備戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)直角三角形的邊角關(guān)系培優(yōu)易錯(cuò)難題練習(xí)（含答案）及詳細(xì)答案一、直角三角形的邊角關(guān)系1.圖1是一種折疊式晾衣架.晾衣時(shí)，該晾衣架左右晾衣臂張開(kāi)后示意圖如圖2所示，兩支腳OC=OD=10分米，展開(kāi)角NCOD=60°,晾衣臂OA=OB=10分米，晾衣臂支架HG=FE=6分米，且HO=FO=4分米.當(dāng)NAOC=90°時(shí)，點(diǎn)A離地面的距離AM為分米；當(dāng)OB從水平狀態(tài)旋轉(zhuǎn)到OB'（在CO延長(zhǎng)線上）時(shí)，點(diǎn)E繞點(diǎn)F隨之旋轉(zhuǎn)至OB'上的點(diǎn)E'處，則B'E'-BE為分米.【答案】55<34【解析】【分析】如圖，作OPLCD于P,OQ±AM于Q,FK±OB于K,FJ±OC于J.解直角三角形求出MQ,AQ即可求出AM,再分別求出BE,B'E'即可.【詳解】解：如圖，作OPLCD于P,OQ±AM于Q,FK±OB于K,FJ±OC于J.;AM±CD,「.NQMP=NMPO=NOQM=90°,???四邊形OQMP是矩形，「.QM=OP,;OC=OD=10,NCOD=60°,??.△COD是等邊三角形，;OP±CD,nCOP=1NCOD=30°,2「.QM=OP=OC*cos30°=5$3（分米），丁NAOC=NQOP=90°,「.NAOQ=NCOP=30°,-1?二AQ=-OA=5（分米），「.AM=AQ+MQ=5+5產(chǎn).「OBIICD,..NBOD=NODC=60°

在RtAOFK中，KO=OF?cos60°=2(分米)，F(xiàn)K=OF?sin60°=2<3(分米)，在RtAPKE中，EK=、:EF2—FK2=2、6(分米)，??.BE=10-2-2,.6=(8-2%6)(分米)，在RtAOFJ中，OJ=OF?cos60°=2(分米)，F(xiàn)J=2<3(分米)，在RtAFJE中，EJ=個(gè)62-(2^''3)2=2.,6,「.B'E'=10-(2%；6-2)=12-2%：6,B'E'-BE=4.故答案為：5+5<3,4.A /MCA /MC圖？D水平地面【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型.2.在正方形ABCD中，對(duì)角線AC,BD交于點(diǎn)O,點(diǎn)P在線段BC上（不含點(diǎn)B）,1NBPE=-NACB,PE交BO于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)B作BFLPE,垂足為F,交AC于點(diǎn)G.(1)當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)（如圖1）.求證：△BOGM△(1)(2)通過(guò)觀察、測(cè)量、猜想:BF(2)通過(guò)觀察、測(cè)量、猜想:BFPE，并結(jié)合圖2證明你的猜想;(3)(3)把正方形ABCD改為菱形BF其他條件不變（如圖3）,若NACB=a，求p的（用含a的式子表示）值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析,、BF（用含a的式子表示）值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析,、BF1/、BF(2)——=-(3)——PE2PE21=—tana【解析】解：(1)證明：:四邊形ABCD是正方形，P與C重合，「.OB="OP",乙BOC=【解析】解：(1)證明：:四邊形ABCD是正方形，P與C重合，「.OB="OP",乙BOC=NBOG=90°.;PF±BG,NPFB=90°,:,乙GBO=90°—NBGO,NEPO=90°—NBGO.「.NGBO=NEPO.「.△BOG^△POE(AAS).(2)BF1PE-2證明如下:如圖，過(guò)P作PM//AC交BG于M,交BO于N,「?NPNE=NBOC=900,nBPN=NOCB.■:NOBC=NOCB=450,:.nNBP=NNPB.「.NB=NP.MBN=900—NBMN,NNPE=900—NBMN,?NMBN=NNPE.BMN^△PEN(ASA).?BM=PE.BPE=1NACB,NBPN=NACB,「.NBPF=NMPF.2;PF±BM,「.NBFP=NMFP=900.又「PF=PF,1?.△BP碎△MPF(ASA).「.BF="MF",即BF=-BM.BF即——PE...NBPN=NACB=a,NPNE=NBOC=900.(3)如圖，過(guò)P作PM//AC交BG于點(diǎn)M,交BO于點(diǎn)N,1由(2)同理可得BF=-BM,NMBN=NEPN.丁NBNM=NPNE=900,,△BMN-△PEN.BMBN"PE—PNBN在RtBN在RtABNP中，tana二市BM =tana,PE2BF

"PEBF1——=—tana.PE2(1)由正方形的性質(zhì)可由AAS證得△BOG^△POE.(2)過(guò)P作PM//AC交BG于M,交BO于N,通過(guò)ASA證明△BMNM△PEN得到BM=PE,通過(guò)ASA證明△BPFM△MPF得到BF=MF,即可得出BF=1的結(jié)論.PE21（3）過(guò)P作PM//AC交BG于點(diǎn)M,交BO于點(diǎn)N,同（2）證得BF=-BM,NMBN=NEPN,從而可證得△BMN-△PEN,由^二史1和rqBNP中tana二更即PEPN PN可求得BF1二一tana.可求得PE23.如圖，某校數(shù)學(xué)興趣小組為測(cè)量校園主教學(xué)樓AB的高度，由于教學(xué)樓底部不能直接到達(dá)，故興趣小組在平地上選擇一點(diǎn)C,用測(cè)角器測(cè)得主教學(xué)樓頂端A的仰角為30°,再向主教學(xué)樓的方向前進(jìn)24米，到達(dá)點(diǎn)E處（C,E,B三點(diǎn)在同一直線上），又測(cè)得主教學(xué)樓頂端A的仰角為60°,已知測(cè)角器CD的高度為1.6米，請(qǐng)計(jì)算主教學(xué)樓AB的高度.73=1.73,結(jié)果精確到0.1米）AA【答案】22.4m【解析】【分析】首先分析圖形，根據(jù)題意構(gòu)造直角三角形.本題涉及多個(gè)直角三角形，應(yīng)利用其公共邊構(gòu)造等量關(guān)系，進(jìn)而求解.【詳解】解：在RtAAFG中，tanNAFG=J3,AGAGAGtan/AFG,tan/AFG,AG在《△ACG中，tanzACG=——,CGAG「?CG= AG 八5AG.tan/ACG又「CG-FG=24m,即<3AG--瓜=24m,??.AG=1233??.AB=12<3+1.6,22.4m.4.如圖，在矩形ABCD中，AB=6cm,AD=8cm,連接BD，將△ABD繞B點(diǎn)作順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到^AB‘D‘（B與B重合），且點(diǎn)D，剛好落在BC的延長(zhǎng)上，AD與CD相交于點(diǎn)E+1.6,22.4m.（1）求矩形ABCD與^AB'D'重疊部分（如圖1中陰影部分ABCE）的面積；（2）將4AB‘D，以每秒2cm的速度沿直線BC向右平移，如圖2,當(dāng)B，移動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)停止移動(dòng).設(shè)矩形ABCD與^AB'D，重疊部分的面積為人移動(dòng)的時(shí)間為x，請(qǐng)你直接寫(xiě)出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并指出自變量x的取值范圍；（3）在（2）的平移過(guò)程中，是否存在這樣的時(shí)間x，使得△AAB，成為等腰三角形？若存在，請(qǐng)你直接寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的x的值，若不存在，請(qǐng)你說(shuō)明理由.【答案】45【答案】（1）7;*）詳見(jiàn)解析；（3）使得△AAB，成為等腰三角形的x的值有：03秒、秒秒、【解析】【分析】(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知B,D'=BD=10,CD'=B‘D'-BC=2,由tanzB‘D'A=A'B' CEAD=CD可求出CE，即可計(jì)算^CE。'的面積，SABCE=Sabd「Sced；11 11（2）分類討論，當(dāng)0女<y時(shí)和當(dāng)y<X<4時(shí)，分別列出函數(shù)表達(dá)式；（3）分類討論，當(dāng)AB'=AB時(shí)；當(dāng)AN=ABz時(shí)；當(dāng)AB'=AA'時(shí)，根據(jù)勾股定理列方程即可.【詳解】解：（1）;AB=6cm，AD=8cm，「.BD=10cm，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知BBDD=BD=10cm，CD'=B‘D'-BC=2cm，A'A'B'「tanNBD'A'=——CE6_CE82?CE=6_CE82?CE=3cm，2一Sabce=Sabd'-Sced'=3 45_2義_+2——(cm2)；2211(2)①當(dāng)0<x<5時(shí)，CD'=2x+2,3CE=-(x+1)，

2?二S△CD，E=X2+3X+13 3??y=-x6x8?二S△CD，E=X2+3X+13 3??y=-x6x8-—x2-3x--=22 245--X2-3X+--；2211②當(dāng)—<x<4時(shí)，B'C=8-2x，4CE=3(8-2x). 1 4(° \8一y=一義8_2x)2= x2-23 364Tx+128（3）①如圖1，當(dāng)AB'=AB時(shí)，x=0秒;18 24②如圖2，當(dāng)AA=AB'時(shí)，AN=BM=BB'+BM=2x+—，AM=NB=—，丁AN2+A'N2=36,2418-5-)2+(2x+—)2=36,-6\'6_9，x= （舍去）；18③如圖2，18③如圖2，當(dāng)AB'=AA時(shí)，AN=BM=BB+BM=2x+—，AM=NB=24T，「AB2+BB'2=AN2+AN2.二36+4x2=2418(.二36+4x2=2418(6--)2+(2X+—)2綜上所述，使得△AAB，成為等腰三角形的x的值有：0秒、不秒、——92 5.【點(diǎn)睛】.本題主要考查了圖形的平移變換和旋轉(zhuǎn)變換，能夠數(shù)形結(jié)合，運(yùn)用分類討論的思想方法全面的分析問(wèn)題，思考問(wèn)題是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.5.如圖，在。O的內(nèi)接三角形ABC中，NACB=90°,AC=2BC,過(guò)C作AB的垂線l交。O于另一點(diǎn)5垂足為E.設(shè)P是AC上異于A,C的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，射線AP交l于點(diǎn)F,連接PC與PD,PD交AB于點(diǎn)G.(1)求證：△PAC-△PDF；【答案】（1）證明見(jiàn)解析:(2)若AB=5,A^p='3，求PD【答案】（1）證明見(jiàn)解析:【解析】【分析】(1)根據(jù)AB±CD,AB是。O的直徑，得到AD=AC,乙ACD=ZB,由NFPC=ZB,得到NACD=NFPC,可得結(jié)論；(2)連接OP,由AP=BP，得到OPLAB,NOPG=NPDC,根據(jù)AB是。O的直徑，得BC至l」NACB=90°,由于AC=2BC,于是得至UtanNCAB=tanNDCB= ，得至UACCEBE1 OGOP=-=-，求得AE=4BE,通過(guò)AOPGs△EDG,得到—= ，然后根據(jù)勾股定AECE2 GEED理即可得到結(jié)果.【詳解】(1)證明：連接AD,;AB±CD,AB是。O的直徑，?;Ad=Ac,，NACD=NB=NADC,丁NFPC=NB,「.NACD=NFPC,「.NAPC=NACF,丁NFAC=NCAF,「.△PAC-△CAF；，、… … 1 5(2)連接OP,貝UOA=OB=OP=-AB=-,「Ap二Bp,「.OPLAB,NOPG=NPDC,丁AB是。O的直徑，「.NACB=90°,;AC=2BC,BC「.tanNCAB=tanNDCB= ,AC;AE+BE=AB=5,「.AE=4,BE=1,CE=2,「.OE=OB-BE=2.5-1=1.5,丁NOPG=NPDC,丁NOPG=NPDC,NOGP=NDGE,「.△OPG-△EDG,OGOPGE~ED，OE—GEOP2.5GE「.PG="OP2+OG2=-,6，GD=、；DE2+GE2=3,__ 31--「.PD=PG+GD=-<10.【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理，圓周角定理，證得△QPG-△EDG是解題的關(guān)鍵.6.如圖1,以點(diǎn)M(-1,0)為圓心的圓與y軸、x軸分別交于點(diǎn)A、B、C、D,直線y=但丫一,x一：與。M相切于點(diǎn)H,交x軸于點(diǎn)E,交y軸于點(diǎn)F.(1)請(qǐng)直接寫(xiě)出QE、OM的半徑r、CH的長(zhǎng)；(2)如圖2,弦HQ交x軸于點(diǎn)P,且DP:PH=3:2,求cosNQHC的值；(3)如圖3,點(diǎn)K為線段EC上一動(dòng)點(diǎn)(不與E、C重合)，連接BK交OM于點(diǎn)T,弦AT交x軸于點(diǎn)N.是否存在一個(gè)常數(shù)a，始終滿足MN-MK=a，如果存在，請(qǐng)求出a的值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.圖1 圖2圖3【答案】（1）OE=5,r=2,CH=2‘?ccsjlQHC--:;a=4【解析】【分析】(1)在直線y=—；x——中，令y=0,可求得E的坐標(biāo)，即可得到OE的長(zhǎng)為5；連接MH,根據(jù)△EMH與八EFO相似即可求得半徑為2；再由EC=MC=2，NEHM=90°，可知CH是RT△EHM斜邊上的中線，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可得出CH的長(zhǎng)；(2)連接DQ、CQ.根據(jù)相似三角形的判定得到△CHP-△QPD,從而求得DQ的長(zhǎng)，在直角三角形CDQ中，即可求得ND的余弦值，即為cosNQHC的值；(3)連接AK,AM,延長(zhǎng)AM,與圓交于點(diǎn)G,連接TG,由圓周角定理可知，NGTA=90°,N3=N4,故NAKC=NMAN,再由△AMK-△NMA即可得出結(jié)論.【詳解】(1)OE=5,r=2,CH=2(2)如圖1,連接QC、QD,則NCQD=90°,NQHC=NQDC,DPDQ易知△CHP-△DQP,故'J',得DQ=3,由于CD=4,QD3，cosuQ/f。-cosjlQDC-——-(3)如圖2,連接AK,AM,延長(zhǎng)AM,與圓交于點(diǎn)G,連接TG,則‘""/.￡2+“—90"7上3-￡4Z2+Z3-,由于‘癡、’”死，故，不小?匚二M號(hào)四,故中一1一2； 皿"故aAMK-△NMAMNAM麗二麗；即：二??「■二工二二二::---故存在常數(shù)''，始終滿足二二、二三=一常數(shù)a="4"解法二：連結(jié)BM,證明二二三一-M上二5得:屋■]￡=匚==-=士7.在RtAABC中，NACB=90°,AB八7,AC=2,過(guò)點(diǎn)B作直線mil八口將^ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到^A'B'C(點(diǎn)A,B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A',B'),射線CA',CB'分別交直線m于點(diǎn)P,Q.(1)如圖1,當(dāng)P與A'重合時(shí)，求NACA'的度數(shù)；(2)如圖2,設(shè)A'B'與BC的交點(diǎn)為M,當(dāng)M為A'B'的中點(diǎn)時(shí)，求線段PQ的長(zhǎng)；⑶在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)點(diǎn)P,Q分別在CA',CB'的延長(zhǎng)線上時(shí)，試探究四邊形PA'B'Q的面積是否存在最小值.若存在，求出四邊形PA'B'Q的最小面積；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

備用圖備用圖7 一【答案】(1)6°。；⑵PQ=2；(3)存在，S四邊形「Ab,q=3-*：3【解析】【分析】(1)由旋轉(zhuǎn)可得：AC=AC=2,進(jìn)而得到BC=<3，依據(jù)NABC=90°,可得TOC\o"1-5"\h\zcosNACB=BC-=亙，即可得到NACB=30°，NACA=60°；A'C 2\o"CurrentDocument"3 3…(2)根據(jù)M為AB’的中點(diǎn)，即可得出NA=NACM，進(jìn)而得到PB=-BC=-，依據(jù)2 2tanN\o"CurrentDocument"右 2 、-， 7tanNQ=tanNA=——，即可得到BQ=BCx^==2，進(jìn)而得出PQ=PB+BQ=-；\o"CurrentDocument"2 3 2(3)依據(jù)S四邊形PABQ=S&PCQ-SzACB'=5皿-、3，即可得到S四邊形PABQ最小，即S△pcq最小，而SX2PQXBC=半PQ，利用幾何法即可得到S“CQ的最小值=3，即可得到結(jié)論.【詳解】(1)由旋轉(zhuǎn)可得：AC=AC=2.■:NACB=90°，AB=V7，AC=2,「.BC=、.3.■:NACB=90°，mIIAC，」.NA1BC=90°，」.cosNA1CB=BC=豆，-NACB=30°，AC2「.NACA'=60°；;M為A1B1的中點(diǎn)，，NA1CM=NMA1C，由旋轉(zhuǎn)可得：NMA1C=NA，:.NA=NA'CM，「.tanNPCB=tanNA=3，，>pb=3-B-BC=—TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"2 2 2,\o"CurrentDocument"/ / <3 2 7■:NBQC=NBCP=NA，「.tanNBQC=tanNA=一，.?.BQ=BCx^==2，「.PQ=PB+BQ=—；\o"CurrentDocument"2 V3 2,S四邊形PAB,Q=S△PCQ-S△A,CB=S△PCQ-v3，…S四邊形PAB'Q最小，即S△PCQ最小，?二S△PCQ=2pQXBC=苧PQ，22取PQ的中點(diǎn)G. ?1TNpCQ=90，「.CG=$PQ，即PQ=2CG，當(dāng)CG最小時(shí)，PQ最小，「.CG±PQ，即CG與CB重合時(shí)，CG最小，」.CGmin=\；3,PQmin=2<3,「.S〃cQ的最小值=3,S四邊形,,=3PAB'QcAc圖3 備用圖【點(diǎn)睛】本題屬于幾何變換綜合題，主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解直角三角形以及直角三角形的性質(zhì)的綜合運(yùn)用，解題時(shí)注意：旋轉(zhuǎn)變換中，對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等.8.已知：如圖，直線y=-x+12分別交x軸、y軸于A、B點(diǎn)，將△AOB折疊，使A點(diǎn)恰好落在OB的中點(diǎn)C處，折痕為DE.(1)求AE的長(zhǎng)及sinNBEC的值；⑵求△CDE的面積.3 75【答案】(1)5<2，sinNBEC=5； (2)—【解析】【分析】(1)如圖，作CF±BE于F點(diǎn)，由函數(shù)解析式可得點(diǎn)B，點(diǎn)A坐標(biāo)，繼而可得NA=NB=45°，再根據(jù)中點(diǎn)的定義以及等腰直角三角形的性質(zhì)可得OC=BC=6，CF=BF=3、.2，設(shè)AE=CE=x，則EF=AB-BF-AE=12%2-3*2-x=9弋2-x，在RSCEF中，利用勾股定理求出x的值即可求得答案；(2)如圖，過(guò)點(diǎn)E作EM±OA于點(diǎn)M，根據(jù)三角形面積公式則可得。<2 、“皿 》 一-E-SACDE=SAAED=一ADxAE，設(shè)AD=y，則uCD=y，OD=12-y，在RSOCD中，利用勾股定理求△△出y，繼而可求得答案.【詳解】(1)如圖，作CF±BE于F點(diǎn)，由函數(shù)解析式可得點(diǎn)B(0，12)，點(diǎn)A(12，0)，NA=NB=45°，又丁點(diǎn)C是OB中點(diǎn)，??.OC=BC=6,CF=BF=3、2,設(shè)AE=CE=x,則EF=AB-BF-AE=122-3、力-x=9<2-x,在RtACEF中，CE2=CF2+EF2,即x2=(9%2-x)2+(3、2)2,解得：x=5%2,故可得sinNBEC=CF3,AE=5%2；CE5(2)如圖，過(guò)點(diǎn)E作EM±OA于點(diǎn)M,.、B則USACDE=S =1AD?EM=1ADxAEsinZEAM=1AD?AExsin45°=立ADxAE,2 2 2 4設(shè)AD=y，則CD=y,OD=12-y,在RtAOCD中，OC2+OD2=CD2,即62+(12-y)2=y2,15 15解得：y=—,即ad=—,五75故SACDE=SAAED=—ADXAE=y?【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，涉及了勾股定理、折疊的性質(zhì)、三角形面積、一次函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，正確添加輔助線、熟練應(yīng)用相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵9.已知RtAABC,N8^6=90°,點(diǎn)D是BC中點(diǎn)，AD=AC,BC=4<3，過(guò)A,D兩點(diǎn)作O。，交AB于點(diǎn)E,(1)求弦AD的長(zhǎng)；(2)如圖1,當(dāng)圓心。在AB上且點(diǎn)M是OO上一動(dòng)點(diǎn)，連接DM交AB于點(diǎn)M求當(dāng)ON等于多少時(shí)，三點(diǎn)D、E、M組成的三角形是等腰三角形？(3)如圖2,當(dāng)圓心。不在AB上且動(dòng)圓。O與DB相交于點(diǎn)Q時(shí)，過(guò)D作DH±AB(垂足為H)并交OO于點(diǎn)R問(wèn)：當(dāng)OO變動(dòng)時(shí)DP-DQ的值變不變？若不變，請(qǐng)求出其值;若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由.1毛) (￡12)【答案】(1)2<3(2)當(dāng)ON等于1或、回-1時(shí)，三點(diǎn)D、E、M組成的三角形是等腰三角形(3)不變，理由見(jiàn)解析【解析】【分析】(1)根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可得到AD的長(zhǎng)；(2)連DE、ME,易得當(dāng)ED和EM為等腰三角形EDM的兩腰，根據(jù)垂徑定理得推論得OELDM,易得到△ADC為等邊三角形，得NCAD=60°,則NDAO=30°,N口01\1=60°,然后根據(jù)含30°的直角三角形三邊的關(guān)系得DN=1AD=%：'3,0N=匕3DN=1；2 3當(dāng)MD=ME,DE為底邊，作DH^AE,由于AD=2<3,NDAE=30°,得到DH=%3,NDEA=60°,DE=2,于是0E=DE=2,0H=1,又NM=NDAE=30°,MD=ME,得到NMDE=75°,則NADM=90°-75°=15°,可得至UNDNO=45°,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到NH=DH=%汽，則ON八3-1；(3)連AP、AQ,DPLAB,得ACIIDP,則NPDB=NC=60°,再根據(jù)圓周角定理得NPAQ=NPDB,NAQC=NP,則NPAQ=60°,NCAQ=NPAD,易證得△AQC^△APD,得至I」DP=CQ,則DP-DQ=CQ-DQ=CD,而△ADC為等邊三角形，CD=AD=2%：3，即可得到DP-DQ的值.【詳解】解：(1);NBAC=90°,點(diǎn)D是BC中點(diǎn)，BC=4<3,一1…AD—2BC=2、.''3；(2)連DE、ME,如圖，:DM>DE,當(dāng)ED和EM為等腰三角形EDM的兩腰，「.OE±DM,又「AD=AC,?.△ADC為等邊三角形，「.NCAD=60°,「.NDAO=30°,「.NDON=60°,在RtAADN中，DN=1AD=<3,3在RtAODN中，ON=——DN=1,3??當(dāng)ON等于1時(shí)，三點(diǎn)D、E、M組成的三角形是等腰三角形；當(dāng)MD=ME,DE為底邊，如圖3,作DHLAE,丁AD=2\.3,NDAE=30°,「.DH={3,NDEA=60°,DE=2,「.△ODE為等邊三角形，「.OE=DE=2,OH=1,;NM=NDAE=30°,而MD=ME,「.NMDE=75°,「.NADM=90°-75°=15°,「.NDNO=45°,?.△NDH為等腰直角三角形，「.NH=DH=產(chǎn)，「.ON=.Q-1；綜上所述，當(dāng)ON等于1或；3-1時(shí)，三點(diǎn)D、E、M組成的三角形是等腰三角形;(3)當(dāng)。O變動(dòng)時(shí)DP-DQ的值不變，DP-DQ=2%；3.理由如下：連AP、AQ,如圖2,;NC=NCAD=60°,而DP±AB,「.ACIIDP,「.NPDB=NC=60°,又「NPAQ=NPDB,「.NPAQ=60°,「.NCAQ=NPAD,;AC=AD,NAQC=NP,「.△AQCM△APD,「.DP=CQ,「.DP-DQ=CQ-DQ=CD=2產(chǎn).【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理和圓周角定理：平分弧的直徑垂直弧所對(duì)的弦；在同圓和等圓中，相等的弧所對(duì)的圓周角相等.也考查了等腰三角形的性質(zhì)以及含30°的直角三角形三邊的關(guān)系.10.如圖，某人在山坡坡腳C處測(cè)得一座建筑物頂點(diǎn)A的仰角為63.4°,沿山坡向上走到P處再測(cè)得該建筑物頂點(diǎn)A的仰角為53°.已知BC=90米，且B、C、D在同一條直線上，山坡坡度i=5：12.（1）求此人所在位置點(diǎn)P的鉛直高度.（結(jié)果精確到0.1米）⑵求此人從所在位置點(diǎn)P走到建筑物底部B點(diǎn)的路程（結(jié)果精確到0.1米）（測(cè)傾器的高度忽4略不計(jì)，參考數(shù)據(jù)：tan53°*3,tan63.4°*2）B CD 水平地面【答案】（1）此人所在P的鉛直高度約為14.3米；（2）從P到點(diǎn)B的路程約為127.1米【解析】分析：（1）過(guò)P作PF±BD于尸，作PE±AB于E,設(shè)PF=5x，在Rt△ABC中求出AB，用含x的式子表示出AE,EP,由tanZAPE,求得x即可；（2）在Rt△CPF中，求出CP的長(zhǎng).詳解：過(guò)P作PF±BD于尸，作PE±AB于E,「斜坡的坡度i=5:12,設(shè)PF=5x,CF=12x,丁四邊形BFPE為矩形，「.BF=PEPF=BE.在RT△ABC中，BC=90,tanZACB= ,BC「.AB=tan63.4°xBC=2x90=180,

「.AE=AB—BE=AB—PF=180-5x,EP=BC+CF=90+120x.在RTAAEP中，tanNAPE=EP90+12xtanNAPE=EP90+12x3，20，x=——，7??.PF=5x=100，14.3.由(1)得CP=13x,八c20「?CP=13x—氏37.1,BC+CP=90+37.1=127.1.7答：從P到點(diǎn)B的路程約為127.1米.點(diǎn)睛：本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，關(guān)鍵是正確的畫(huà)出與實(shí)際問(wèn)題相符合的幾何圖形，找出圖形中的相關(guān)線段或角的實(shí)際意義及所要解決的問(wèn)題，構(gòu)造直角三角形，用勾股定理或三角函數(shù)求相應(yīng)的線段長(zhǎng).11.在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A(0,1),點(diǎn)C(1,0),正方形AOCD的兩條對(duì)角線的交點(diǎn)為B,延長(zhǎng)BD至點(diǎn)G,使DG=BD,延長(zhǎng)BC至點(diǎn)E,使CE=BC,以BG,BE為鄰邊作正方形BEFG.(工)如圖①，求OD的長(zhǎng)及AB的值；BG(口)如圖②，正方形AOCD固定，將正方形BEFG繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得正方形BE'F'G',記旋轉(zhuǎn)角為a(0°<a<360°),連接AG'.①在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)NBAG'=90°時(shí)，求a的大小；②在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，求AF'的長(zhǎng)取最大值時(shí)，點(diǎn)F'的坐標(biāo)及此時(shí)a的大小(直接寫(xiě)出結(jié)果即可).

【答案】（］）1（口）①。=30°或150°時(shí)，NBAG'=90°②當(dāng)a=315°時(shí)，A、B、F'在一條乙TOC\o"1-5"\h\z、,2 1 一 1 一直線上時(shí)，AF'的長(zhǎng)最大，最大值為—+2,此時(shí)a=315°,F' （-+s：2, - - v2）2 2 2【解析】【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)以及勾股定理即可解決問(wèn)題⑵①因?yàn)镹BAGJ90°,BG'=2AB,可知sinNAGB=黑1，推出NAGfB=30°,推出旋轉(zhuǎn)角a=30°,據(jù)對(duì)稱性可知，當(dāng)BG2NABG^=60°時(shí)/BAG〃=90°,也滿足條件，此時(shí)旋轉(zhuǎn)角a=150°,②當(dāng)a=315°時(shí),A、B、F'在一條直線上時(shí),AF’的長(zhǎng)最大.【詳解】（工）如圖1中，v圖①E丁A(0,1),「.OA=1,丁四邊形OADC是正方形，「.NOAD=90°,AD=OA=1,「.AB=BC=BD=BO=/,;BD=DG,「.BG=,...坦丁=：.bg7T2(口)①如圖2中，?,NBAG'=90°,BG'=2AB,.NAG'B=30°,.NABG'=60°,「.NDBG'=30°,???旋轉(zhuǎn)角a=30°,根據(jù)對(duì)稱性可知，當(dāng)NABG〃=60°時(shí)，NBAG〃=90°,也滿足條件，此時(shí)旋轉(zhuǎn)角a=150°,綜上所述，旋轉(zhuǎn)角a=30°或150°時(shí)，NBAG'=90°.②如圖3中，連接OF，V圖$丁四邊形BE'F'G'是正方形的邊長(zhǎng)為.二???當(dāng)a=315°