路徑提供了方便。文獻[18]基于旋量理論和矢量積法提出了求解雅可比矩陣的改進方法。該方法繼承了旋量理論用于機器人操作的優(yōu)越性，避免了采用傳統(tǒng)D-H參數(shù)法來建立局部坐標系，簡化了機器人運動學、動力學的分析方法。并針對一種三分支機器人進行了計算機仿真，結(jié)果證實了所提方法的正確性與實用性。文獻[19]采用微分變換法求得對六自由度裝校機器人雅可比矩陣并對裝校機器人進行了奇異性分析，為裝校機器人在實際裝校作業(yè)環(huán)境中的軌跡規(guī)劃及實時控制提供了理論基礎(chǔ)和重要數(shù)據(jù)。文獻[20]提出一種新型5自由度上肢康復機器人，以旋量理論為工具推導出該機器人的雅可比矩陣。并用ADAMS對該機器人進行運動學仿真分析，在給定各關(guān)節(jié)速度的條件下，確定了末端執(zhí)行器速度。最后將仿真求得的末端執(zhí)行器速度與通過雅可比矩陣求得的速度對比，驗證了雅克比求解的正確性。 3.2矢量積求解法雅可比矩陣將關(guān)節(jié)速度與末端笛卡爾速度聯(lián)系起來，即式vω=J(q)q，其中：v、ω—線速度和角速度；q一關(guān)節(jié)速度矢量。由于速度可以看成單位時問內(nèi)的微分運動，因此雅可比也可以看成關(guān)節(jié)空問的微分運動向操作空問微分運動之問的轉(zhuǎn)換矩陣，即:dδ=J(q)d(q)，式中：（1）對于移動關(guān)節(jié)i，則：vω=zi0qiJ（2）對于轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)i，則：vω=zi×ipnipn0=i0zi是坐標系{i}的z軸單位向量在基坐標{o}ipn0因為關(guān)節(jié)1，4，5為轉(zhuǎn)動，2,3為移動所以構(gòu)造雅可比矩陣為J(q)=z1×1p首先求解各連桿坐標系相對于基坐標系的變換矩陣i050T=n矩陣中元素分別為：noapnoaypnoap430T=00-12010然后求解末端執(zhí)行器坐標系相對于各連桿坐標系之間的變換矩陣5i552T=-55則可以根據(jù)式3.5可以看出坐標系{i}的z軸單位向量在基坐標{o}下的ziz1=001z2=001z則可以根據(jù)式3.5求出坐標系{i}相對基坐標{o}的轉(zhuǎn)動變換矩陣i01040R=sθ1sθ450根據(jù)式3.6可以求出末端坐標系在坐標系{i}中的位置向量：14p5=0-d505p再根據(jù)式3.3手爪坐標系原點相對坐標系{i}的位置矢量在基坐標系中的表示：14p50=405從而可以根據(jù)式3.4求出雅可比矩陣的各列：J1JJ3=z30=-sθ1JJ整理可得該圓柱坐標式機器人的雅可比矩陣為：J=[J1JJ=sθ1該雅可比矩陣的上三行代表機器人各關(guān)節(jié)對末端執(zhí)行器速度的影響系數(shù)，下三行代表各關(guān)節(jié)對末端執(zhí)行器角速度的影響系數(shù)。該雅可比矩陣的第i列代表機器人第i關(guān)節(jié)對末端執(zhí)行器運動的影響。用該雅克比矩陣求出的速度和角速度方向是基于基坐標系下的。3.3微分變換法對于轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)，連桿相對于繞坐標系的軸作微分轉(zhuǎn)動，連桿的微分轉(zhuǎn)動相當于微分運動矢量(3.14)利用坐標系的微分運動矢量轉(zhuǎn)換關(guān)系可得出末端執(zhí)行器相應的微分運動矢量為(3.15)若關(guān)節(jié)是移動關(guān)節(jié)，連桿相對于連桿作微分移動，即(3.15)末端執(zhí)行器相應的微分運動矢量為(3.16)利用式（3.5）和（3.16），可以得到機器人雅可比的各個列矢量。如果關(guān)節(jié)是轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)，則的第列按式（3.17）計算，即(3.17)如果關(guān)節(jié)是移動關(guān)節(jié)，則的第列按式（3.18）計算，即(3.18)式中，、、和是的四個列向量。的計算可以如圖2-1所示：(3.19)上面計算機器人雅可比的方法是構(gòu)造性的，只要知道機器人各連桿變化矩陣就可以自動生成它的雅可比矩陣，不需要求導和解方程等手續(xù)。圖2-1與之間的關(guān)系該方法的雅克比矩陣有五列構(gòu)成TJ=[對于每列雅克比矩陣而言有對于轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)TJi=p×nzp×ozp×az由式3.5和式3.21可得：TJ1=TTJ3=TJTJ將式3.23整理可得雅可比矩陣為：TJ=[TT該雅可比矩陣的上三行代表機器人各關(guān)節(jié)對末端執(zhí)行器速度的影響系數(shù)，下三行代表各關(guān)節(jié)對末端執(zhí)行器角速度的影響系數(shù)。該雅可比矩陣的第i列代表機器人第i關(guān)節(jié)對末端執(zhí)行器運動的影響。用該雅克比矩陣求出的速度和角速度方向是基于末端坐標系下的。3.4兩種方法互相驗證由于矢量積求解法求出的J(q)是基于基坐標系下的，微分變換法求出的TJq是基于末端坐標系下的，所以上述兩種構(gòu)造方法得出的JJ(q)=50ROO則令：A=50ROO其中50R=r11r21r帶入可得A=r11ra1a2a3=-sθ1cθ10aaA=a1說明前面兩種方法構(gòu)造的雅可比矩陣符合該條件，驗證了所求雅可比矩陣的正確性。3.5速度反解由上述計算可知工作空間速度與關(guān)節(jié)空間速度的關(guān)系為:vxvyvz圓柱坐標式機器人作為5自由度機器人，擁有三個平移自由度兩個轉(zhuǎn)動，從雅可比矩陣中也可以看出矩陣關(guān)于角速度4、5、6行只取決于θ1和θ4，說明三個方向的角速度中，只有兩個是線性無關(guān)的，已知這兩個角速度就可以求出另一個，因此可以只取雅克比矩陣后三行的任一兩行用于計算，在此取4和6行，則上述方程化為：vxvyvz可以簡寫為：V'=J'(q)q則運動反解為：q=J'-1(q)V由于該符號矩陣求逆過于復雜，在此不再贅述。具體應用時機器人位型已知，求解J’的逆即可。3.6奇異性分析奇異位形，也稱特殊位形，是機構(gòu)的固有性質(zhì)也是機器人機構(gòu)的一個十分重要的運動學特性，機器人的運動、受力、控制以及精度等諸方面的性能都與機構(gòu)的奇異位形密切相關(guān)。奇異位形是機器人的操作臂在運動范圍內(nèi)會出現(xiàn)共線的時刻，而在這個時刻，機器人操作臂的自由度會減少，所以會出現(xiàn)冗余度機器人的冗余度會減少，而滿自由度機器人變成欠自由度機器人。通過對奇異位形的研究可以確定機器人工作空間的壞點，通過研究奇異位形的位置，盡量避免實質(zhì)工作位置在奇異位形上。但是有些機器人也會利用奇異位形，利用奇異位形的特殊性，從而可以承受很大的力，來形成一個可以傳遞大的力的特殊位形。文獻[21]六自由度工業(yè)機器人奇異位置奇異和位姿奇異的問題中描述了在利用矢量積方法的到雅可比矩陣之后，分塊得到雅可比行列式位零的時候?qū)年P(guān)節(jié)角表達式，利用關(guān)節(jié)角表達式得到其臂部內(nèi)部奇異和腕部奇異，有關(guān)節(jié)角的極限范圍的邊界奇異。最后仿真得出奇異邊界。此種方法就是利用分塊求出雅可比矩陣之后利用SVD函數(shù)將其分解仿真的到最小奇異值，即可得出雅可比矩陣為零的時候的關(guān)節(jié)角，即內(nèi)部奇異。文獻[22]本文針對機器人運動學反解的一般分析方法進行了介紹,并指出了各自的優(yōu)缺點,最后指出了機器人奇異位形的研究熱點。由于機器人奇異位形的存在,使控制策略復雜化。如何尋求機器人精確解和最少計算量并完成機器人的實時控制,是研究機器人奇異位形的最終目的。作者下一步的設(shè)想是把六自由度機器人的自運動關(guān)節(jié)舍棄掉，即放棄退化軸所在關(guān)節(jié)的控制,把系統(tǒng)變成具有一個冗余度的機器人系統(tǒng)。并提出一種新型控制策略,以保持機器人的精確位置精度和位形精度,算法簡單,通用性強,并且滿足解的連續(xù)性問題。文獻[23]冗余機器人奇異位形分析的新方法中分析奇異位形的方法是建立基于虛位移原理來對冗余操作手列出平衡方程組的，通過求解方程組，可方便的解出奇異位形。針對雅克比法的不足，依照奇異位形的特點及虛位移原理推導出另一種奇異位形判斷法——力平衡法，并通過舉例驗證此法的可行性。此法不僅克服了雅可比法的不足，而且具有一般性，它對一些復雜機構(gòu)操作手的研究具有一定的參考意義。粗略地講，機器人的奇異位型分為兩類：(1)邊界奇異形位,此時處于工作空間的邊界，這種奇異點容易避免，不會帶來太大麻煩。(2)內(nèi)部奇異形位，通常是由兩個或多個關(guān)節(jié)軸線重合造成的。兩關(guān)節(jié)角度以無窮大的速度來提供端部運動的需要，即在此位置，工業(yè)機器人失去一個自由度，使端部的運動難以實現(xiàn)。正好是關(guān)節(jié)型工業(yè)機器人的初始位置，即初始位置的關(guān)節(jié)型工業(yè)機器人存在奇異解，存在奇異現(xiàn)象，為避開奇異形位，有上述速度反解可知當J'=0時J’不可逆，此時處于奇異位型J'=-c3θ解得θ1=90°或θ1θ1=90°或θ1=-90°并不是奇異位型，這個解得產(chǎn)生可能是因為忽略了原雅克比矩陣ωy這一行，導致當θ1=90°或θ1=-90°時，ωx=0，ωy≠0,當θ4=-90°，θ1和θ5綜上只有當θ43.7本章小結(jié)本章經(jīng)過大量的閱讀文獻，了解了現(xiàn)有常用的集中求解雅可比矩陣的方法有：運動學方程對時間t求導；直接構(gòu)造法，包括微分變換法和矢量積法；遞推法，包括速度傳播遞推法和靜力傳播遞推法；旋量理論求解法。本章分別使用矢量積法和微分變換法求解了圓柱坐標式機器人的雅可比矩陣，并驗證了雅可比矩陣計算的正確性，然后給出了速度反解公式，最后對圓柱坐標式機器人的奇異性進行了分析，得到了奇異位型。4圓柱坐標式機器人的運動仿真4.1機器人運動仿真綜述機器人的運動學和動力學性能一直是機器人設(shè)計與研究工作的重點。但是這項工作往往需要研究人員進行大量復雜的矩陣運算，工作量大且容易出錯。三維運動仿真軟件的應用可以大大簡化以上工作，機器人的各種運動學與動力學性能可以通過仿真動畫和數(shù)據(jù)圖表直觀的展現(xiàn)。很多研究成功利用ADAMS分析了機器人的機械動力學性能，為機器人設(shè)計的定型和物理樣機的控制提供依據(jù)。ADAMS(AutomaticDynamicAnalysisofMechanicalSystem)軟件是美國MDI公司(現(xiàn)已經(jīng)并入美國MSC公司)開發(fā)的機械系統(tǒng)動力學仿真分析軟件。ADAMS是集建模、求解、可視化技術(shù)于一體的虛擬樣機軟件，是目前世界上使用范圍最廣、最負盛名的機械系統(tǒng)仿真分析軟件。ADAMS一方面是虛擬樣機分析的應用軟件，用戶可以運用該軟件方便的對虛擬機械系統(tǒng)進行靜力學、運動學和動力學分析。另一方面，又是虛擬樣機分析開發(fā)工具，其開放型的程序結(jié)構(gòu)和多種接口，可以成為特殊行業(yè)用戶進行特殊類型虛擬樣機分析的二次開發(fā)工具平臺。它為用戶提供了強大的建模、仿真環(huán)境，使用戶能夠?qū)Ω鞣N機械系統(tǒng)進行建模、仿真和分析。和其它CAD,CAE軟件相比，ADAMS具有十分強大的運動學和動力學分析功能。丁佳洛等人對六軸關(guān)節(jié)式機器人運動學反解與動力學優(yōu)化的研究結(jié)果表明基于ADAMS的運動學反解比理論推導簡單、直觀；通過ADAMS內(nèi)部強大的測量和曲線分析功能，可以準確獲知機器人的運動學和動力學性能，為機器人的動力學優(yōu)化與運動控制提供參考數(shù)據(jù)[24]。余曉流等人在基于ADAMS的六自由度焊接機器人運動學分析及仿真的研究中以機器人的D-H矩陣為理論基礎(chǔ)建立機器人的運動學方程。同時，利用ADAMS仿真軟件對機器人進行了運動學分析以驗證結(jié)構(gòu)設(shè)計的合理性，為機器人控制系統(tǒng)的優(yōu)化設(shè)計提供了依據(jù)[25]。東北大學的王鐵軍在基于ADAMS的串聯(lián)機器人運動可靠性仿真研究中以工業(yè)上常用的6自由度轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)PUMA560機器人作為研究對象，利用ADAMS對機器人進行了運動學和動力學仿真，以此分析了機器人的運動可靠性問題[26]。朱華炳等人在基于ADAMS的工業(yè)機器人運動學分析和仿真研究中以機器人的D-H矩陣為理論基礎(chǔ)建立了連桿坐標系和運動學方程，詳細地分析了其正向運動學問題。并利用ADAMS對機器人進行了運動仿真分析，得出了機器人末端點運動的位移和速度曲線，證明了數(shù)學模型的正確性，而且為機器人的設(shè)計和研究提供了重要依據(jù)[27]。高大華等人在基于ADAMS的六自由度關(guān)節(jié)型搬運機器人運動學仿真分析研究中運用D-H方法建立機器人運動學方程，分析正、逆運動學問題的解法。并用ADAMS對機器人在一個搬運周期內(nèi)的運動過程進行了運動學的仿真，求出了各關(guān)節(jié)逆運動學解并分析了各運動關(guān)節(jié)的位移特性曲線[28]。楊成文等人在基于ADAMS的SCARA機器人運動學仿真研究中，為驗證SCARA機器人正逆運動學分析的正確性和軌跡規(guī)劃的效果，利用ADAMS軟件對機器人進行軌跡規(guī)劃的仿真。結(jié)果表明，ADAMS系統(tǒng)為SCARA機器人運動學分析及軌跡規(guī)劃方法的仿真驗證提供了一個有效的平臺[29]。4.2三維模型的建立三維模型的建立要盡可能地簡化模型，在滿足仿真運動的完整前提下，模型的零件數(shù)量應該盡可能的少。保留主要的運動部件，忽略齒輪，軸承等細化的部件。為了保證三維模型的準確性，各主要部件的空間布局應該與機器人原型相當。本項目研究對象為圓柱坐標式機器人，在SolidWorks三維建模軟件中建立其三維模型如圖1所示。圖4.1圓柱坐標式機器人三維模型該模型包含了圓柱坐標式機器人所有主要的運動部件、可以滿足運動學與動力學仿真要求，為了能將模型導入ADAMS軟件仿真，在SolidWorks中將模型保存為保存為“.x_t”格式，應當注意的是，在導入之前一定要保證Solidworks中的模型的坐標系與第二章所建立的連桿坐標系中的基坐標系相同，且導入時的機器人的位型必須與建立連桿坐標系時的初始位型相同。導入Adams后如下圖所示：圖4.2Adams中的三維模型對模型的各個零部件和關(guān)節(jié)命名，并添加相應的約束副，實現(xiàn)各個部件的運動仿真。各構(gòu)件見的約束類型如下表所示。表1各個關(guān)節(jié)的約束關(guān)系約束類型約束對象固定約束底座與大地轉(zhuǎn)動副豎直導軌與底座移動副大臂與豎直導軌移動副小臂與大臂轉(zhuǎn)動副手腕與小臂轉(zhuǎn)動副指尖與手腕添加完固定約束和運動副后結(jié)果如下圖所示圖4.3Adams中添加的約束和運動副4.3Adams位置驗證給定各廣義坐標分別為θ1=40°，d2=230mm，d3=310mm，θ4=40°，θ5=40°，帶入到第二章的正解公式中計算，方便起見將參數(shù)和公式均輸入到matlab中進行計算，代碼如下：a_2=70;a_3=68;d_5=105;q_1=40*pi/180;d_2=230;d_3=310;q_4=40*pi/180;q_5=40*pi/180;X_x=cos(q_1)-sin(q_1)*cos(q_4)*sin(q_5);X_y=sin(q_1)+cos(q_1)*cos(q_4)*sin(q_5);X_z=sin(q_4)*sin(q_5);Y_x=sin(q_1)*cos(q_4)*cos(q_5);Y_y=-cos(q_1)*cos(q_4)*cos(q_5);Y_z=-sin(q_4)*cos(q_5);Z_x=sin(q_1)*sin(q_4);Z_y=-cos(q_1)*sin(q_4);Z_z=cos(q_4);P_x=-sin(q_1)*sin(q_4)*d_5-cos(q_1)*a_2+sin(q_1)*d_3;P_y=cos(q_1)*sin(q_4)*d_5-sin(q_1)*a_2-cos(q_1)*d_3;P_z=-cos(q_4)*a_5-cos(q_4)*a_4-a_3+d_2;計算結(jié)果為圖4.4matlab求解結(jié)果可以看出結(jié)算結(jié)果為末端在基坐標系下位置為（-209.5038,140.7762,81.5653）。在Adams中令各關(guān)節(jié)運動到相同的位置，并對末端點進行標定測量出末端點的位置為：圖4.5Adams仿真結(jié)果可以看出結(jié)算結(jié)果為末端在基坐標系下位置為（-211.3733,142.9291,80.5665），發(fā)現(xiàn)與Matlab計算的結(jié)果（-209.5038,140.7762,81.5653）之間存在大約1%誤差，推斷可能是Matlab與Adams中采用不同的數(shù)值算法導致的。4.4Adams運動學仿真在Adams中對每個運動副添加驅(qū)動，利用ADAMS的測量功能，通過圓柱坐標式機器人的模擬運動過程，測量機器人各關(guān)節(jié)的角速度或位移，分別得到了各關(guān)節(jié)和末端的位移曲線和速度曲線。圖4.6關(guān)節(jié)1的角速度圖4.7關(guān)節(jié)2的位移圖4.8關(guān)節(jié)3的位移圖4.9關(guān)節(jié)4的轉(zhuǎn)動圖4.10末端的角速度圖4.11末端的位移4.5本章小結(jié)本章利用SolidWorks建立的圓柱坐標式機器人模型，將其倒入ADAMS中進行運動學仿真分析。結(jié)果表明利用ADAMS對可以更加方便、準確地得到各個構(gòu)件的位移和速度，并且利用ADAMS得到的運動學正解比理論推導得出的結(jié)果更加直觀。通過運動學仿真，驗證了位置正反解以及運動雅克比矩陣的正確性。通過得到的位移和速度曲線圖，可以準確獲知機器人的運動學和動力學特性，為機器人的優(yōu)化與控制提供了參考數(shù)據(jù)。

5結(jié)論本文通過查閱國內(nèi)外關(guān)于串聯(lián)機器人正反解分析方法文獻，建立機器人機構(gòu)的連桿坐標系并列出連桿參數(shù)，利用Maple或其他數(shù)學軟件減小矩陣相乘的計算量，最終給出了圓柱坐標式機器人的位置正解公式和工作空間三維散點圖，之后給出了求解圓柱坐標式機器人的位置反解的方法，并深入研究位置反解的多解性與唯一性問題；最后在Solidworks中建立圓柱坐標式機器人的三維實體模型，并導入Adams軟件中建立其仿真模型，實現(xiàn)運動學仿真，驗證了上述運動學分析的正確性進行驗證。

參考文獻[1]Ardayfio,AyietyM.Methodsforcapturingdesignintentusingkeycharacteristics[J].JournalofPediatrics,1998,144(6):783–791.[2]ZimmBH,BraggJK.TheoryofthePhaseTransitionbetweenHelixandRandomCoilinPolypeptideChains[J].JournalofChemicalPhysics,1959,31(2):526-535.[3]MercerBM,MiodovnikM,ThurnauGR,etal.Antibiotictherapyforreductionofinfantmorbidityafterpretermprematureruptureofthemembranes.Arandomizedcontrolledtrial..[J].Jama,1997,278(12):989.[4]ZhanQ,HuangS,WuJ.AutomaticNavigationforAMobileRobotwithMonocularVision[C]//Robotics,AutomationandMechatronics,2008IEEEConferenceon.2008:1005-1010.[5]Zanganeh,KouroshE,Sinatra,etal.Kinematicsan